Две замечательные теоремы планиметрии
Две замечательные
теоремы планиметрии.
Мендель В.В.,
доцент
кафедры геометрии ХГПУ
В
этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.
Эти
теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство
авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие)
считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.
Замечательным
свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при
повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью
легко доказываются следующие свойства:
1.
медианы треугольника пересекаются в одной точке;
2.
высоты треугольника пересекаются в одной точке;
3.
биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних
углов треугольника пересекаются в одной точке;
В
С1
А1
В1
А
С
рисунок
1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)
4.
отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или
вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.
Кроме
того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество
задач, предполагающих использование теоремы Чевы.
К
сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно
недостаточно.
Одна
из целей данной статьи: показать, как эффективно может работать теорема Менелая
при решении сложных (и не очень) геометрических задач.
Формулировки
теорем Чевы и Менелая.
В
А
С В1
А1
С1
рисунок
1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)
Теоремы
Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в
векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и
обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и доказательства, не требующие
знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников.
Теорема
Менелая.
Пусть
в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
(*)
на
рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.
Доказательство:
Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то
имеет место утверждение (*).
Будем
рассматривать случай, соответствующий рис.1 а).
Опустим
из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см.
рис.2)
В
Н1
Н2
С1
А1
Н3
А
С В1
рисунок
2
Мы получили три пары подобных прямоугольных
треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1 и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.
(У
первых двух пар равны верти-
кальные
углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной
B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий:
; ; .
Легко
заметить, что произведение левых частей трех этих равенств равно единице.
Отсюда следует, что произведение правых частей также равно единице. Что и
соответствует утверждению (*).
Обратное
утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет
место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда
прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В
силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В
имеет место равенство: в
силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В:
.
Таким
образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении. Отсюда
вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь очевидно доказуемое) противоречие:
нет двух различных точек, делящих один и тот же отрезок в одном и том же
отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может быть двух различных середин).
Доказательство
для случая, соответствующего рис.1 б) аналогично.
Теорема
Чевы.
Пусть
в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется
соотношение:
(**)
На
рис.3 а) и б) показаны различные возможные варианты расположения точек на
прямых АВ, АС и ВС.
В
С1
А1
О
А
В1
С
рисунок
3 а)
Доказательство:
(прямая теорема)
Запишем
теорему Менелая для треугольника АВВ1 и прямой С1О(С): (1)
проделаем
тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А):
(2)
В
А
В1 С
О
С1
А1
рисунок
3 б)
Перемножив
левые части равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим
выражение (**).
Некоторые
рекомендации по применению теоремы Менелая
для
решения задач.
Одним
из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их
решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым предлагается
решить конкурсную(или олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.
Итак,
в каких случаях уместно применить теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть
возможность применения этой теоремы если в условиях задачи:
1)
идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство
отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);
2)
если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник
и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).
Конечно
есть случаи когда применение теоремы Менелая в решении не очевидно и требует
дополнительных построений.
Заметим
также, что иногда полезно применять обратную теорему (в частности, если нужно
доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой).
Примеры
решения задач.
Начнем
с достаточно простых.
1.
Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN).
Решение:
SMKNC=SBNC-SBKM.
Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S).
Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем теперь SBKM. Так как треугольник NВС и
ВKМ имеют общий угол В, их площади относятся как произведения сторон,
прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC.
Второе
отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.
Для
того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой Менелая: запишем её
для треугольника NВС и точек М, K и А:
Второе
и третье отношения нам известны, подставим их:
и
Подставив
найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:
,
зная
площадь треугольника NВС (S)
находим площадь треугольника ВKМ:
Теперь
легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=S-S=S.
Для
самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной
редакции.
2.
Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили
сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки, проведенные из вершины С,
поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите площадь
четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных отрезка.
Следующая
задача была предложена И.Ф. Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для
решения учащимся 10-11 классов.
3.
Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD
пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на
отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ.
Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.
Решение:
Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и
М
В
L
Q С
А
Д К Р
рисунок
4
прямую
LQ(P). Запишем теорему Менелая:
Напомним,
что РА+РC=РВ+ РD =180°.
Выразим
отрезки АL и LD через перпендикуляр KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда
Теперь
выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из D AMP),
BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из D MBP).
Отсюда
рисунок
5
Подставив
найденные отношения в полученную выше формулу имеем:
откуда
что и требовалось
доказать.
(Авторское
решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).
В
заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году
на краевой олимпиаде.
4.
На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF
пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.
Решение:
запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В):
т.к.
СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и требовалось доказать.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru