Статистическая обработка данных

Статистическая обработка данных

Курсовой проект

по дисциплине «Статистика»

на тему: Статистическая обработка данных

Содержание

Введение

1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке

. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

. Параметрическая оценка функции плотности распределения

. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Заключение

Список использованной литературы

интервальный дисперсия выборочный данные

Введение

Целью данной курсовой работы является изучение и, как в следствии, расширение знаний о математической статистике, ознакомление с методами обработки экспериментального материала, с целью получения надежных выводов, ознакомление с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

1) Задача:

По выборке объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

) Цель работы:

Изучить и усвоить основные понятия математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

) Исходные данные.

Проведен эксперимент, в результате которого была получена выборка N = 60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону. Данная выборка представлена в таблице 1.1

Таблица 1.1

2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке среднее арифметическое случайной величины Х (N = 60)

) среднее линейное отклонение

) дисперсия случайной величины Х

) несмещенная оценка дисперсии

5) среднеквадратическое отклонение

=

6) несмещенная выборочная оценка для среднеквадратического отклонения

7) коэффициент вариации

) коэффициент асимметрии случайной величины Х

9) коэффициент эксцесса случайной величины Х

10) вариационный размах

 = Xmax - Xmin = 17,3345- 6,9275= 10,407

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

Выполняется необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V =  < 33%

Отсюда следует, что не все выборочные значения случайной величины Х положительны, что мы и видим в исходных данных.

Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю и составляет As = 0,22481644

В нашем случае асимметрия положительна, это значит, что «длинная часть» кривой расположена справа от математического ожидания.

Коэффициент эксцесса так же как и коэффициент асимметрии близок к нулю, так как Е = . Он отрицательный, значит, кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая.

В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

3.Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:

Где а = М[X] - математическое ожидание

N - 1 = V = 59 - число степеней свободы

tv;p - величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности Р и заданном числе степеней свободы V.

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения ,  и N.

Задаемся доверительной вероятностью:

Р1 = 0,95 Р2 = 0,99

Для каждого значения Рi (i=1,2) находим по таблице значения t59;p и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При Р1 = 0,95 t59;0,95 = 2

При Р2 = 0,99 t59;0,95 = 2,66

Для интервальной оценки дисперсии существуют неравенства:

Поставляем в неравенство известные значения  и N, получим неравенство, в котором неизвестны  и .

Задаваясь доверительной вероятностью Рi (или уровнем значимости а) вычисляем значения  и . Используем эти два значения и степень свободы V = N - 1 = 59, по таблице находим  и .

 =  =   =  =

 и  - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая  (хи-квадрат) распределение вероятности Рi и заданной степени свободы V (V=59).

Для Р1 = 0,95  и

находим по таблице:  =  = 40,4817

 =  = 83,2976

Подставляя в неравенства  и  и, вычисляя, получим интервальную оценку.

При Р2 = 0,99  и

 =  = 91,9517

Поставляя в неравенства  и  , и вычисляя, получим интервальную оценку.

Для интервальной оценки среднеквадратического отклонения имеем:

При Р1 = 0,95

При Р2 = 0,99

4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х, которые представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Ранжированный ряд

Интервал [6,9275; 17,3345], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

Для удобства и простоты расчетов выбираем h = 1,5 и вычисляем последовательно границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение:

Далее вычисляем границы интервалов.

 = 6,1775 + 1,5 = 7,6775

 = 7,6775 + 1,5 = 9,1775

 = 9,1775+ 1,5 = 10,6775

 = 10,1775+ 1,5 = 12,1775

 = 12,1775+ 1,5 = 13,6775

 = 13,6775+ 1,5 = 15,1775

 = 15,1775+ 1,5 = 16,6775

 = 16,6775+ 1,5 = 18,1775

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство Xn > Xmax, то есть X8 = 18,1775> Xmax = 17,3345.

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой графе таблицы помещаем частичные интервалы, во второй графе - середины интервалов, в третьей графе записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал - частоты, в четвертой графе записаны относительные частоты и в пятой графе записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности. Данная информация представлена в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Значение выборочной функции и плотности

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 4.2., можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестности точки х = 11,4275 и с частотой по n = 17.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд:

Так как N = 2k, k = N / 2 = 60 / 2 = 30

Сравнение оценок медианы  и оценки математического ожидания  показывает, что они отличаются на 1,34 %.

. Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдем параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

Где  и  известны - они вычисляются по выборке.

= 2,1976676 = 11,4634

Значения этой функции вычисляются для середины частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = . На практике для упрощения вычислений функции , где i = 1,2,…, k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения  для i = 1,2,…, k, затем по таблице значений функций плотности стандартной нормальной величины находим значение .

 =0,0478

 =0,1539

 =0,3123

 =0,3989

 =0,3187

 =0,1604

 =0,0508

 =0,0101

Переходим к вычислению функции:

 0,022  

Функция , вычисленная при заданных параметрах  и  в середине частичного интервала, фактически является теоретической относительной частотой, отнесенной к середине частичного интервала.

Поэтому для определения теоретической частоты , распределенной по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на .

 где h = 1,5

 где N = 60

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 5.2.

Из полученных результатов проведенных вычислений следует, что сумма вероятностей в интервале [6,1775; 18,1775) почти равна единице, а сумма всех частот равна 59,61. Данные результаты объясняются тем, что мы вычисляем вероятности в интервале, где заданы экспериментальные данные.

Сравнение экспериментальных и теоретических частот по критерию Пирсона с целью проверки гипотезы о нормальном распределении возможно только в том случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие . Представленные в таблице 5.2 результаты вычислений показывают, что это условие выполняется не всегда. Поэтому все те частичные интервалы, для которых частоты , объединяем с соседними. Соответственно объединяем и экспериментальные частоты .

Таблица 5.1

Рис. 1. График. Теоретическая и экспериментальная плотности вероятности.

Таблица 5.2

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот

. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика  имеет распределение с V = k - r - 1 степенями свободы, где k - число интервалов эмпирического распределения, r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V=k -3

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

N ≥ 50  ≥ 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.5.1, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие  ≥ 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k-3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1.

Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Задаются уровнем значимости а =0,05 или одним из следующих значений: а1 = 0,01; а2 = 0,1; а3 = 0,005.

Вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 6.1.

Для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения  при числе степеней свободы V= k-3, где k - число групп эмпирического распределения.

Сравниваем фактически наблюдаемое  с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:

если  > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

Если  < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Таблица 6.1

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 5, число степеней свободы V = 2.

По таблице для а = 0,05 и V = 2 находим  = 5,99147.

В результате получаем:

Для = 0,3404, найденного по результатам вычислений приведенных в таблице 6.1, имеем:

= 0,3404<  = 5,99147

Из этого следует, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.

Заключение

Статистические методы (методы, основанные на использовании математической статистики), являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Применение этих методов, не требует больших затрат и позволяет с заданной степенью точности и достоверностью судить о состоянии исследуемых явлений (объектов, процессов) в системе качества, прогнозировать и регулировать проблемы на всех этапах жизненного цикла продукции и на основе этого вырабатывать оптимальные управленческие решения.

Статистические методы контроля производства и качества продукции имеют ряд преимуществ перед другими методами:

- являются профилактическими;

- позволяют во многих случаях обоснованно перейти к выборочному контролю и тем самым снизить трудоемкость контрольных операций;

- создают условия для наглядного изображения динамики изменения качества продукции и настроенности процесса производства, что позволяет своевременно принимать меры к предупреждению брака не только контролерам, но и работникам цеха - рабочим, бригадирам, технологам, наладчикам, мастерам.

Список использованной литературы

1) Статистическая обработка результатов выборочного контроля: Метод.рек./Сост.: Ю. Г. Сильвестров: СибГИУ.- Новокузнецк, 2010 -41 с.

) Статистическое управление процессами при помощи контрольных карт: Метод.рек. /Сост.: Ю. Г. Сильвестров: ГОУ ВПО «СибГИУ». - Новокузнецк, 2014 - 17 с.

) ГОСТ Р 50779.42-99. Статистические методы. Контрольные карты Шухарта [Текст]. - : Издательство стандартов, 2007. - 36 с.