Расчет и анализ основных характеристик простой дискретной связи

Оглавление

Введение

Задания и исходные данные

1. Структурная схема системы связи

2. Описание принципов кодирования источника при передаче дискретных сообщений. Построение кода. Кодирование построенным кодом небольшой фразы

2.1 Принципы кодирования источника при передаче дискретных сообщений

2.2 Построение кода

2.3 Кодирование построенным кодом произвольной фразы

3. Расчёт характеристик системы (согласно п. 2.2)

3.1 Определение энтропии и избыточности источника

3.2 Расчёт вероятностей двоичных символов, передаваемых по каналу; энтропии и избыточности кода

3.4 Изображение временных диаграмм в промежуточных точках схемы

4. Описание процесса принятия решения при приеме сигнала

5. Расчёт характеристик системы согласно пункту 2.3

5.1 Когерентный приём

5.2 Некогерентный приём

6. Расчет согласованного фильтра

7. Расчёт характеристик системы согласно п.2.4

7.1 Импульсная и комплексно-частотная характеристика согласованного фильтра

7.2 Отклик согласованного фильтра на посылку

7.3 Определение условных вероятностей ошибки и средней вероятности ошибки

7.4 Определение выигрыша в отношении сигнал/шум за счет согласованного фильтра

8. Структурная схема системы связи согласно п. 2.5

9. Построение (7,4)-кода Хемминга. Расчет согласно п. 2.5

9.1 Построение (7,4) - кода Хемминга

9.2 Расчет вероятностей однократной и двукратной ошибок в пределах одного кодового слова

10. Описание процессов декодирования последовательности, содержащей двукратную ошибку, согласно пункту 2.6

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Курсовая работа посвящена расчету и анализу основных характеристик простой дискретной связи. В данной курсовой работе изучаются методы кодирования сообщения с целью сокращения объема алфавита символов и достижения повышения скорости передачи информации. Предполагается использование двоичных кодов, как для статистического, так и для помехоустойчивого кодирования. Затем производится декодирование - восстановление символов исходного алфавита, в результате чего должен быть воспроизведен переданный текст.

Задания и исходные данные

Исходные данные:

Таблица 1

1. Алфавит источника сообщений с вероятностями

а	б	в	д	е	ж	и	к	м	н	о	п	р	с
0.105	0.025	0.105	0.02	0.094	0.036	0.087	0.093	0.016	0.107	0.066	0.054	0.122	0.07

. Код для сокращения избыточности источника - Шеннона-Фано

. Канальное кодирование - (7,4) - Кодом Хемминга

. Вид модуляции - амплитудная телеграфия (АТ) с пассивной паузой

. Форма посылки (радиоимпульс) - прямоугольная

Таблица 2

Исходные данные

Амплитуда сигнала а, В	Длительность посылки , мкс	Дисперсия шума ,
9	0.3	3.2

Задание:

2.1 Составить обобщенную структурную схему системы связи для передачи дискретных сообщений, содержащую кодер источника, модулятор, канал связи, демодулятор и декодер.

.2 Определить энтропию и избыточность источника кода, выполнить кодирование источника (построить экономный код), рассчитать энтропию и избыточность кода, вероятности двоичных символов, передаваемых по каналу, среднюю длину кодового слова, скорость передачи информации по каналу без помех. Изобразить временные диаграммы сигналов во всех промежуточных точках структурной схемы: а) фрагмента сигнала (отвечающего первым двум буквам сообщения) на входе модулятора, б) соответствующего колебания на входе демодулятора - с учетом амплитуды сигнала и дисперсии шума. Все диаграммы должны сопровождаться словесными описаниями.

.3 Рассмотреть случаи когерентного и некогерентного приема путем взятия однократного отсчета смеси высокочастотного сигнала с шумом на выходе линии связи и процесса на выходе детектора огибающей. Определить оптимальный по критерию идеального наблюдателя порог для принятия решения о принимаемом символе при когерентном и некогерентном приеме, условные вероятности ошибок первого и второго рода, среднюю вероятность ошибки, скорость передачи информации при наличии помех. Сделать выводы по результатам расчетов.

.4 Определить импульсную и комплексно частотную характеристики согласованного фильтра для приёма посылки. Построить их графики. Построить график отклика фильтра на посылку. Определить условные вероятности ошибок и среднюю вероятность ошибки при когерентном приеме с использованием согласованного фильтра. Оценить выигрыш в отношении сигнал/шум за счет согласованной фильтрации.

.5 Составить обобщенную структурную схему системы связи для передачи дискретных сообщений, использующую помехоустойчивое (канальное) кодирование. Рассчитать вероятности однократной и двукратной ошибок в пределах одного кодового слова и охарактеризовать свойства кода по обнаружению и исправлению ошибок.

.6 Внести в кодовую последовательность на выходе демодулятора двукратную ошибку в пределах одной кодовой комбинации. Выполнить процедуру декодирования статистического кода. Оценить результат, сделать выводы.

1. Структурная схема системы связи

Системой связи (рис. 1) информации называют совокупность технических устройств, которые обеспечивают передачу электрических сигналов с определёнными свойствами от одного пункта к другому. Входом системы является источник информации, а выходом - её получатель. В общем случае система связи имеет произвольное число входов и выходов и может обеспечивать двустороннюю передачу сигналов. Однако в дальнейшем будет рассматриваться система связи с одним входом и одним выходом, передающие сигналы лишь в одном направлении.

Непременной составной частью любой системы связи является линия связи. Линией связи называется среда, используемая для передачи сигналов от одного пункта к другому. В системах электрической связи - это пара проводов, кабель или волновод, в системах радиосвязи - область пространства, в которой распространяются электромагнитные волны. В линии связи, на модулированный сигнал U(t), всегда действует некоторая помеха .

Чтобы осуществить передачу сигналов, в какой-либо среде, необходимо перенести спектр этих сигналов из низкочастотной области в область достаточно высоких частот. Данная процедура получила в радиотехнике название модуляции. Устройство, осуществляющее данную операцию, носит название модулятора.

Кодирование источника - это однозначное отображение символов источника сочетаниями кодовых символов. Данную операцию обеспечивает кодер.

Восстановление переданного сообщения обычно осуществляется в два действия: демодуляция и декодирование. Цель первой из них, - это извлечение из модулированного сигнала колебания модулирующей частоты, т.е. действие, обратное модуляции, что и отображено в названии. Соответствующее устройство - демодулятор. В системах передачи дискретных сообщений в результате демодуляции последовательность элементов сигнала превращается в последовательность кодовых символов, после чего эта последовательность преобразуется в последовательность элементов сообщения, идущих к получателю. Это преобразование называется декодированием, а само устройство - декодером.

При совмещении кодера и декодера, а так же модулятора и демодулятора образуются соответственно кодек и модем.

Система связи работает следующим образом. От получателя на вход кодеру поступает любое дискретное сообщение - b(t) (рис. 1). В кодере данному сообщению единственным образом сопоставляется последовательность “нулей” и “единиц” - сообщение, закодированное двоичным кодом. Электрическое представление символов: “0” - отсутствие сигнала, “1” - прямоугольный видеоимпульс амплитудой А. На структурной схеме (рис. 1) - это сигнал . Далее сигнал  поступает на модулятор, где “заполняется” высокочастотным колебанием с определённой несущей частотой.

Распространяясь по линии связи, сигнал U(t) взаимодействует с помехой . Так как помеха имеет случайный характер, т.е. является случайной величиной, то на выходе линии связи мы получим сумму сигнала и помехи - Z(t).

Далее, реализация Z(t) поступает на вход демодулятора. Так как в линии связи действовала помеха, то продетектированный видеоимпульс  (на выходе демодулятора) так же будет иметь случайный характер.

Оставшуюся задачу - преобразование двоичного кода в первоначальное сообщение - решает декодер.

2. Описание принципов кодирования источника при передаче дискретных сообщений. Построение кода. Кодирование построенным кодом небольшой фразы

 

.1 Принципы кодирования источника при передаче дискретных сообщений

Во многих случаях для передачи сообщения его целесообразно преобразовать в последовательность кодовых символов. При кодировании каждый символ сообщения преобразуется в последовательность кодовых символов. Целью кодирования может быть необходимость повышения скорости передачи информации, уменьшения вероятности ошибки при приеме сообщения, либо согласование формы передаваемого сообщения с каналом связи. Совокупность всех кодовых символов кода называется кодовым алфавитом. Количество символов в кодовом алфавите называется основанием кода.

Код - совокупность всех допустимых кодовых комбинаций. Если каждый символ сообщения заменяется при кодировании одинаковым количеством кодовых символов, то код называется равномерным, если нет, то - неравномерным.

Кодирование источника основано на использовании, в рамках заданного алфавита кодов переменной длины с целью уменьшения числа символов в сообщении до минимума, необходимого для представления всей информации сообщения. Общее правило кодирования источника без памяти состоит в том, что более вероятным символам источника ставятся в соответствие менее длинные кодовые слова.

При кодировании источника конкретный код выбирается на основе характеристик источника сообщения (т.е. относительных вероятностей появления различных знаков алфавита в исходной программе), а не на основе характеристик канала, по которому, в конечном счете, будет передаваться сообщение.

 

.2 Построение кода

В данной работе: основание кода , применяется код Шеннона-Фано. Произведём кодирование данного в задании алфавита из набора букв, результаты внесем в таблицу 3.

Принцип построения кода Шеннона-Фано:

1. Все буквы алфавита располагаются в порядке убывания их вероятностей.

2. Все буквы делятся на две группы так, что их суммарные вероятности равны.

3. Всем буквам первой группы приписываем в качестве первого кодового символа «0», а второй - «1».

4. Каждую из подгрупп делим на две части по тому же принципу и т.д.

Таблица 3

Кодовые комбинации по методу Шеннона-Фано

символы	вероятности символов	кодовые комбинации					кол-во 0	кол-во 1	длина к.к.
Р	0.122	0	0	0			3	0	3
Н	0.107	0	0	1			2	1	3
В	0.105	0	1	0			2	1	3
А	0.105	0	1	1	0		2	2	4
Е	0.094	0	1	1	1		1	3	4
К	0.093	1	0	0			2	1	3
И	0.087	1	0	1	0		2	2	4
С	0.070	1	0	1	1		1	3	4
о	0.066	1	1	0	0		2	2	4
П	0.054	1	1	0	1		1	3	4
Ж	0.036	1	1	1	0	0	2	3	5
Б	0.025	1	1	1	0	1	1	4	5
Д	0.020	1	1	1	1	0	1	4	5
М	0.016	1	1	1	1	1	0	5	5

2.3 Кодирование построенным кодом произвольной фразы

Закодируем фразу: «номером один»

НОМЕРОМОДИН

1100 11111 0110 000 1100 11111 1100 11110 1010 001

 

 

3. Расчёт характеристик системы (согласно п. 1.2)

 

.1 Определение энтропии и избыточности источника

По определению энтропия любого двоичного источника без памяти равна:

 (3.1)

Подставим в формулу 3.1 значения из таблицы 1 и найдём энтропию источника:

H(A) = 3.613 бит/символ

Избыточность источника по определению равна:

 (3.2)

где Н_max - максимальная энтропия источника (с равновероятными символами). Она равна:

Теперь рассчитаем избыточность источника согласно (3.2):

 

.2 Расчёт вероятностей двоичных символов, передаваемых по каналу; энтропии и избыточности кода

Алфавит кода состоит из двух символов 0 и 1, поэтому энтропия кода равна:

 (5.3)

где Р₁ и Р₀ - вероятности 1 и 0 соответственно. Они в свою очередь равны соответственно:

 (3.4)

 (3.5)

где m_ср - средняя длина кодовых слов, 1 и 0 - количество нулей и единиц в соответствующих кодовых словах закодированного источника.

 (3.6)

Теперь в соответствии с (3.4) и (3.5) посчитаем вероятности 1 и 0:

Р₁ = 0.502, Р₀ = 0.498

Подставим полученные вероятности в (3.3) и получим энтропию кода:

бит/символ

Избыточность кода вычисляется по формуле, аналогичной (5.2), только вместо Н(А) будет Н(В), а Н_max изменится, т.к. изменилось количество символов в алфавите:

 бит/символ

 (3.7)

 

3.3 Расчёт скорости передачи информации по каналу

Скорость передачи информации по каналу без помех находится по формуле:

 (3.8)

Энтропия кода по пункту (3.2) равна Н(В) = 0.999986 бит/символ, а длительность посылки t = 1.5 мкс. Подставляя эти значения в (5.8), находим:

3.4 Изображение временных диаграмм в промежуточных точках схемы

Необходимо изобразить фрагмент сигнала, отвечающий первым двум буквам сообщения (первые 2 буквы кодируемого нами сообщения - НО, им соответствует кодовая комбинация 0001100). При построении учтем амплитуду сигнала а = 11 В, и длительность посылки τ = 1.5 мкс.

Рис. 3.1 Фрагмент сигнала, отвечающий первым двум буквам сообщения на входе модулятора

Рис. 3.2 Фрагмент сигнала, отвечающий первым двум буквам сообщения на выходе модулятора

При прохождении канала связи, сигнал взаимодействует с шумом. Поэтому его вид на входе демодулятора будет отличаться от сигнала на выходе модулятора.

Рис. 3.3 Фрагмент сигнала, отвечающий первым двум буквам сообщения на входе демодулятора

4. Описание процесса принятия решения при приеме сигнала

В системах передачи информации с пассивной паузой, использующих бинарный код (совокупность «0» и «1»), задача анализа сигнала в приёмнике сводится к тому, что решающее устройство должно однозначно определить есть сигнал в линии связи или нет, т.е. передавался символ «1» или «0». В такой системе связи задача демодулятора состоит в том, чтобы по наблюдаемому колебанию  принять решение  о переданном сигнале , такое, чтобы обеспечить максимальную верность. Правило (алгоритм) принятия решения - это закон преобразования  в .

Далее предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина у, которая может иметь различное распределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе  - «сигнала нет» - является Гауссовским с нулевым средним, а распределение при гипотезе  - «сигнал есть» - отличается сдвигом на величину . Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями распределения вероятности  и , изображенными на рис. 6.1. (формулы №6.1, №6.2 соответственно).

Рис. 4.1. - Условные плотности распределения вероятности величины  при простых гипотезах

 (4.1);

 (4.2)

В данной постановке демодулятор (приёмник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении y. Разумный алгоритм принятия решения в таком случае должен сравнить y с некоторым фиксированным значением (порогом) y_п и если y больше порога, принять решение о наличии сигнала, в противном случае - о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:

Каким бы ни был порог , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность  принять решение о наличии сигнала при его фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражением:

 (4.3)

Аналогично, существует ненулевая вероятность принять решение об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала).

 (4.4)

Анализ рисунка показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог  находится, как абсцисса точки пересечения условных плотностей и . Очевидно, при таком выборе порога приёмник является оптимальным по критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки:

 (4.5)

где Р_i - вероятность появления символов кода, а P_ij вероятности приёма j-ого символа при передаче i-ого символа. Таким образом, в нашем случае:

 (4.6)

где р₀ и р₁- вероятности правильного приёма символов 0 и 1 для соответствующих гипотез.

Принятие решения основывается на сравнении значений функций  и  при наблюдаемом значении :

;

.

Это правило принятия решения можно переписать также в форме

;

- правило максимального правдоподобия

Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, которая представляется более правдоподобной при данном значении , поэтому отношение  называется отношением правдоподобия и обозначается .

Критерий идеального наблюдателя предполагает учёт априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия приёмник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки, т.е. наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок первого и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функции  и , умноженные на соответствующие априорные вероятности. Правило принятия решения в таком приёмнике можно записать в форме:

;

Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в виде:

,

,

При этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением, зависящим от априорных вероятностей.

Данные выражения отражают суть принятия решения при использовании критерия правдоподобия о наличии, либо отсутствии сигнала.

5. Расчёт характеристик системы согласно пункту 2.3

 

.1 Когерентный приём

 

.1.1 Определение порога по критерию идеального правдоподобия

Если в линии только шум с нулевым средним (гипотеза Н₀), то на выходе канала связи есть сигнал с Гауссовой плотностью распределения огибающей:

 (5.1)

Если в линии сумма сигнала и шума (гипотеза Н₁), то на выходе канала связи есть сигнал с Гауссовой плотностью распределения огибающей:

 (5.2)

График 5.1 Плотности распределения вероятностей в случае когерентного приема

Приравнивая (7.1) к (7.2) и учтя вероятности двоичных символов, найденные в пункте 5.2, запишем выражение для нахождения порога для принятия решений по критерию идеального наблюдателя:

Отсюда получаем:

5.1.2 Расчёт средней вероятности ошибки

Отношение правдоподобия - это отношение плотности распределения огибающей суммы сигнала и шума к плотности распределения огибающей шума, по значению которого можно принять решение о том, какой элемент передавался. С учётом того, что вероятности двоичных символов не равны, оно записывается так:

Вероятность ошибки 1 рода при когерентном приёме вычисляется интегрированием условной плотности распределения огибающей шума  в пределах от у_п до бесконечности.

Вероятность ошибки 2 рода при когерентном приёме вычисляется интегрированием условной плотности распределения огибающей суммы сигнала и шума  в пределах от минус бесконечности до у_п:

 

 

Средняя вероятность ошибки находится по следующей формуле:

 (7.5)

 

.1.3 Определение скорости передачи информации при наличии помех

Расчет скорости передачи информации в цифровом канале с помехами основывается понятии совместной энтропии входа и выхода канала. Формула нахождения скорости имеет вид:

 (5.6)

Где  - среднее количество передаваемой по каналу информации (приходящееся на один символ).

В - алфавит источника на входе модулятора

Г - алфавит источника на выходе демодулятора

Для определения совместной энтропии Н(В,Г) необходимо найти совместные вероятности всех сочетаний входных и выходных символов, а для этого необходимо записать условные вероятности выходных символов при заданных входных. Эти условные вероятности определяются, в свою очередь, условными вероятностями ошибок первого и второго рода, рассчитанными ранее:

 

 

Совместные вероятности сочетаний входных и выходных символов:

 

 

Теперь мы можем определить безусловные вероятности выходных символов:

Совместная энтропия входа и выхода канала:

5.2 Некогерентный приём

 

.2.1 Определение порога по критерию идеального правдоподобия

Если в линии только шум с нулевым средним (гипотеза Н₀), то на выходе канала связи есть сигнал с законом распределения Рэлея:

 (5.7)

Если в линии сумма сигнала и шума (гипотеза Н₁), то на её выходе есть сигнал с обобщённым законом распределения Рэлея:

График 5.2 Плотности распределения вероятностей при некогерентном приеме

 (5.8)

где IO - модифицированная функция Бесселя

Приравнивая (5.7) к (5.8) и учтя вероятности двоичных символов, найденные в пункте (5.2), запишем выражение для нахождения порога для принятия решений по критерию идеального наблюдателя:

5.2.2 Определение условных вероятностей ошибок первого и второго рода, средней вероятности ошибки

Найдем условные вероятности ошибок первого и второго рода:

Найдем среднюю вероятность ошибки:

5.2.3 Определение скорости передачи информации при наличии помех

Расчётные формулы для некогерентного приёма такие же как и для когерентного, изменились только вероятности ошибок 1-ого и 2-ого рода, а следовательно, совместные и безусловные вероятности двоичных символов.

Найдем совместные вероятности сочетаний входных и выходных символов:

 

 

Безусловные вероятности выходных символов:

При когерентном приеме сигнала вероятности ошибок первого и второго рода меньше, а значит и средняя вероятность ошибки меньше, чем при некогерентном. Скорость передачи информации также выше при когерентном приеме. Таким образом, использование когерентного приема более выгодно.

частотный импульсный дискретный код

6. Расчет согласованного фильтра

В случае приёма сигнала известной формы демодулятор должен вычислить значение корреляционного интеграла, которое сравнивается с порогом, выбираемым в соответствии с принятым критерием эффективности. Устройство, вычисляющее корреляционный интеграл, называется коррелятором.

Рис 9. Структура коррелятора

Коррелятор является нестационарным (параметрическим) устройством и включает генератор опорного колебания, совпадающего по форме с ожидаемым сигналом на интервале наблюдения, и интегратор, на выходе которого в момент окончания интервала наблюдения формируется значение, сравниваемое с порогом. В некоторых случаях удобнее использовать ЛИС-цепь, которая вычисляет значение корреляционного интеграла и называется согласованным фильтром. Этот фильтр, как и любая ЛИС-цепь, исчерпывающим образом описывается импульсной характеристикой h_сф(t), при этом выходной сигнал определяется свёрткой (интегралом Дюамеля), которая для момента t₀ сравнения с порогом равна

 (6.1)

А с учётом финитности посылки:

 (6.2)

Учитывая, что в момент t₀ на выходе согласованного фильтра должно быть выработано значение корреляционного интеграла, приходим к выводу, что должно выполняться равенство

 (6.3)

откуда , следовательно, . Импульсная характеристика согласованного фильтра, таким образом, совпадает по форме с ожидаемым сигналом, обращённым во времени и задержанным на время t₀. Для выполнения требования каузальности необходимо, чтобы t₀ было не меньше, чем τ.

Рис. 6.1 Случайный сигнал и импульсная характеристика согласованного фильтра данного сигнала

АЧХ согласованного фильтра совпадает по форме с модулем спектральной плотности сигнала . Это означает, что согласованный фильтр имеет больший коэффициент для более интенсивных частотных компонент сигнала («подчеркивает» сильные гармоники и подавляет слабые).

7. Расчёт характеристик системы согласно п.2.4

 

.1 Импульсная и комплексно-частотная характеристика согласованного фильтра

Примем  c. Исходная посылка имеет вид ( Гц):

График 7.1 Исходный сигнал

График 7.2 Импульсная характеристика согласованного фильтра

Комплексно-частотная характеристика согласованного фильтра является комплексно-сопряженной функцией по отношению к спектральной плотности ожидаемого сигнала, умноженной на фазовый множитель, соответствующий задержке на t₀.

График 9.3 Амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра

7.2 Отклик согласованного фильтра на посылку

Отклик согласованного фильтра на посылку будет определяться сверткой:

 (9.1)

Отклик фильтра будет по форме отличаться от исходного сигнала. Дело в том, что от фильтра не требуется передать форму сигнала, а нужно создать максимальный всплеск в момент времени t₀. Можно видеть, что при t = t₀ значение отклика максимально и численно равно энергии сигнала.

График 7.4 Отклик согласованного фильтра на посылку

 (7.2)

 (7.3)

Это можно объяснит тем, что отклик представляет собой АКФ посылки, которая достигает максимума, равного энергии сигнала, при нулевом значении аргумента.

 (7.4)

7.3 Определение условных вероятностей ошибки и средней вероятности ошибки

Для определения условных вероятностей ошибки и средней вероятности ошибки при когерентном приеме с использованием согласованного фильтра необходимо найти дисперсию шума на выходе и рассмотреть гауссовы плотности распределения вероятностей.

Учитывая, что шум на входе согласованного фильтра квазибелый с полосой (-F;F), содержащей 99% энергии сигнала, получим:

Тогда СПМ шума:

Дисперсия шума на выходе согласованного фильтра:

Найдем плотности распределения вероятности шума и смеси сигнала с шумом. Условная ПРВ для гипотезы H0 - только шум на выходе согласованного фильтра:

 (7.5)

Условная ПРВ для гипотезы H1 - шум+сигнал на выходе согласованного фильтра:

 (7.6)

График 7.6 Плотности распределения вероятности для двух гипотез

Найдем условные вероятности ошибок:

Средняя вероятность ошибки равна:

7.4 Определение выигрыша в отношении сигнал/шум за счет согласованного фильтра

Отношение сигнал/шум по мощности на выходе согласованного фильтра:

 (7.6)

Принимая k = 1, имеем , тогда

Выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению со случаем однократного отсчета равен:

 (7.7)

8. Структурная схема системы связи согласно п. 2.5

Рис. 10. Обобщённая структурная схема системы связи, использующая помехоустойчивое (канальное) кодирование

В системе связи для передачи дискретных сообщений с помехоустойчивым кодированием имеется канальный кодер и канальный декодер. Канальный кодер обеспечивает повышение помехоустойчивости путем введения дополнительной избыточности. Канальный декодер проверяет наличие ошибок в коде и исправляет их. Декодирование осуществляется в следующем порядке: вначале производится декодирование помехоустойчивого кода, а затем на основе полученной двоичной последовательности производится восстановление символов исходного алфавита.

9. Построение (7,4)-кода Хемминга. Расчет согласно п. 2.5

 

.1 Построение (7,4) - кода Хемминга

Реализовать помехоустойчивое кодирование можно с помощью кода Хемминга. Особенность кода Хемминга заключается в том, что путем введения дополнительных проверочных символов можно не только обнаружить ошибку, но и исправить её. Коды Хэмминга представляют собой (n,k)-коды, удовлетворяющие условию

 (9.1)

Для (7,4)-кода порождающая матрица будет иметь вид:

Закодируем фразу составленную в п 4.3 с помощью кода Хемминга.

Н	001
О	1100
М	11111
Е	0111
Р	000
О	1100
М	11111
О	1100
Д	11110
И	1010
Н	001

Для этого разобьем фразу по 4 символа:

1001 1111 0111 0001 1001 1111 1100 1111 0101 0001

Составим матрицу Х, содержащую полученные информационные блоки в качестве строк и, помножив ее на порождающую матрицу, получим матрицу кодовых слов С.

;

 

.2 Расчет вероятностей однократной и двукратной ошибок в пределах одного кодового слова

Расчет вероятностей однократной и двукратной ошибок в пределах одной кодовой комбинации длины n можно выполнить по формуле биномиального распределения вероятностей

 (9.2)

где k следует положить равным соответственно 1 и 2. В качестве p подставим среднюю вероятность ошибки при приеме одного символа р_ощ найденную в пункте 7.1.

Как видно, вероятность ошибки одновременно в двух разрядах кодового слова мала. Значит, кодовые комбинации подвержены преимущественно ошибкам в одном разряде, а эти ошибки код Хэмминга исправляет, что говорит об эффективности кода.

10. Описание процессов декодирования последовательности, содержащей двукратную ошибку, согласно пункту 2.6

Сначала рассмотрим случай однократной ошибки. Предположим, что в разрешенной кодовой комбинации 0001011 при передаче произошла однократная ошибка - 1001011.

Проверить наличие ошибки можно с помощью проверочной матрицы Н:

Если при умножении вектора-строки на транспонированную матрицу в результате получится вектор (синдром) являющийся нулевым, то ошибки нет. В противном случае присутствуют ошибки.

;

Одиннадцатая строка получилась ненулевая 101. 101 - соответствует первому столбцу проверочной матрицы. Это значит, что ошибка была допущена в первом символе.

Рассмотрим случай двукратной ошибки (вместо символа 0001011 был принят 1000011).

;

указывает на ошибку в 3-м символе, что не является верным.

Можно видеть, что наличие ошибок было определено в обоих случаях. Однако в случае однократной ошибки ошибочный 1-й символ, как ошибочный, был определен верно, что дает возможность его исправить, а в случае двукратной ошибки синдром указывает на ошибку в 3-м символе, и подобное решение не является верным. Из полученных результатов можно сделать вывод, что код Хемминга (7,4) обнаруживает однократные и двукратные ошибки, но исправляет только однократные.

Выполним процедуру декодирования полученной последовательности в соответствии с кодом Хемминга, для случая двукратной ошибки. Декодирование может заключаться в отбрасывании проверочных символов, но это не обеспечит обнаружения и исправления ошибок. Произведем подобную процедуру:

Полученная закодированная фраза будет иметь вид:

Зная свойство кода, что ни одна кодовая комбинация не является началом какой-либо другой кодовой комбинации, произведем декодирование статистического кода.

1100 11111 0111 000 1100 11111 1100 11110 1011 000

Н О М Е Р О М О Д С Р

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что ошибки в пределах одной кодовой последовательности могут исказить часть сообщения, и это приводит к выбору ошибочных символов. На принятие решения влияет то, где была допущена ошибка (среди информационных или проверочных символов), сколько ошибок было допущено и др.

Заключение

В данной работе рассмотрена простейшая модель системы передачи информации, которая может быть распространена на любую реальную систему передачи дискретных сообщений. В дальнейшем, при разработке более сложных систем связи, возможно использование результатов данной работы.

Исходя из полученных результатов, можно сделать следующие выводы:

Когерентный прием обладает рядом преимуществ перед некогерентным (более высокая скорость передачи информации, сравнительно малая вероятность средней ошибки). Для данных способов приема сигнала результаты, полученные при расчете, вполне справедливы, т.к. при когерентном приеме известна форма сигнала, частота заполнения и начальная фаза, а значит, и вероятность ошибиться меньше, чем при некогерентном приеме, когда нам известна лишь форма огибающей сигнала.

Согласованная фильтрация применяется для повышения отношения сигнал/шум на выходе сигнала. Это, в свою очередь, увеличивает помехоустойчивость системы (вероятность безошибочного решения). Иными словами, согласованный фильтр нужен для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника.

(7,4)-код Хемминга обнаруживает одно- и двукратные ошибки и исправляет однократные, но в тоже время он увеличивает избыточность кода, следовательно, уменьшает скорость передачи информации.

Список использованной литературы

1. Васюков В.Н., Теория Электрической связи - учебник, Новосибирск-2005 г.

2.      Васюков В.Н., Теория Электрической связи - методичка, Новосибирск-2007 г.

.        Лекции по ТЭС. Васюков В.Н.