Расчет и анализ характеристик электрического поля
Санкт-Петербург 2016
Аннотация
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы по дисциплине «Теория поля». В тексте работы приводятся теоретические сведения, расчеты, графики и карты распределения потенциала и напряженности для анализа полученных результатов.
Курсовая работа представляет собой изучение характеристик электростатического поля по заданным распределениям его источников. Производится расчет и анализ характеристик электрического поля :
.Распределение потенциала U электрического поля в точке, создаваемого двумя точечными зарядами q.
.Силу, с которой поле, создаваемое двумя зарядами, действует в данной точке на положительный заряд (в данном случае рассчитываются составляющие напряженности электрического поля Ex , Ey , Ez на профиле, параллельном оси X , при заданном значении z).
При выполнении курсовой работы были использованы возможности программного обеспечения Microsoft Office, Surfer 10.
Страниц 33,рисунков 3,графических приложений 13. explanatory note is a report on the implementation of student work on the discipline "Theory of the field." The text of the paper describes the theoretical details, calculations, charts and maps of potential distribution and intensity for the analysis of the results.work is a study of the characteristics of an electrostatic field from a given distribution of its sources. Calculation and analysis of the characteristics of the electric field:
. The potential distribution U of the electric field at the point created two point charges q.
. The force with which the field generated by the two charges, operating at this point for a positive charge (in this case, the calculated electric field components Ex, Ey, Ez in the profile, parallel to the axis X, for a given value z).
During the course of work were used the software Microsoft Office, Surfer 10.33, drawings 3, graphics applications 13.
Введение
Геофизические методы решения геологических и других задач основаны на исследовании физических полей (гравитационного, магнитного, электромагнитного и др.), которые отражают свойства и строение изучаемых объектов. Следовательно, дисциплина «Теория поля» является теоретическим фундаментом основных геофизических методов.
Цели курсовой работы :
1)закрепление и углубление теоретических знаний, полученных при прохождении учебного курса на лекциях об основных понятиях теории поля, видах физических полей, их характеристиках, способах математического исследования и путях использования в разведочной геофизике ;
2)приобретение опыта самостоятельного выполнения аналитического и численного исследования характеристик частных случаев электромагнитного поля по заданным источникам, умения строить графики и составлять таблицы, делать выводы по построенным графикам и давать заключение по ним;
3)овладение методами расчётов характеристик полей по заданным источникам их (решение «прямых» задач теории поля), получение представлений о математической постановке и путях решения задач определения характеристик источников поля по заданному (измеренному) физическому полю (решение «обратных» задач теории поля) .
.Теоретические сведения
Поле - это математическое понятие, эквивалентное понятию «функция точки пространства». Полагают, что поле задано, если в каждой точке пространства задана некоторая величина (функция).Так как математические величины могут быть скалярами, векторами и тензорами, то и соответствующие поля называются скалярными, векторными и тензорными.
Скалярное поле задано в каждой точке пространства только одним числом (модулем величины и знаком), векторное поле - тремя числами (составляющими вектора), тензорное поле - более, чем тремя числами. В частном случае, если исследуемая величина имеет физический смысл, то соответствующее поле является также и физическим. Например, физическое поле температур является скалярным полем, электростатическое поле - векторным, поле упругих напряжений - тензорным.
Любой вид физического поля создаётся некоторыми источниками его. Например, электростатическое поле создается постоянными электрическими зарядами, распределенными в пространстве.
Предмет теории поля состоит из решения двух типов задач:
1)изучение характеристик поля, вызванного заданным распределением его источников (прямые задачи теории поля),
2)изучение распределения источников поля по заданным характеристикам поля (обратные задачи теории поля).
В практике разведочной геофизики широкое применение получили исследования различных полей - электрического, магнитного, электромагнитного, гравитационного, поля упругих напряжений, полей радиоактивных излучений, теплового поля, поля концентраций и др.
.1 Электромагнитное поле. Система дифференциальных уравнений Максвелла
·Уравнения связи.
Уравнения Максвелла в произвольной среде имеют вид
= 0 ,
- напряжённость электрического поля;
напряжённость магнитного поля;
- плотность тока проводимости;
р - объёмная плотность электрического заряда;
- вектор электрической индукции;
- вектор магнитной индукции.
t - время
Уравнения связи (в изотропной среде):
где - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;
- абсолютная магнитная проницаемость среды.
·Статическое электромагнитное поле.
Статическим электромагнитным полем называется поле неподвижных зарядов, когда выполняются условия:
В отличие от уравнений Максвелла для произвольного электромагнитного поля, для статического поля система уравнений Максвелла разделяется на две части: для электростатического (IIа) и для магнитостатического (IIб):
При решении систем дифференциальных уравнений Максвелла (I), (IIа), (IIб) или других на границах раздела сред необходимо выполнять граничные условия для векторов , , .
При введении вспомогательных функций - потенциалов необходимо выполнять операцию нормирования их.
Например, из первого уравнения системы (IIа) для электростатического поля следует, что можно положить:
= -gradU , (1)
где вспомогательная скалярная функция U называется потенциалом электростатического поля.
С учетом уравнения связи в изотропной среде имеем:
= = -gradU. (2)
Подставляя выражение (2) во второе уравнение (IIа) в однородной среде ( = const), имеем:
divgradU
или
. (3)
Таким образом, потенциал электростатического поля U в однородной среде в точках, где р≠0, подчиняется дифференциальному уравнению Пуассона (3), а в точках, где р=0 - дифференциальному уравнению Лапласа:
.(4)
В соответствии с законом Кулона напряженность электрического поля Е точечного заряда q в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е определяется выражением:
, (5)
где - вектор, направленный из точечного заряда q в точку измерения и по модулю равный расстоянию между этими точками.
Подставляя (5) в (1) и учитывая центральную симметрию поля, получим:
. (6)
Интегрируя дифференциальное уравнение (6), найдем:
, (7)
где С - произвольная постоянная.
(8)
Подставляя выражение (7) в условие (8), находим:
С=0. (9)
В соответствии с условием (9) имеем из (7) выражение для нормированного потенциала точечного заряда в однородной среде:
. (10)
Если имеется система точечных зарядов qi (i =1,2,3...,n), то
согласно принципу суперпозиции, потенциал этой системы в какой- то точке пространства определяется выражением:
, (11)
где расстояние от i-го заряда до точки измерения.
.Содержание задания
Даны два заряда и на расстоянии 2L в однородной среде с диэлектрической проницаемостью
Введем декартову систему координат с центром, совпадающим с центром отрезка 2L.Ось X в плоскости y=0 направим от заряда к заряду ось Z- вертикально вверх , ось Y- нормально к плоскости XOZ.
Необходимо выполнить следующее:
1.Рассчитать распределение потенциала электрического поля U в точке М, расположенной на расстоянии Z от оси ОХ.
2.Рассчитать составляющие напряженности электрического поля на профиле, параллельном оси X, при заданном значении Z.
3.Составить таблицы с рассчитанными данными и построить графики U(x), .
4.Выполнить анализ полученных графиков и сделать выводы.
5.Построить карту.
2.1 Исходные данные
1. - постоянный коэффициент , учитывающий знаки и величину зарядов.
2.Z - расстояние от точки M до оси OX в метрах.
.2L - расстояние между зарядами и в метрах.
Вариант 12
k = -1 , z = 2 м, 2L = 0,5м , 1м, 2м, 5м, 9м.
.2 Вывод расчетных формул
Источником электрического поля являются точечные заряды. Через поле осуществляется взаимодействие источников друг с другом. За характеристику поля принимают силу, с которой оно действует в данной точке на положительный единичный заряд. Эту характеристику называют напряжённостью поля в данной точке и определяют по формуле:
- сила, с которой поле действует на заряд,
- заряд
В соответствии с законом Кулона о взаимодействии точечных зарядов в однородной среде, находим потенциал U электрического поля , созываемого точечным зарядом q по формуле (10)
,
где:
r - расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал,
диэлектрическая проницаемость среды.
Если среда однородная, то для системы точечных зарядов справедлив принцип суперпозиции: потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов каждого заряда и определяется выражением (11)
,
Потенциал для случая двух зарядов :
где
,
,
- расстояние от зарядов соответственно до точки М.
Для учета только отношения зарядов, введем функцию соотношением:
- вспомогательный относительный потенциал.
Заменив постоянным коэффициентом k , получаем:
Таким образом ,итоговая формула для вспомогательного относительного потенциала электрического поля имеет вид:
.
Для расчета напряженности электрического поля необходимо учесть выражение:
= - gradU .
Но, так как помимо выполнения конечных результатов расчетов, необходимо построить графики, то напряженность, так же как и потенциал, будем считать относительной. Таким образом, относительная напряженность электрического поля :
Вертикальная составляющая напряженности электрического поля равна:
== +
Так как электрическое поле симметрично относительно плоскости , и, следовательно, составляющая напряженности электрического поля по оси Y при y = 0 равны:
Горизонтальная составляющая напряженности электрического поля равны :
=
. Решение задачи
1.Расчет для 2L = 0,5 м , z = 2 м, k= -1.
у.е.
= 0,06106 у.е.
у.е.
.Расчет для 2L = 1м, z = 2 м, k= -1.
у.е.
= 0 у.е.
у.е.
.Расчет для 2L = 2м, z = 2 м, k= -1.
у.е.
= 0,1789 у.е.
у.е.
.Расчет для 2L = 5м, z = 2 м, k= -1.
у.е.
= 0,1524 у.е.
у.е.
у.е.
= 0 у.е.
у.е.
Заключение
электрический максвелл напряженность
В результате курсовой работы были выполнены распределения потенциала и составляющих напряженности электрического поля и построение графиков для каждого расстояния 2 L= 0,5м , 1м , 2м , 5м , 9м.
Проанализировав получившиеся графики, можно сделать выводы.
.При увеличении расстояния между зарядами на графиках потенциалов(U) видно, что на графиках появляются максимумы и минимумы.Таким образом, можно четко выделить положение зарядов.
Рис 1. «Совмещенные графики зависимости относительного потенциала электрического поля от координат x точки измерения»
. На графике горизонтальной составляющей напряженности , видно влияние зарядов друг на друга: чем дальше расположены заряды тем меньше их влияние друг на друга, вследствие чего и появляется второй максимум и минимум. Заряды равны по значению, максимумы и минимумы по модулю равны, что видно на малых расстояниях 2L=0,5 м, 1м. На больших расстояниях 2L = 2 м,5 м, 9 м влияние заряда друг на друга уменьшается, вследствие чего на графиках наблюдается влияние второго максимума и минимума.
Рис 2. «Совмещенные графики зависимости горизонтальной составляющей напряженности от координат x точки измерения»
.Графики вертикальной составляющей электрического поля похожи на графики потенциала, но быстрее стремятся к нулю, чем значения потенциала.
Рис 3. «Совмещенные графики зависимости вертикальной составляющей напряженности от координат x точки измерения»
Список использованной литературы
1.Ладынин А.В. «Потенциальные геофизические поля в задачах геологии: Учеб.Поcобие»,Новосибирский гос. ун-т.Новосибирск,2007г.264с.
.Путиков О.Ф., Горбунова В.А. «Теория поля: методические указания к выполнению курсовой работы» Санкт-Петербургский государственный институт , СПб,2010,31с.
Приложение 1
Таблица 1
Пример результатов расчетов искомых величин для расстояния между зарядами 2L=0,5м, и коэффициентом k=-1.
X,мU у.е.Ex у.е.Ez у.е.-200,001232-0,000121,83E-05-190,001363-0,000142,24E-05-180,001515-0,000172,77E-05-170,001695-0,00023,47E-05-160,001909-0,000234,41E-05-150,002165-0,000285,68E-05-140,002476-0,000347,43E-05-130,002858-0,000429,92E-05-120,003334-0,000530,000135-110,003937-0,000680,000189-100,004717-0,000890,000272-90,005746-0,001190,000406-80,007139-0,001630,000631-70,00908-0,00230,00103-60,011872-0,003370,001786-50,016031-0,005090,00333-40,022396-0,007840,006754-30,032037-0,011460,014879-20,044106-0,010770,03325-10,0441650,0183220,052774000,06106301-0,044170,018322-0,052772-0,04411-0,01077-0,033253-0,03204-0,01146-0,014884-0,0224-0,00784-0,006755-0,01603-0,00509-0,003336-0,01187-0,00337-0,001797-0,00908-0,0023-0,001038-0,00714-0,00163-0,000639-0,00575-0,00119-0,0004110-0,00472-0,00089-0,0002711-0,00394-0,00068-0,0001912-0,00333-0,00053-0,0001413-0,00286-0,00042-9,9E-0514-0,00248-0,00034-7,4E-0515-0,00216-0,00028-5,7E-0516-0,00191-0,00023-4,4E-0517-0,0017-0,0002-3,5E-0518-0,00152-0,00017-2,8E-0519-0,00136-0,00014-2,2E-0520-0,00123-0,00012-1,8E-0521-0,00112-0,00011-1,5E-05
Приложение 2
Таблица 2
Пример результатов расчетов искомых величин для расстояния между зарядами 2L=1м, и коэффициентом k=-1.
X ,мU у.е.Ex у.е.Ez у.е.-200,002464-0,000363,67E-05-190,002726-0,000424,49E-05-180,003032-0,000495,56E-05-170,003392-0,000576,96E-05-160,00382-0,000688,83E-05-150,004333-0,000830,000114-140,004956-0,001010,000149-130,005721-0,001240,000199-120,006675-0,001560,000272-110,007885-0,0020,00038-100,009449-0,00260,000548-90,011514-0,003480,000818-80,014312-0,004770,001273-70,018212-0,006770,002082-60,023829-0,009950,003619-50,032198-0,015230,00677-40,045-0,024120,013784-30,064278-0,038020,030414-20,087652-0,050290,067054-10,085071-0,025070,10026900001-0,08507-0,0752-0,100272-0,08765-0,08382-0,067053-0,06428-0,05322-0,030414-0,045-0,03101-0,013785-0,0322-0,01862-0,006776-0,02383-0,01176-0,003627-0,01821-0,00781-0,002088-0,01431-0,00541-0,001279-0,01151-0,00389-0,0008210-0,00945-0,00288-0,0005511-0,00789-0,00219-0,0003812-0,00668-0,0017-0,0002713-0,00572-0,00134-0,000214-0,00496-0,00108-0,0001515-0,00433-0,00088-0,0001116-0,00382-0,00073-8,8E-0517-0,00339-0,00061-7E-0518-0,00303-0,00051-5,6E-0519-0,00273-0,00044-4,5E-0520-0,00246-0,00038-3,7E-0521-0,00224-0,00032-3E-05
Приложение 3
Таблица 3
Пример результатов расчетов искомых величин для расстояния между зарядами 2L=2 м, и коэффициентом k=-1.
X , мU у.е.Ex у.е.Ez у.е.-200,004938-0,000497,38E-05-190,005464-0,000579,04E-05-180,006078-0,000660,000112-170,006802-0,000790,00014-160,007661-0,000940,000178-150,008693-0,001130,00023-140,009947-0,001380,000302-130,011489-0,001720,000404-120,013414-0,002160,000552-110,015859-0,002760,000775-100,019023-0,003610,001121-90,02321-0,004840,001681-80,028895-0,006660,002631-70,036846-0,009450,004339-60,048335-0,013870,007623-50,065493-0,0210,014455-40,091655-0,031990,029863-30,129947-0,043670,066028-20,169863-0,025440,136216-10,1464470,0883880,161612000,17888501-0,146450,088388-0,161612-0,16986-0,02544-0,136223-0,12995-0,04367-0,066034-0,09165-0,03199-0,029865-0,06549-0,021-0,014456-0,04833-0,01387-0,007627-0,03685-0,00945-0,004348-0,0289-0,00666-0,002639-0,02321-0,00484-0,0016810-0,01902-0,00361-0,0011211-0,01586-0,00276-0,0007712-0,01341-0,00216-0,0005513-0,01149-0,00172-0,000414-0,00995-0,00138-0,000315-0,00869-0,00113-0,0002316-0,00766-0,00094-0,0001817-0,0068-0,00079-0,0001418-0,00608-0,00066-0,0001119-0,00546-0,00057-9E-0520-0,00494-0,00049-7,4E-0521-0,00448-0,00042-6,1E-05
Приложение 4
Таблица 4
Пример результатов расчетов искомых величин для расстояния между зарядами 2L= 5 м, и коэффициентом k=-1.
X,мZ ,мU у.е.Ex у.е.Ez у.е.-2050,012503-0,001250,000192-1950,013854-0,001460,000237-1850,015436-0,001710,000295-1750,017304-0,002030,000372-1650,019533-0,002440,000476-1550,022222-0,002960,00062-1450,025505-0,003640,000822-1350,02957-0,004540,001114-1250,034687-0,005760,001548-1150,041245-0,007450,002217-1050,049836-0,009880,003291-950,061372-0,013430,005101-850,077315-0,018840,00834-750,100064-0,02730,014562-650,13355-0,040660,027528-550,183516-0,060150,056669-450,252957-0,075330,121641-350,3142-0,029630,218291-250,2820020,094750,211521-150,1519310,149430,0974680500,152365015-0,151930,14943-0,0974725-0,2820,09475-0,2115235-0,3142-0,02963-0,2182945-0,25296-0,07533-0,1216455-0,18352-0,06015-0,0566765-0,13355-0,04066-0,0275375-0,10006-0,0273-0,0145685-0,07732-0,01884-0,0083495-0,06137-0,01343-0,0051105-0,04984-0,00988-0,00329115-0,04125-0,00745-0,00222125-0,03469-0,00576-0,00155135-0,02957-0,00454-0,00111145-0,0255-0,00364-0,00082155-0,02222-0,00296-0,00062165-0,01953-0,00244-0,00048175-0,0173-0,00203-0,00037185-0,01544-0,00171-0,0003195-0,01385-0,00146-0,00024205-0,0125-0,00125-0,00019
Приложение 5
Таблица 5
Пример результатов расчетов искомых величин для расстояния между зарядами 2L= 9 м, и коэффициентом k=-1.
X,мU у.е.Ex у.е.Ez у.е.-200,023305-0.002410,000389-190,025919-0.002830,000485-180,029004-0.003360,000613-170,032684-0.004030,000787-160,037121-0.004880,001029-150,042542-0.006010,001372-140,049264-0.007510,001875-130,057746-0.009560,002638-120,068666-0.012440,003841-110,083057-0.01660,005835-100,102553-0.022820,00934-90,129795-0.032370,015961-80,169074-0.047270,029546-70,226677-0.068950,059688-60,306444-0.08740,126362-50,382066-0.046680,226083-40,3705520.0698330,225265-30,2711690.1120370,123723-20,1653050.0968480,054587-10,0771980.080870,020554000.07536601-0,07720.08087-0,020552-0,16530.096848-0,054593-0,271170.112037-0,123724-0,370550.069833-0,225275-0,38207-0.04668-0,226086-0,30644-0.0874-0,126367-0,22668-0.06895-0,059698-0,16907-0.04727-0,029559-0,12979-0.03237-0,0159610-0,10255-0.02282-0,0093411-0,08306-0.0166-0,0058312-0,06867-0.01244-0,0038413-0,05775-0.00956-0,0026414-0,04926-0.00751-0,0018815-0,04254-0.00601-0,0013716-0,03712-0.00488-0,0010317-0,03268-0.00403-0,0007918-0,029-0.00336-0,0006119-0,02592-0.00283-0,0004920-0,0233-0.00241-0,0003921-0,02107-0.00207-0,00032
Приложение 6
График 1
График зависимости относительного потенциала электрического поля от координаты x точки измерения L=0,5 м ,k=-1
График 2
График зависимости горизонтальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
График 3
График зависимости вертикальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
Приложение 7
График 4
График зависимости относительного потенциала электрического поля от координаты x точки измерения 2L=1 м ,k=-1
График 5
График зависимости горизонтальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
График 6
График зависимости вертикальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
Приложение 8
График 7
График зависимости относительного потенциала электрического поля от координаты x точки измерения 2L=2 м ,k=-1
График 8
График зависимости горизонтальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
График 9
График зависимости вертикальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
Приложение 9
График 10
График зависимости относительного потенциала электрического поля от координаты x точки измерения 2L = 5 м ,k=-1
График 11
График зависимости горизонтальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
График 12
График зависимости вертикальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
Приложение 10
График 13
График зависимости относительного потенциала электрического поля от координаты x точки измерения 2L = 9 м ,k=-1
График 14
График зависимости горизонтальной составляющей напряженности электрического поля (x) от координаты x точки измерения
График 15
Приложение 11
Карта 1
Карта распределения потенциала и напряженности для 2L=9м.
Приложение 12
Карта 2.
Вертикальная составляющая напряженности электрического поля (x) для 2L=9 м
Приложение 13
Карта 3.
Горизонтальная составляющая напряженности электрического поля (x) для 2L=9 м