Расчет валов на статическую, усталостную прочность и жесткость

Расчет валов на статическую, усталостную прочность и жесткость

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кумертауский филиал

Кафедра сопротивления материалов

Курсовая работа

Расчет валов на статическую, усталостную прочность и жесткость

Группа ТМк-208д

Выполнил студент Жеребцова Н.В

Проверил ст. преподаватель Ермоленко А.Н

Принял ст. преподаватель Ермоленко А.Н

Кумертау 2010

Задание

На вал АD установлены два зубчатых колеса 1 и 2 диаметрами D1 и D2 соответственно, нагруженные усилиями от сопряженных колес (рис. 1, а)

а

б, в

Рис. 1

Необходимо:

Ø  подобрать диаметр вала d из условия статической прочности. В опасном сечении вала построить эпюры нормальных и касательных напряжений и показать напряженное состояние тела в опасной точке;

Ø  произвести расчет вала на жесткость по линейным перемещениям в местах установки колес и по угловым перемещениям в опорах. Уточнить диаметр вала;

Ø  выполнить проверочный расчет вала на усталостную прочность в опасном сечении (рис. 1, б, в).

Исходные расчетные данные

1. Проектировочный расчет вала на статическую прочность

рама вал силовой статический

1.1 Построение расчетной схемы вала

При расчете на статическую прочность представим вал АВ в виде балки на двух опорах. Одну из опор примем шарнирно-неподвижной (сечение С), другую, как наиболее близко расположенную к коническому колесу, - шарнирно-неподвижной (сечение В, рис. 2, а).

Заменим действие установленных на вал колес соответствующими нагрузками. Векторы радиальных сил R1 и R2 перенесем в центр тяжести сечения вала по линии их действия. Векторы окружных сил P1 и P2 - параллельно самим себе. При этом появятся два крутящих сосредоточенных момента:

Нм;

Нм

в сечениях A и D соответственно.

Для определения окружного усилия Р2 запишем уравнение статического равновесия в виде суммы моментов всех сил, действующих на вал, относительно продольной оси z

тогда

Нм,

Откуда

Н.

Перенесем вектор силы N1 на ось вала. При этом в сечении D возникает сосредоточенный изгибающий момент

Нм.

Радиально усилие R2 найдем по формуле

Н.

Силовые факторы, лежащие в верикальной плоскости yz, вызовут в подшипниках реакции RBy и RCy, а в горизонтальной xz - RBx и RCx. Величины этих реакций определим, как для балки, лежащей на двух опорах.

Рис. 2

1.2 Построение эпюр внутренних силовых факторов

Видно (рис. 2, б), что вал работает на совместное действие растяжения (сжатия), кручения и изгиба в вертикальной (yz) и горизонтальной (xz) плоскостях. Рассмотрим каждую деформацию отдельно, используя принцип независимости действия сил.

Определим опасную точку вала. Для этого установим, как меняются по длине вала внутренние силовые факторы, т.е. построим их эпюры.

Кручение. Два скручивающих момента Т1 и Т2 вызывают кручение на участке AD. Построим эпюру крутящих моментов эТ(z) (рис. 2, в).

Сечение 1

 Нм.

Сечение 2

Нм.

Сечение 3

Нм.

Изгиб. Эпюра эМ(z) изгибающих моментов (рис. 2, г, д) строится от сил P2, R2, RBy, RBx, R1 и P1 и изгибающего момента MN1. Из уравнения статического равновесия определим неизвестные реакции опор:

Н.

В вертикальной плоскости yOz:

Н;

Н.

Проверим правильность определения реакций. Для этого запишем уравнение статического равновесия в виде суммы всех проекций всех сил Fi на ось y:

Следовательно реакции RBy и RCy найдены верно.

В горизонтальной плоскости xOz:

Н;

Н.

Проверим правильность определения реакций. Для этого запишем уравнение статического равновесия в виде суммы всех проекций всех сил Fi на ось х:

Следовательно реакции RBх и RCх найдены верно.

Сечение 1

Сечение 2

Сечение 3

Растяжение (сжатие). Вал нагружен двумя сосредоточенными продольными силами: N1 и реакцией RCz = N1 в опоре С. Строим эпюру нормальных сил ЭN (рис.2, е).

Сечение 1

Н.

Сечение 2

Н.

Сечение 3

Н.

Построение эпюры суммарных изгибающих моментов

Поскольку вал имеет круглое поперечное сечение, определим в сечениях величину суммарного изгибающего момента

Сечение 1

Сечение 2

Сечение 3

.3 Расчет диаметра вала

Для определения опасного сечения находим величины эквивалентных моментов по третьей теории прочности

Тогда:

Сечение 1

Сечение 2

Сечение 3

Анализ результатов показывает, что опасным является сечение С, в котором эквивалентный момент достигает максимального значения и равен

Найдем допускаемое напряжение . Так как сталь 40Х пластична, то за  принимаем . Согласно справочнику по сопротивлению материалов  коэффициент запаса для пластичных материалов . Примем МПа, n=2, тогда

Из условия прочности

где  - осевой момент сопротивления для круглого поперечного сечения диаметром d, определим расчетный диаметр вала

В соответствии с ГОСТ 6636-69 (ряд Ra40) округляем dрасч до ближайшего большего значения и принимаем d=24 мм.

Вычислим геометрические характеристики этого сечения:

-   площадь поперечного сечения

-   осевой момент инерции

-   осевой момент сопротивления

-   полярный момент инерции

-   полярный момент сопротивления

Рассмотрим опасное сечение вала С, в котором действует суммарный изгибающий момент МИ = 480,7Нм, крутящий момент Т = - 360Нм и продольная сила N=-760Н.

Нормальные напряжения от изгиба  определяются по формуле

На внешних волокнах в точках А и D они наибольшие и равны

МПа.

Нормальные напряжения от растяжения определим как

Мпа

Максимальные касательные напряжения возникают на контуре сечения

Мпа.

Построим эпюры этих напряжений ,  и .

В опасной точке А плоское напряженное состояние. В этой точке действуют максимальные эквивалентные напряжения .

Определим их по III теории прочности:

МПа.

Видно, что условие прочности  выполняется, так как МПа<[σ]=500Мпа.

∆С=

Недогрузка ∆С близка к рекомендуемому значению 15%. Таким образом диаметр вала d=24мм из условия статической прочности подобран правильно.

Рис. 3

2. Расчет вала на жёсткость

В расчётах примем модуль упругости Е=210ГПа. Жёсткость сечения

Для определения перемещений воспользуемся способом Верещагина.

.1 Расчет прогибов вала в местах установки колёс.

Для определения линейных перемещений fyA и fyD в сечениях А и D, приложим в соответствующих сечениях единичную силу  Получим «единичные» состояния  и  (рис. 4, а). Построим эпюры изгибающих моментов  и  для этих состояний (рис. 4, в, г).

Вертикальная плоскость. Разобьем эпюру изгибающих моментов  (рис. 4, б) на элементарные фигуры, площади которых обозначим ω1, ω2, ω3, ω4 (рис. 4, б). Определим положения центров тяжести с1, с2, с3, с4 фигур. Вычислим значения площадей ωi и ординат , взятых под с1, с2, с3, с4 на эпюрах  и  (индекс j соответствует номеру «единичного» состояния, а i - номеру фигуры). Занесем значения ωi и  в таблицу 1 (i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2).

Таблица 1

Вычислим перемещения по оси y fyA и fyD в точках A и D:

Горизонтальная плоскость. Разобьем эпюру изгибающих моментов  (рис. 4, д) на элементарные фигуры, площади которых обозначим ω5, ω6, ω7 (рис. 4, д). Определим положения центров тяжести с5, с6, с7 фигур. Вычислим значения площадей ωi и ординат , взятых под с5, с6, с7 на эпюрах  и  (индекс j соответствует номеру «единичного» состояния, а i - номеру фигуры). Занесем значения ωi и  в таблицу 1 (i = 5, 6, 7; j = 1, 2).

Вычислим горизонтальные перемещения fхA и fхD:

Полные линейные перемещения fA и fD в точках A и D:

.2 Расчет углов поворотов в опорах

Для определения угловых перемещений в сечениях В и С, приложим в соответствующих сечениях единичные моменты  Получим «единичные» состояния  и  (рис. 4, е). Построим эпюры изгибающих моментов  и  для этих состояний (рис. 4, ж, з).

Вертикальная плоскость. Определим значения ординат  на эпюрах  и , взятых под центрами тяжести с1, с2, с3, с4 площадей ω1, ω2, ω3, ω4 эпюры  (рис. 4, ж, з) и занесем эти значения в таблицу 1 (i = 1, 2, 3, 4 ; j = 3, 4).

Рис. 4

Угловые перемещения в сечениях В и С относительно оси х равны:

Горизонтальная плоскость. Найдем ординаты  на эпюрах  и , взятых под центрами тяжести с5, с6, с7 площадей ω5, ω6, ω7. Занесем эти значения в таблицу 1 (i = 5, 6, 7; j = 3, 4).

Вычислим угловые перемещения в сечениях В и С:

Полные углы поворота θВ и θС в опорах В и С равны:

.3 Расчет прогибов вала в местах установки колёс

Определим допускаемое значение прогибов

где , примем .

Будем считать, что в неподвижной опоре С установлен радиально-упорный шариковый подшипник, в подвижной В - радиальный роликовый. Тогда допускаемые углы поворота

Проверим выполнение условий жесткости  и :

в сечении А: ;

в сечении В: ;

в сечении C: ;

в сечении D: .

Видно, что условия жесткости вала с диаметром d =24 мм не выполняются как по прогибу (сечения A и D), допускаемому для валов, так и по углам поворота сечений в местах установки подшипников (сечения В и С).

Уточним диаметр вала. Новое значение диаметра определим по формулам

, .

Таким образом, из условия жесткости:

в сечении А: ;

в сечении В: ;

в сечении C: ;

в сечении D: .

Диаметр из условия жесткости примем

.

Округлим диаметр по ГОСТ 6636-86, ряд Ra 40, до ближайшего большего значения, то есть d =67мм.

3. Расчет вала на усталостную прочность

Выполним расчет вала на усталостную прочность в опасном сечении С - в месте посадки подшипника.

Выберем характеристики материала 40Х:

предел прочности: σВ=750 Мпа;

предел текучести: σ=670МПа;

пределы выносливости: σ-1=360МПа, τ-1=220МПа.

.1 Выбор типа соединения в опасном сечении вала

Сечение С - фиксация подшипника стопорным кольцом (рис. 5).

Определим основные размеры вала в опасном сечении С:

диаметр упорного буртика d1=(1,1…1.2)d=(1,1…1,2)67=(73,7…80,4)мм

радиус галтельного перехода r=(0,1…0,2)d=(0,1…0,2)67=(6,7…13,4)мм

размеры канавки для установки стопорного кольца: ширина проточки b=(0,04…..0,07)d=(0,04…0,07)67=(2,68…4,69)мм, глубина проточки t=(0,02…0,03)d=(0,02…0,03)67=(1,3…2,01)мм.

В расчетах примем d1=64мм; r=1,2мм; d2=64мм.

Рис. 5

Рис. 5, а

.2 Определение числа расчетных сечений и концентраторов напряжений

Концентратором напряжения в сечении С являются (Рис. 5, а):

галтельный переход (сечение 1-1);

посадка подшипника с натягом (сечение 2-2);

выточка для стопорного кольца (сечение 3-3).

Таким образом, в месте постановки подшипника имеем три расчетных сечения.

.3 Расчет характеристик цикла для нормальных и касательных напряжений в расчетных сечениях.

В опасном сечении С действует:

нормальная сила N = 760H,

изгибающий момент Mи =480,7Нм;

крутящий момент Т = 360Нм.

На внешних волокнах вала возникают наибольшие нормальные напряжения от изгиба , от растяжения , а также касательные напряжения .

При этом нормальные напряжения σ меняются по асимметричному циклу (рис. 6) с амплитудой  и средним напряжением , касательное напряжение по пульсирующему циклу (рис. 7) с амплитудой и средним напряжением напряжение (). Нормальные максимальные и минимальные напряжения определяются как: ;  соответственно.

рис. 6                                          рис. 7

Определим геометрические характеристики сечения и характеристики циклов переменных напряжений.

Сечение 1-1. Для диаметра d =64мм:

площадь

осевой момент сопротивления

полярный момент сопротивления

Так как в сечении

,

то

, ;

Касательные напряжения

,

Сечение 2-2. Для диаметра d=67мм:

площадь ;

осевой момент сопротивления ;

полярный момент сопротивления .

В сечении

;

 ;

;

.

Касательные напряжения

;

.

Сечение 3-3. Для диаметра d =64мм:

площадь

осевой момент сопротивления

полярный момент сопротивления

Так как в сечении

,

то

, ;

,

Полученные значения геометрических характеристик сечения и характеристик циклов переменных напряжений занесем в таблицу 2.

Таблица 2

.4 Выбор коэффициентов , учитывающих концентрацию напряжений, размер вала, качество обработки поверхности, упрочняющую технологию.

Примем коэффициенты чувствительности материала марки 40Х к асимметрии цикла по нормальным и касательным напряжениям соответственно .

Сечение 1-1: галтельный переход. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений (при r/d=1,2/64=0,02) kσ =1,98, kτ=1,81. Значение масштабного фактора εσ=ετ=0,67, при d=64мм.

Галтельный (радиусный) переход обрабатывают шлифованием. Следовательно, при σВ=750МПа, коэффициент качества поверхности βш=0,9 [3, с.589]. Аналогично для сечения 3-3.

Сечение 2-2: фиксация подшипника с натягом. Подшипники устанавливаются на вал по прессовой посадке. При этом коэффициенты концентрации напряжений kσ =3,9; kτ=2,75. Значение масштабного фактора εσ=ετ=0,64 при d=67мм. Посадочную поверхность считаем полированной следовательно, коэффициент качества поверхности βш=1 [3, с. 589].

.5 Расчет коэффициента запаса усталостной прочности

Запас прочности в сечении С по нормальным nσ и касательным nτ напряжениям расчитаем по формулам:

Сечение 1-1:

σ-1=360МПа, τ-1=220МПа

;

.

Сечение 2-2:

;

.

Сечение 3-3:

;

.

.6 Расчет коэффициента запаса усталостной прочности. Проверка прочности

Эквивалентный запас прочности, соответствующий плоскому напряженному состоянию, производим по формуле:

;

Допускаемое значение запаса прочности примем [n]=1,75. Условие усталостной прочности запишем в виде .

Выполним расчет эквивалентного запаса прочности:

Сечение 1-1:

.

Сечение 2-2:

.

Сечение 3-3:

.

Видно, что n1=5,64>[n]=1.75; n2=3,62>[n]=1.75; n3=5,64>[n]=1.75.

Следовательно в данном сечении условие усталостной прочности выполняется.

Вывод: анализ результатов показывает, что при d=67мм обеспечивается статическая и усталостная прочности, а также жесткость вала.

4. Расчёт на прочность плоской статически неопределимой рамы.

Требуется раскрыть статическую неопределимость заданной рамы, построить эпюры изгибающих моментов М, подобрать сечение.

.1 Раскрытие статической неопределимости рам

Исходные данные:=14 кH=7 кH/м=14 кHм=2,0 м=0,6 м

Основная система Эквивалентная система

Эквивалентная система

Каноническое уравнение метода сил:

Коэффициенты δ и Δ находим методом Верещагина. Для этого построим эпюры моментов для основной системы.

ЭМ(Х1=1)

ЭМ(Х2=1)

После находим грузовые эпюры от приложенных сил и моментов, а именно: ЭМ(F),ЭМ(q),ЭМ(М), и находим ΔР.

От F=14 кН

От М=14 кН

От q=7 кН/м

Тогда

Запишем систему уравнений подставив известные величины и умножив на EI:

Найдём значения X1 и X2:

кН;

кН.

Знак «­» означает, что сила Х1 направлена в противоположную сторону. Построим эпюры с полученными значениями Х1 и Х2:

От силы Х1:

От силы Х2:

.2 Кинематическая проверка решения

Известно, то угол поворота сечения С равен нулю. Используем это условие для проверки правильности найденных значений. Для этого возьмем основную систему, отличную от начальной, которая была использована в решении. В точку С приложим единичный момент.

Следовательно, полученные значения Х1 и Х2 верны.

.3 Построение суммарных эпюр

Эпюра ЭN:

Эпюра ЭQ:

Эпюра суммарных изгибающих моментов ЭМ:

Найдем :

;

;

.

Проверка:

;

,42-2,42-14+14=0.

Следовательно, все моменты найдены верно.

.4 Подбор сечения

Допускаемое напряжение

Условие прочности при изгибе:

 откуда

По таблице сортаментов (сталь прокатная, балка двутавровая ГОСТ 8239-89) выбираем двутавр №10 (Wх=39,7 см3).

;

.

Перегрузка не превышает 5%, поэтому номер двутавра 10.

Найдем горизонтальное смещение от силы F, для этого построим эпюру момента от силы F=1.

Список использованной литературы

1.            Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - М.: Изд-во МВТУ им. Баумана, 2001. - 560с.

2.      Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - М.: Изд-во МАИ, 1994. - 512с.

.        Справочник по сопротивлению материалов/ Писаренко Г. и др.- Киев: Наукова думка, 1988.-736с.

.        Справочник по сопротивлению материалов/ Рудицын М.Н., Артемов П.Я., Любошиц М.И.-Минск: Высшэйшая школа, 1970.-630с.

.        Серенсен С.В., Кокаев В.П., Шнейдерович Р.М. Валы и оси. М.: Машиностроение, 1970.

.        Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя: В 3-х т. Т.1.-5-е изд., перераб. и доп.-М.:Машиностроение, 1978.-728с.