Интеграл Пуассона
Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x)
будем обозначать свертку
f*g(x) =dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема
на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где
{ cn
( f )} -- коэффициенты
Фурье функции f ( x ) :
cn = -i n tdt
, n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим
при 0 £ r < 1 функцию
¦r ( x ) = n
( f ) r| n | ei n x , x Î [ -p, p ] , ( 2 )
где
ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного
r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r
(х) равны
cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно
(1) значит, что ¦r ( x ) можно
представить в виде свертки :
¦r ( x ) = ,
( 3 )
где
, t Î [ -p, p ] . ( 4 )
Функция
двух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) --
интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = ,
0 £ r < 1 , t Î [ -p, p]
. ( 5 )
Если
¦Î L1 (
-p, p
) - действительная
функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = `cn( f ) ,
n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения
(2) мы получим :
fr ( x ) =
= ,
( 6 )
где
F (
z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix
) ( 7 )
-
аналитическая в единичном круге
функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в
единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ]
.
При этом гармонически
сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается
формулой
v
(z) = Im F (z) = .
( 8 )
Утверждение1.
Пусть
u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция
и ¦ (x) = u
(eix) , xÎ[ -p, p ] .
Тогда
u
(z) = ( z = reix
, | z | < 1 ) ( 10 ).
Так
как ядро Пуассона Pr
(t) - действительная функция, то
равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая
функция:
=,
| z | < 1+ e .
Но
тогда
и
равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде
чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x)
при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого d>0
Соотношения
а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно
положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.
Теорема
1.
Для
произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место
равенство
;
если
же ¦ (x) непрерывна
на [ -p, p
] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и
свойства б) ядра Пуассона
( 12
)
Для
любой функции , пользуясь неравенством
Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для
данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что
. Тогда для r , достаточно
близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично
второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим
определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа",
которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть
функция суммируема на любом интервале (-А, А),
А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция
где
супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение
2.
Оператор
называется оператором слабого типа (р,р)
, если для любого y > 0
.
Теорема
2 (Фату).
для п.в. .
Доказательство.
Покажем,
что для и
, (
13 )
где
С - абсолютная константа , а M
( f, x ) - максимальная функция
для f (x) [*].
Для этой цели используем легко выводимую
из (5) оценку
(К
- абсолютная константа).
Пусть
- такое число, что
.
Тогда
для
.
Неравенство
(13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций
,что
,
(
14 )
для п.в. .
Согласно
(13) при xÎ (-2p,2p)
Учитывая
, что по теореме 1 для каждого xÎ [-p, p]
и (14)
Из последней оценки получим
при n®¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя
вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно
показать, что для п.в. xÎ [-p, p] ,
когда точка reit стремится к eix по
некасательному к окружности пути.
[*]
Мы считаем , что f (x) продолжена
с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] и x-y=2p) и f (x) = 0 , если |x| > 2p .