Эконометрика

МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ"

Кафедра экономики и управления

Контрольная работа №1

по дисциплине: ”Эконометрика”

студентки ФЗО группы МС-161

специальность 1-26 02 03 “Маркетинг”,3 курс

Журов Алексей Александрович

2012 г.

Задача 1

Условие:

Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, за отчетный период известны межотраслевые потоки -

,

и вектор конечного использования -

.

1       Построить схему межотраслевого баланса за отчетный период.

2       Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановом периоде известен валовый выпуск продукции:

.

Привести числовую схему баланса.

3.      Определить, каков должен быть валовый выпуск продукции отраслей в плановом периоде, если известен выпуск продукции для конечного использования:

матрица баланс план график

. Какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение цены на продукцию отрасли 1 в 2 раза, на изменение цен в других отраслях. Структуру затрат отчетного периода сформировать самостоятельно, исходя из того, что на заработную плату первой отрасли приходится 0,3, второй отрасли - 0,32, третьей отрасли - 0,4валовой добавленной стоимости. Рост заработной платы отстает от роста цен, коэффициент эластичности заработной платы от цен составляет 0,75. Реальная динамика затрат в прогнозном периоде остается неизменной.

5.      Какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение зарплаты в отрасли 3 на 30%, на увеличение цен продукции отраслей. Заработная плата в остальных отраслях остается неизменной.

Решение

1.      Схема МОБ за отчетный период

.       
Коэффициенты прямых затрат определяются в соответствии с соотношением

.

Вычисления можно оформить в виде матрицы:

.

Найдем матрицу «затраты-выпуск»:

Вектор конечного использования определим на основе балансового соотношения

.

Определим объемы межотраслевых поставок по формуле

, , ;

Вычисления можно оформить в виде матрицы

Определим валовую добавленную стоимость по формуле

.

;

;

Схема МОБ на плановый период

3.      Определим вектор валовой продукции отраслей  по известному вектору конечного использования  по формуле

.

Матрицу коэффициентов полных затрат  рассчитывают путем обращения матрицы :

,

где  − алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Найдем определитель матрицы

.

;

Вектор валового выпуска в плановом периоде

4.      Определим влияние увеличения цены на продукцию первой отрасли в 2 раза на изменение цен в других отраслях.

Сформируем структуру затрат отчетного периода, исходя из того, что на заработную плату первой отрасли приходится - 40%, второй отрасли - 30%, третьей отрасли -32% валовой добавленной стоимости.

Валовая добавленная стоимость определяется как разность между валовым выпуском и промежуточными затратами по формуле

.

Для отчетного периода

;

;

.

Определяем заработную плату в отраслях для отчетного периода

;

;

.

Прочие элементы валовой добавленной стоимости находятся как разность между валовой добавленной стоимостью и заработной платой.

Первый и третий разделы отчетного МОБ будут иметь вид

Балансовое соотношение для прогнозирования цен (2.7) для нашей задачи будет иметь вид

,

где  - индекс цен j-ой отрасли;

 - i-ый элемент валовой добавленной стоимости j-ой отрасли.

Так как рост заработной платы отстает от роста цен, и коэффициент эластичности зарплаты от цен составляет 0,85, то заработную плату необходимо умножить на 0,85. По условию . Тогда I и III разделы отчетного МОБ в текущих ценах будут иметь вид

Величина затрат на продукцию второй отрасли не влияет на формирование цены в этой отрасли, поэтому система балансовых уравнений включает уравнения только для первой и третьей отраслей и будет иметь вид

После приведения подобныхполучаем систему

Решая систему, находим

Следовательно, индекс цен в первой отрасли составит 155,3%, а в третьей отрасли - 169,89%.

Таким образом, при увеличении цены второй отрасли в 2 раза, в третьей цена увеличится на 69,89%, а в первой на 55,3%.

5.      Рассчитаем, какое влияние в условиях рынка окажет увеличение заработной платы во второй отрасли на 50% на увеличение цен на продукцию отраслей.

I и IIIразделы отчетного МОБ в текущих ценах будут иметь вид

Система балансовых уравнений будет иметь вид

После приведения подобных получаем систему

Решая систему, находим

Следовательно, индекс цен в первой отрасли составит 70,1%, во второй отрасли - 49,74%, а в третьей отрасли - 26,93%.

Таким образом, при увеличении заработной платы в первой отрасли на 50% цена на продукцию первой отрасли увеличилась на 70,1%, во второй уменьшится на 50,26%, в третьей уменьшится на 73,07%.

Задача 2

Условие

Определить план производства  продукции двух видов (т.), максимизирующий прибыль (руб.),

И выручку от реализации продукции (руб.)

при ограничениях на расход ресурсов

методом равных наименьших относительных отклонений.

Решение.

Решим задачу методом равных наименьших относительных отклонений.

Определим максимальную величину прибыли  при ограниченных ресурсах. Для этого решим графически задачу

Построим область допустимых значений, которая задается системой ограничений. Геометрической интерпретацией линейного ограничения является полуплоскость, ограниченная прямой. Запишем уравнения граничных прямых и для их построения найдем по две точки, лежащих на этих прямых:

) , (10; 30), (40; 10);

) , (30; 5), (20; 25).

) , (40; 20), (15; 30).

Пересечением полуплоскостей является многоугольник ОАВСD (см. рисунок 1) - это область допустимых значений.

Графической интерпретацией целевой функции является множество линий уровня. Вектор-градиент , на чертеже изображен вектор координатами которого являются частные производные целевой функции по и , показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. Линии уровня перпендикулярны вектору-градиенту. На чертеже обычно изображают одну из них, например .

Для определения точки, в которой целевая функция  принимает наибольшее значение, перемещаем линию уровня  в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она займет крайнее положение в области допустимых значений. Для данной задачи это точка C.

Координаты точки C определяем из решения системы, составленной из уравнений прямых, пересекающихся в этой точке:

Решая систему, находим

Следовательно, точка C имеет координаты (21.25; 22.5). В этой точке значения целевых функций -

Итак, максимальная прибыль составляет 131.25руб. и достигается при выпуске 21,25 т продукции вида  и 22,5 т. продукции вида

Определим максимальную величину выручки  при ограниченных ресурсах. Для этого решим графически задачу

Графической интерпретацией целевой функции  является множество линий уровня. Вектор-градиент , координатами которого являются частные производные целевой функции  по и , показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции. Линии уровня перпендикулярны вектору-градиенту. На чертеже обычно изображают одну из них, например .

Для определения точки, в которой целевая функция  принимает наибольшее значение, перемещаем линию уровня  в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она займет крайнее положение в области допустимых значений. Для данной задачи это точка D с координатами (32.5; 0). В этой точке значение целевой функции -

Итак, максимальная выручка составляет 812.5 руб. и достигается при выпуске 32,5 т продукции вида

Отрезок CD является областью компромиссов.

Запишем относительное отклонение для обеих функций.

Рисунок 1

Для построения дополнительного ограничения замещающей задачи приравняем отклонения , т.е.

После упрощения этого выражения получим

Замещающая задача в соответствии с методом равных наименьших относительных отклонений будет иметь вид

Областью допустимых значений замещающей задачи является отрезок OF (см. рисунок 2). Максимальное значение целевой функции  достигается в точке F. Координаты точки F определяем из решений системы, составленной из уравнений прямых, пересекающихся в этой точке.

Решив систему находим

Рисунок 2

Следовательно, точка D имеет координаты (24,9224; 15,1552) - это субоптимальное решение. Точка D принадлежит области компромиссов, следовательно, найденное решение эффективно. В этой точке целевые функции принимает значения:

Итак, по методом равных наименьших относительных отклонений план производства составит 24,9224 т продукции вида  и 15,1552 т продукции вида . Прибыль будет равна 120,2328 руб., а выручка от реализации произведенной продукции составит 744,3016 руб.

Относительные отклонения составляют

Это означает, что обе целевые функции отклоняются от своих значений на 8,39%.

Задача 3

Условие:

За некоторый промежуток времени потребление основного вида топлива (мазута) на ТЭЦ в зависимости от качества составляет 12, 14 или 16 весовых единиц. Мазут можно закупить по оптовой цене, равной 4 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если для обеспечения заданной температуры теплоносителя объема приобретенного мазута окажется недостаточно, то можно закупить недостающее количество мазута по розничной цене, равной 6 ден. ед. за весовую единицу мазута. Если же запас мазута превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 1 ден. ед. в расчете на единицу веса мазута.

Требуется:

Придать описанной ситуации игровую схему. Выявить участников игры и установить их характер. Указать допустимые стратегии сторон;

Вычислить элементы платежной матрицы;

Дать обоснованные рекомендации об уровне запаса мазута, при котором совокупные затраты на приобретение, содержание и хранение мазута будут минимальными при следующих предположениях:

а) вероятности , ,  потребности мазута в количестве 12, 14, 16 весовых единиц известны. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Байеса;

, ,

б) вероятности потребности мазута в количествах 12, 14, 16 весовых единиц одинаковы. Найти оптимальную чистую стратегию, пользуясь критерием Лапласа;

в) о вероятностях потребления мазута в количествах 12, 14, 16 весовых единиц ничего определенного сказать нельзя. Найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (величина параметра  в критерии Гурвица задается).

Решение:

1. В рассматриваемой ситуации в качестве статистика А выступает руководство ТЭЦ, заинтересованное в минимизации затрат на приобретение мазута. Вторым игроком является «природа» - совокупность объективных факторов, благодаря которым потребление мазута может быть различным.

Приобретая мазут, руководство ТЭЦ может ориентироваться на его потребление: либо 12 весовых единиц (первая чистая стратегия ), либо 14 (вторая чистая стратегия ), либо 16 (третья чистая стратегия ).

«Природа» (совокупность объективных неопределенных факторов) может реализовать состояния ,  и  - необходимое потребление мазута 12, 14 и 16 весовых единиц соответственно.

Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 3x3.

«Выигрышами» статистика А будут затраты, связанные с реализацией стратегий ,  и , которые являются элементами платежной матрицы. Рассчитаем их.

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 12 весовых единиц мазута и столько же потребовалось для отопительного сезона. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 12 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 14 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 14 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 14-12=2 весовых единицы мазута по розничной цене, равной 6 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 12 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 16 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 12 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. На закупку недостающих 16-12=4 весовых единиц мазута по розничной цене, равной 6 ден. ед. за весовую единицу, затраты составят ден. ед. Следовательно, .

Элемент  соответствует ситуации , т.е. руководство ТЭЦ закупило 14 весовых единиц мазута, а для отопительного сезона потребовалось 12 весовых единиц. Т.к. оптовая цена мазута равна 4 ден. ед. за весовую единицу, то на закупку 14 весовых единиц мазута затраты составят ден. ед. Запас мазута превысит потребности на 14-12=2 весовых единицы, затраты на хранение которых составят ден. ед. (стоимость хранения весовой единицы мазута равна 1 ден. ед.). Следовательно, .

Платежная матрица игры представлена в таблице:

Для определения оптимальной стратегии воспользуемся различными критериями.

а) Оптимальной по критерию Байеса будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш  достигает максимального значения:

и

.

б) Оптимальной по критерию Лапласа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней средний выигрыш  достигает максимального значения:

.

в) Оптимальной по критерию Вальда будет чистые стратегии и , т.к. именно при них наименьший выигрыш статистика  будет максимальным (см. таблицу 4.5).

.

г) Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составим матрицу рисков с элементами .

Так,

 и т.д.

Оптимальной по критерию Сэвиджа будет чистая стратегия , т.к. именно при ней максимальный риск  будет минимальным

.

д) Оптимальной по критерию Гурвица будет чистая стратегия , т.к. именно при ней величина

достигает максимального значения:

.

Проведенное исследование по совокупности критериев показало, что чаще других оптимальной называлась чистая стратегия . Правомерно ее и рекомендовать руководству ТЭЦ для реализации, т.е. закупить 12 весовых единиц мазута.

Задание 4

Условие:

Для перевода производства на новую, более прогрессивную технологию необходимо осуществить комплекс мероприятий. Известны продолжительности выполнения каждой работы и количество специалистов, необходимых для выполнения этих работ.

Требуется:

Построить временной сетевой график выполнения комплекса работ.

Определить критический путь.

3 Найти минимальное время  выполнения всего комплекса работ.

Найти минимальное количество человек R, которое потребуется для выполнения этого комплекса работ.

Информация о комплексе работ для каждого варианта приведена ниже.

Работа Опирается

Решение.

Исходное событие означает момент начала выполнения проекта. Работам ,, не предшествуют никакие работы, следовательно, на графике они изображены дугами, выходящими из исходного события . Событие  означает момент окончания работы . Работе  предшествуют работы . На графике эта зависимость отражена с помощью введения фиктивной работы (). Моментом свершения события  будет момент, к которому будут выполнены работы  и  и может начинаться работа .Работе  предшествуют работы . Работе  предшествуют работа . Аналогично, с учетом взаимосвязей изображаются на графике все оставшиеся работы. Завершающее событие А означает момент выполнения всего проекта (рисунок 3)

Критический путь - это путь из точки  к точке А, не содержащий фиктивных работ. Он состоит из критических работ a1, a4, a6, a7, a9, a8, a3. Тогда критическое время выполнения проекта будет

Рисунок 3. Временной сетевой график

Для определения числа исполнителей, необходимого для выполнения всего комплекса работ, построим шкалу потребления ресурса. Обозначим на временном сетевом графике число исполнителей для каждой работы (в скобках около наименования работы, т.е.  ()). На ось времени Оt сетевого графика проектируют пунктирными линиями начальные и конечные точки всех работ и получают промежутки постоянства интенсивности потребления ресурса. Суммарную потребность в ресурсе в данном временном промежутке определяют, суммируя интенсивности всех работ, расположенных над этим промежутком (см. рисунок 4).

Максимальное число исполнителей (10 человек) требуется на промежутке времени [9,12]. Следовательно, R=10.Таким образом, для выполнения данного проекта потребуется минимум 10 человек.

Рисунок 4

Задача5

Условие:

Имеются данные о товарообороте, численности работников и торговой площади предприятий торговли за отчетный период:

На основе приведенных данных:

Запишите формулу линейного уравнения множественной регрессии для результативного признака - товарооборота, связанного с двумя признаками - факторами, приведенными в таблице;

Определите параметры уравнения множественной регрессии и поясните их экономический смысл;

Вычислите корреляционное отношение и сделайте вывод о тесноте связи между признаками в построенной модели;

3       Используя полученную модель, сделайте прогноз о возможном товарообороте на предприятии торговли с численностью работников 125 чел и торговой площадью 170 кв. м.

Решение:

1 Зависимость товарооборота от численности работников и торговой площади выразим формулой

.

2 Параметры уравнения найдем из решения системы нормальных уравнений:

Вычислим необходимые суммы в таблице:

Система нормальных уравнений примет вид:

Решая систему, находим

Следовательно, линейное уравнение множественной регрессии будет

Экономический смысл параметров  и : при увеличении численности работников на 1 чел. товарооборот увеличится в среднем на  тыс. руб., а при увеличении торговой площади на 1 кв. м товарооборот увеличится в среднем на  тыс. руб.

Корреляционное отношение вычислим по формуле

,

где средний товарооборот

 (тыс. руб.).

Вычислим теоретические значения  и необходимые суммы в таблице:

Тогда корреляционное отношение:

.

Значение  свидетельствует о наличии весьма высокой связи между факторными и результативным признаками, т.е. товарооборот тесно связан с численностью работников и торговой площадью предприятия торговли.

Т.к. связь между факторными и результативным признаками в построенной модели весьма высокая, то ее можно использовать для прогнозирования.

Итак, прогнозируемое значение товарооборота предприятия торговли с численностью работников 125 чел. и торговой площадью 170 кв. м:

Литература

Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальностей: 1-26 02 03 - Маркетинг; 1-25 01 07 - Экономика и управление на предприятии: Экономико-математические методы и модели. Эконометрика / сост. Е. М. Колодная. - Мн.: ВГКС, 2008.