Распространение ограниченных волновых пучков, дифракция

Контрольная работа

Распространение ограниченных волновых пучков, дифракция

1. Метод Кирхгофа

Метод Кирхгофа основан на интегральной теореме, выражающей значения решения уравнения Гельмгольца в произвольной точке М(x, y, z) через значения функции u и ее первой производной на поверхности S, охватывающей точку М. Можно считать, что метод Кирхгофа является обобщением принципа Гюйгенса-Френеля, который рассматривает волновое возмущение в точке М как интерференцию вторичных волн от источников, расположенных на поверхности S.

Пусть u(М) и G(М) - комплекснозначные функции координат точки М, имеющие непрерывные первые и вторые частные производные как внутри объема V, содержащего точку М, так и на ограничивающей этот объем поверхности S. В силу теоремы Грина

. (1)

Если функция u является решением уравнения Гельмгольца (7.1), то есть

Du + k²u = 0,

а функция G удовлетворяет уравнению

DG + k²G = -4pd(|r - r₁|), (2)

то, подставляя соотношения (7.1) и (2) в уравнение (1), получим:

,

 - (3)

. Интегральная теорема Кирхгофа-Гельмгольца

Одним из решений уравнения (2) является сферическая волна от источника в точке r₁ (функция Грина для свободного пространства):

. (4)

Рассмотрим волну, прошедшую экран с отверстием. Пусть поверхность S состоит из плоской поверхности экрана S₁ и сферы S₂ с центром в точке наблюдения М (рис. 1). На поверхности S₂ производная по внешней нормали совпадает с производной по радиусу сферы r = |r - r₁|, и при rk >> 1, то есть в дальней зоне, для функции G вида (4) получаем

.

Пусть функция u удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда

. (5)

Отметим, что функции вида (4) этому условию удовлетворяют. Тогда при увеличении радиуса сферы интеграл по ее поверхности стремится к нулю, то есть

.

Поскольку излучение, идущее от отверстия в экране, можно рассматривать как суперпозицию сферических волн от точечных источников на поверхности отверстия, то для него условие (5) выполняется. Следовательно, интеграл по поверхности S₂ в правой части уравнения (2) равен нулю, и поле в точке М, лежащей в дальней зоне, определяется только значениями поля и его производной в отверстии и на теневой стороне экрана.

Для приближенного решения задачи дифракции используются граничные условия Кирхгофа, соответствующие предположениям:

) функции u и ¶u/¶n равны нулю всюду вне отверстия экрана;

) функции u и ¶u/¶n внутри отверстия такие же, как и при отсутствии экрана.

Приближенный характер условий Кирхгофа проявляется в том, что если функция u, удовлетворяющая уравнению (7.1), равна нулю вместе со своей производной на теневой поверхности экрана, то она должна быть равна нулю во всем пространстве. Поэтому оба эти предположения выполняются, когда размеры отверстия велики в сравнении с длиной волны.

Рис. 1. Условие Зоммерфельда

Рис. 2. Дифракция плоской волны

Если на плоский экран с отверстием S падает квазиплоская волна

u(x, y, z) = u₀(x, y, z)exp[i(k_xx + k_yy + k_zz)] (рис. 2),

то

,

x₁, y₁ - текущие координаты в отверстии. Из формулы (3) в предположении, что kr >> 1, получаем

. (6)

Отметим, что, в силу приближенного характера граничных условий Кирхгофа и предположения о дальней зоне, поле, рассчитанное по формуле (6), не описывает волновое поле вблизи экрана и в плоскости отверстия. Устранить математическую нестрогость можно, иначе определив вспомогательную функцию G. Пусть она не только является решением уравнения (2), но еще и удовлетворяет одному из граничных условий: 1)  или 2) . Функция G₁ называется первой функцией Грина, а функция G₂ - второй функцией Грина, или характеристической функцией Неймана.

Выбор функции G₁ обращает в нуль в формуле (3) слагаемое, содержащее ¶u/¶n, поэтому достаточно знать только значение функции u, а выбор функции G₂ обращает в нуль в формуле (3) слагаемое, содержащее u, и нужно задать только ¶u/¶n. Заметим, что построить эти функции можно только для достаточно простой геометрии. Для плоского экрана первой функцией Грина G₁ полупространства z > 0 может служить функция

,

где

, .

В плоскости экрана при z₁ = 0 получаем G₁ = 0, , тогда

. (7)

В качестве второй функции Грина можно взять . При z₁ = 0 получаем ¶G₂/¶n = 0, , тогда

. (8)

.Угловой спектр плоских волн

Альтернативой решению дифракционной задачи с помощью интеграла Кирхгофа (3) и соответствующей функции Грина является разложение волнового поля в плоскости экрана по плоским волнам:

, (9)

 - (10)

угловой (пространственный) спектр. Аналогично, в произвольном сечении z

. (11)

Подставляя соотношение (11) в уравнение Гельмгольца (7.1), получим:

d²F/dz² + (k² - k_x² - k_y²)F = 0. (8.12)

Начальное условие для уравнения (12) имеет вид: F(k_x, k_y, 0) = F₀(k_x, k_y). Тогда решение (12), соответствующее волне, распространяющейся в направлении возрастания z, имеет вид плоской волны с волновым вектором

:

. (13)

Угловой спектр волны меняется по мере удаления точки наблюдения от плоскости экрана z = 0.

Пусть функция пропускания непрозрачного экрана с отверстием имеет вид: g(x, y) = 1 - в отверстии, g(x, y) = 0 - вне отверстия. Тогда поле в плоскости экрана можно записать в виде u₀(x, y) = u_п(x, y) g(x, y), где u_п(x, y) - поле падающей волны в плоскости z = 0. Угловой спектр поля за экраном будет равен свертке углового спектра падающей волны со спектральным коэффициентом пропускания экрана

.

Для плоской волны u_п = exp(ik_zz), нормально падающей на экран, получаем: F_п = d(k_x)d(k_y). Спектральный коэффициент пропускания щели шириной а, края которой параллельны оси у, равен

.

Соответственно,

.

Ширина углового спектра, найденная из условия Ф(k_x) = 0, составляет

Dk_x = 2p/а, то есть для угла q между вектором k и осью z получаем sin(q) = l/a. Нетрудно показать, что если плоская волна падает в плоскости xz на экран со щелью под углом q₀ к оси z, то

.

Тогда ширина углового спектра определится из условия a(sin(q) - sin(q₀))/l = 1. Для широкой щели l/a << 1 получаем

.

4. Интеграл Кирхгофа, метод стационарной фазы

Рассмотрим вновь плоский экран z = 0 с отверстием произвольной формы. Поле в точке M(x, y, z), достаточно удаленной от плоскости экрана, так что , описывается интегралом (7). Если поле падающей волны u(x₁, y₁) достаточно медленно меняется в пределах отверстия, то подынтегральная функция в соотношении (7) представляет собой произведение медленно меняющейся функции zu(x₁, y₁)/r² и быстро осциллирующей функции exp(ikr).

Для приближенного вычисления таких интегралов используется метод стационарной фазы, основанный на том, что интеграл от произведения медленной функции на быстро осциллирующий сомножитель мал всюду, кроме той области, где показатель экспоненты имеет стационарное значение (максимум или минимум). В окрестности этой точки можно разложить показатель экспоненты j(x₁, y₁) = ikr в ряд Тейлора до второго или третьего члена и вынести за знак интеграла значение медленно меняющейся функции в точке стационарности. Остающийся интеграл Френеля является табличным.

х₁ = х. Аналогично из условия  получаем у₁ = у. Тогда

,

. (14)

Найдем на плоскости z = 0 границы областей, окружающих точку стационарности х₁ = х, у₁ = у, в пределах которых фаза подынтегральной функции в соотношении (7) меняется на p/2, то есть p(x - x₁)²/(lz) + p(y - y₁)²/(lz) = mp/2, или  - семейство окружностей с центром в точке х₁ = х, у₁ = у и радиусами , где m - целые числа. Плоскость экрана z = 0 разбивается этими окружностями на концентрические кольца, называемые зонами Френеля.

При переходе от одной зоны к другой действительная или мнимая часть подынтегральной функции в соотношении (7) меняет знак, поэтому интеграл, взятый по конечному числу зон Френеля, - знакопеременный ряд, который быстро сходится. Физически это означает, что на поверхности экрана можно выделить область, которая играет наиболее существенную роль в формировании волнового поля. Как правило, это первая зона Френеля.

Если размеры отверстия достаточно велики, то есть а² >> lz, и точка стационарности вместе с несколькими первыми зонами Френеля лежит в пределах отверстия, то интегрирование в соотношении (7) можно выполнять в бесконечных пределах. Сделав замену переменных , , получим

. (15)

Заметим, что формула (15) описывает невозмущенное поле в точке М. Таким образом, если проекция точки наблюдения на плоскость экрана лежит внутри отверстия и первая зона Френеля не пересекает границ отверстия, то поле в точке наблюдения оказывается невозмущенным.

Введем волновой параметр D - отношение площади первой зоны Френеля к апертуре отверстия:

. (16)

Если D << 1, экран практически не влияет на распределение поля. При D ~ 1 (дифракция Френеля) размеры первой зоны сравнимы с размером отверстия в экране, и функцию u₀(x₁, y₁) нельзя считать медленно меняющейся, поскольку в силу граничных условий Кирхгофа на краях отверстия u₀ = 0. Следовательно, к дифракции Френеля метод стационарной фазы неприменим.

Рассмотрим случай, когда расстояние от точки наблюдения до экрана много больше размера отверстия, а поле ищется вблизи оси, то есть |x - x₁|/z << 1,

|y - y₁|/z << 1, тогда r » z + [(x - x₁)² + (y - y₁)²]/(2z), и интеграл (7) сводится к выражению, называемому приближением Френеля:

 (17)

где f_x = x/(lz), f_y = y/(lz). Сравнивая выражения (17) и (11), видим, что интеграл в соотношении (17) представляет собой угловой спектр (Фурье-образ) функции  по пространственным частотам f_x и f_y.

При D >> 1 (дифракция Фраунгофера), когда отверстие охватывает лишь часть первой зоны Френеля, показатель первой экспоненты в интеграле (17) может принимать только малые значения, то есть , тогда

, (18)

где F₀ - угловой спектр функции u₀(x₁, y₁).

. Квазиоптическое приближение

Приближение геометрической оптики рассматривает распространение лучей в виде кусочно-плоской волны с бесконечно широким волновым фронтом. Угловой спектр таких лучей является произведением двух дельта-функций, то есть бесконечно узкий. Квазиоптическое приближение рассматривает распространение волновых пучков конечной ширины существенно большей, чем длина волны l = 2p/k. Нетрудно показать, что угловой спектр таких пучков имеет конечную ширину и является узким, то есть отличен от нуля лишь при |k_x| << k, |k_y| << k. В этом случае в соотношении (13) выражение  в показателе экспоненты можно разложить в ряд, сохранив лишь квадратичные по k_x и k_y слагаемые:

.

В соответствии с формулой (11) в сечении z = const пучок будет описываться функцией

.

Подставляя сюда выражение (10) для углового спектра F₀(k_x, k_y) падающей волны, вычислим внутренний интеграл по dk_x:

.

Аналогично вычисляется и интеграл по dk_у. В результате для амплитуды волны A(x, y, z) получим:

, (19)

где  - функция Грина параболического уравнения, . Таким образом, амплитуда A(x, y, z) удовлетворяет параболическому уравнению с мнимым коэффициентом диффузии:

. (20)

Можно сказать, что по мере распространения волны происходит диффузия ее амплитуды в поперечном направлении, то есть пучок расплывается из-за дифракции. Пусть в сечении z = 0 расположен точечный источник, то есть

A(x₁, y₁) = A₀d(x₁/a)d(y₁/a).

Вычисляя интеграл (19), получим

. (21)

Решение уравнения Гельмгольца (7.1) для точечного источника, описывающее сферически расходящуюся волну, имеет при x/z << 1, y/z << 1 вид

,

совпадающий с выражением (21). Таким образом, в приближении квазиоптики сферический волновой фронт заменяется параболическим, в параксиальной области эта разница несущественна.

Если в сечении z = 0 пучок имеет плоский фазовый фронт и гауссово поперечное распределение амплитуды A(z = 0) = A₀exp(-r²/a²), где r² = x² + y², a - характерная ширина пучка в плоскости z = 0, то интеграл (19) дает

 (22)

При z > 0 радиальное распределение амплитуды по-прежнему гауссово, но ширина пучка при распространении волны растет, то есть, a²(z) = a²(1 + D²), при этом амплитуда волны уменьшается, а ранее плоский волновой фронт искривляется.

Рассмотрим теперь роль нелинейности среды в квазиоптическом приближении. Пусть диэлектрическая проницаемость среды зависит от интенсивности волны e = e₀ + e_нл(|Е|²) = e₀ + e₂|Е|² + e₄|Е|⁴ + ... . Тогда уравнение Гельмгольца (7.1) примет вид:

DE + e₀Ew²/c² + e_нл(|Е|²)Ew²/c² = 0. (23)

Для волновых пучков с узким угловым спектром и при малой нелинейности среды уравнение (23) можно упростить с помощью метода ММА, положив

 (24)

Здесь принято, что поперек волнового пучка изменение амплитуды происходит быстрее, чем вдоль, кроме того, e_нл ~ me₀. Подставляя соотношение (24) в уравнение (23), получим в первом порядке малости по m:

. (25)

Уравнение ММА (25) совпадает с уравнением (20) при e_нл = 0, то есть является квазиоптическим приближением для нелинейной среды. Для того чтобы перейти в уравнении (25) к действительным величинам, положим

A = A₀exp(-iky), (26)

где y - эйконал комплексной амплитуды, который является добавкой к эйконалу плоской волны (24). Подставляя соотношение (26) в уравнение (25) и отделяя мнимую и действительную части, получим:

, (27)

. (28)

Отметим, что уравнение (27) можно рассматривать как уравнение эйконала с двумя "силами": нелинейной рефракцией и дифракцией. Уравнение (28) описывает закон сохранения энергии в волне, то есть является уравнением переноса. В отличие от уравнений геометрической оптики (7.4) и (7.5), здесь уравнения эйконала и переноса не являются независимыми, что отражает самовоздействие волн.

Можно показать, что если ограничиться первым нелинейным слагаемым

e_нл(|Е|²) = e₂А₀²,

то при e₂ < 0 нелинейная рефракция и дифракция действуют в одну сторону и совместно приводят к расфокусировке луча. При e₂ > 0 нелинейная рефракция противодействует дифракции, и возможна самофокусировка луча, когда он сходится в нелинейный фокус, а затем вновь расходится.

Литература

дифракционный теорема кирхгоф интеграл

1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. М.: Наука, 2007.

. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2009.

. Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. т.т. 1-2. Механика. М.: Академия, 2008.

. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009

. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Бином, 2008.

. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

.Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 2007.

. Китель И., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Механика. М.: Наука, 2007.

.Матвеев А.Н. Курс физики. т.т. 1-4. М.: Высшая школа, 1976-2009.

. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 2009.

.Рейф Ф. Берклеевский курс физики. Статистическая физика. М.: Наука, 2007.

. Савельев И.В. Курс физики, т.т. 1-5. М.: Наука, 2007.

. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1-5. М.: Высшая школа, 2008.

. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. т.т. 1-9. М.: Мир, 2007.

. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М.: Наука, 2007.

. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики, т.т. 1-2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.