Ŷ=1,4-0,5*x

Данный показывает, что при увеличении механизации работ на 1%, она снижется на 0,5 раз.

В задании 1.39 имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.).

Таблица 4.3

Таблица 4.4

Данный показывает, что при увеличении цены на нефть на 1%, она снижется на 1,625 раз.

В задании 1.60. имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.). Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти ковариацию cov(x,y).

Таблица 4.5

Таблица 4.6

Данный показывает, что при увеличении цены на нефть на 1%, она увеличивается на 81,63 раз.

В задании 1.81 имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.). Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти выборочную дисперсию переменной x.

Таблица 4.7

Таблица 4.8

Данный показывает, что при увеличении цены на нефть на 1%, она снижется на 1,625 раз.

В задании 1.102. имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.). Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти коэффициент корреляции.

Таблица 4.9

Таблица 4.10

Данный показывает, что при увеличении цены на нефть на 1%, она снижется на -17,875 раз.

5. Оценка уравнение парной регрессии. Дисперсионный анализ

Теорема Гаусса-Маркова. Если регрессионная модель удовлетворяет предпосылкам 1-4,то оценки b_o, b₁ имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок (Best Linear Unbiased Estimator, или BLUE).

Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Q = Q_R+ Q_E

где Q - общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, а Q_Rи Q_E- соответственно сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид представленный в таблице:

Таблица 5.1

Учитывая смысл величин  и S₂ ,можно сказать, что значение F(критерия Фишера) показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению сее средней. В случае линейной парной регрессии m = 2, и уравнение регрессии значимо на уровне б, если

t - Распределение Стюдента:

.В задании 1.18 исследуется зависимость производительности труда y (т / час) от уровня механизации работ x₁ (%) по данным 15 промышленных предприятий.

Таблица 5.2

Таблица 5.2

Таблица 5.3

Значения Фишера - Снедекора меньше чем табличный результат, значит она не значима, критерия Стьюдента больше чем табличный результат, т.е. этот результат значима. Коэффициент корреляции показывает, что связь отсутствует и точки на графике расположены далеко друг от друга.

В задании 1.39 имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.).

Таблица 5.4

Таблица 5.5

Таблица 5.6

Значения Фишера - Снедекора меньше чем табличный результат, значит она не значима, критерия Стьюдента меньше чем табличный результат, т.е. этот результат не значима. Коэффициент корреляции показывает, что связь отсутствует и точки на графике расположены далеко друг от друга.

В задании 1.60 имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.). Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти ковариацию cov(x,y).

Таблица 5.7

Таблица 5.8

Таблица 5.9

Значения Фишера - Снедекора меньше чем табличный результат, значит она не значима, критерия Стьюдента больше чем табличный результат, т.е. этот результат значима. Коэффициент корреляции показывает, что связь очень тесная и точки на графике расположены близко друг от друга.

В задании 1.81 имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.). Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти выборочную дисперсию переменной x.

Таблица 5.10

Таблица 5.11

Таблица 5.12

Значения Фишера - Снедекора меньше чем табличный результат, значит она не значима, критерия Стьюдента больше чем табличный результат, т.е. этот результат значима. Коэффициент корреляции показывает, что связь очень тесная и точки на графике расположены близко друг от друга.

В задании 1.102. имеется следующие данные о цене на нефть х (ден.ед.) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед.). Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти коэффициент корреляции.

Таблица 5.13

Таблица 5.14

Таблица 5.15

Значения Фишера - Снедекора меньше чем табличный результат, значит она не значима, критерия Стьюдента больше чем табличный результат, т.е. этот результат значима. Коэффициент корреляции показывает, что связь очень тесная и точки на графике расположены близко друг от друга.

. Множественный регрессионный анализ

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

= f (x₁,x₂,...,x_p) ,

где у - зависимая переменная (результативный признак);

х₁,х₂,…,х_p - независимые переменные (факторы).

Множественная регрессия применяется в ситуациях, когда из множества факторов, влияющих на результативный признак, нельзя выделить один доминирующий фактор и необходимо учитывать влияние нескольких факторов.

Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Как и в случае парной регрессии, построение уравнения множественной регрессии осуществляется в два этапа:

·        спецификация модели;

·        оценка параметров выбранной модели.

Спецификация модели включает в себя решение двух задач:

·        отбор p факторов xj, наиболее влияющих на величину y;

·        выбор вида уравнения регрессии ŷ=f (x₁,x₂,...,x_p);.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

·        метод исключения;

·        метод включения;

·        шаговый регрессионный анализ.

Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты - отсев факторов из полного его набора (метод исключения), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).

В процедуре отсева факторов наиболее широко используется матрица частных коэффициентов корреляции.

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.

В уравнении линейной множественной регрессии

В уравнении степенной функции

В производственных функциях вида

Для построения уравнения множественной регрессии чаще всего используются следующие функции:

·        линейная -

·        степенная -

·        экспонента -

·        гипербола -

В задании 2.18 по 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 6.1

Таблица 6.2

После соответствующих вычислений вектор коэффициентов регрессии равна b₀=1,56 , b₁=1,006 , b₂=0,13 .

По уравнению можно сказать, что при увеличении действие новых основных фондов на 1%, стоимости фондов увеличивается на 1,006, а при увеличении рабочих с высокой квалификации на 1 человека численность рабочих увеличится на 0,13.

В задании 2.07 исследуется зависимость производительности труда y (т / час) от уровня механизации работ x₁ (%), среднего возраста работников x₂ (лет) и энерговооруженности x₃ (КВт / 100 работающих) по данным 14 промышленных предприятий.

Таблица 6.3

Таблица 6.4

После соответствующих вычислений вектор коэффициентов регрессии равна b₀=3,27 , b₁=0,52 , b₂=-0,19 , b₃=0,033.

По уравнению можно сказать, что при увеличении механизации работы на 1%, производительность труда увеличивается на 0,53, а при увеличении возраста на 1 год производительность труда уменьшается на 0,19, при увеличении энерговооруженности на единицу, производительность труда увеличится на 0,03.

В задании 2.28 по 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 6.5

Таблица 6.6

После соответствующих вычислений вектор коэффициентов регрессии равна b₀=1,56 , b₁=1,006 , b₂=0,13 .

По уравнению можно сказать, что при увеличении фондов на 1%, выработка одного работника увеличивается на 1,006, а при увеличении квалификации рабочих на 1%, выработка одного работника увеличится на 0,132.

. Оценка уравнения множественной регрессии. Дисперсионный анализ

Как и в случае парной регрессионной модели, в модели множественной регрессии общая вариация Q - сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней может быть разложена на две составляющие:

= Q_R + Qe

где Q_R, Qe - соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

Получим более удобные формулы для суммы квадратов Q, Qe и Q_{R ,} не требующие вычисления значений  обусловленных регрессией и остатков e_i.

Уравнение множественной регрессии значимо, если

Коэффициент детерминации R² как одна из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мера качества уравнения регрессии, характеристика его прогностической силы.

Коэффициент детерминации R² определяется по формуле:

Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

Недостатком коэффициента детерминации R² является то, что он вообще говоря, увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этом смысле предпочтительнее использовать скорректированный коэффициент детерминации ², определяемый по формуле:

Если известен коэффициента детерминации R² , то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

где k₁=p, k₂=n-p-l, ибо в уравнении множественной регрессии вместе со свободным членом оценивается m=p+1 параметров.

В задании 2.18 по 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 7.1

Таблица 7.2

По результатам, полученным из таблицы выше можно сделать некоторые выводы, такие, как коэффициент Стьюдента и Фишера - Сенедекора они являются значимыми, потому что их результаты являются наибольшими, чем табличные, а результаты корреляции показывает что между переменными y и х1 связь является тесной, а во втором случае между переменными у и х2 связь отсутствует. Коэффициент детерминации R² = 0,901 свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной Y - изучает зависимость выработки на одного работника на 90,1% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных - от ввода в действие новых основных фондов Х₁ и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих Х₂.

В задании 2.07 исследуется зависимость производительности труда y (т / час) от уровня механизации работ x₁ (%), среднего возраста работников x₂ (лет) и энерговооруженности x₃ (КВт / 100 работающих) по данным 14 промышленных предприятий.

Таблица 7.3

Таблица 7.4

По результатам, полученным из таблицы выше можно сделать некоторые выводы, такие, как коэффициент Стьюдента и Фишера - Сенедекора они являются значимыми, потому что их результаты являются наибольшими, чем табличные, а результаты корреляции показывает что между переменными y и х1 связь является тесной, а во втором случае между переменными у и х2 связь отсутствует. Коэффициент детерминации R² = 0,993 свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной Y - изучает зависимость выработки на одного работника на 99,3% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных - от ввода в действие новых основных фондов Х₁ и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих Х₂.

В задании 2.28 по 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 7.5

Таблица 7.6

По результатам, полученным из таблицы выше можно сделать некоторые выводы, такие, как коэффициент Стьюдента и Фишера - Сенедекора они являются значимыми, потому что их результаты являются наибольшими, чем табличные, а результаты корреляции показывает что между переменными y и х1 связь является тесной, а во втором случае между переменными у и х2 связь отсутствует. Коэффициент детерминации R² = 0,901 свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной Y - изучает зависимость выработки на одного работника на 90,1% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных - от ввода в действие новых основных фондов Х₁ и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих Х₂.

. Интервальная оценка функции регрессии и ее параметры

Доверительный интервал для функции регрессии. Построим доверительный интервал для функции регрессии, т.е. для условного математического ожидания М_Х(Y), который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) г=1- б накрывает неизвестное значение М_Х(Y)

Найдем дисперсию групповой средней ,представляющей выборочную оценку М_Х(Y). С этой целью уравнение регрессии (15) представим в виде:

На рис. 8.1 линия регрессии (7) изображена графически. Для произвольного наблюдаемого значения у_i,выделены его составляющие: средняя , приращение Ь₁ (х_i -), образующие расчетное значение у_xiи возмущение е_i..

Дисперсия групповой средней равна сумме дисперсий двух независимых слагаемых выражения

Рис.8.1 Линия регрессия

Дисперсия выборочной средней

Для нахождения дисперсии  представим коэффициент регрессии в виде:

Найдем оценку дисперсии групповых средних , учитывая заменяя ее оценкой  :

Исходя из того, что статистикаимеет t-распределение Стьюдента с k=п-2 степенями свободы, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания

где  =- стандартная ошибка групповой средней .

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной. Построенная доверительная область для М_Х(У) (см. рис. 2) определяет местоположение модельной линии регрессии (т.е. условного математического ожидания), но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней. Поэтому при определении доверительного интервала для индивидуальных значений у'₀ зависимой переменной необходимо учитывать еще один источник вариации - рассеяние вокруг линии регрессии, т.е. в оценку суммарной дисперсии S² следует включить величину S². В результате оценка дисперсии индивидуальных значений y_о при х = х_о равна

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений ₀будет определяться по формуле:

Доверительный интервал для параметров регрессионной модели. Наряду с интервальным оцениванием функции регрессии иногда представляет интерес построение доверительных интервалов для параметров регрессионной модели, в частности для параметров регрессионной модели, в частности для и .

Можно показать, что при выполнении предпосылки 5 регрессионного анализа статистика имеет стандартный нормальный закон распределения а если в для  заменить  ее оценкой , то статистика

имеет t-распределение Стьюдента с k= n - 2 степенями свободы. Поэтому интервальная оценка параметра  на уровне значимости  имеет вид:

Задача 8.7. В таблице 8.1. заданы значения, независимой переменной приведено в первой строке, зависимой - во второй.

Таблица 8.1.

Таблица 8.2

Теперь имеем S² = 4,4

S²_х=39 =4,4 * (1 / 14 + (39 - 54,7) ^ 2 / 2692,9 =0,7

и S_х=39 =  = 0,84

По табл. II приложений t_0,95;39=2,16

Доверительный интервал:

,8 <= 29,6 <= 31,4

Средняя часовая производительность труда на одного рабочего от уровня механизации работ с надежностью 0,95 находиться в пределах от 27,8 до 31,4т.

. Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения y*_х0=39, найдем дисперсию его оценки:

S²_yх0=39 = 4,4 * (1 + 1 / 14 + (39 - 54,7) ^ 2 / 2692,9 = 5,1

и S²_yх0=39 =  = 2,25

Далее искомый доверительный интервал получим:

,74 <= 4,4<=34,46

Таким образом, индивидуальная производительность труда на одного рабочего от уровня механизации с надежностью 0,95 находится в пределах от 24,74 до 34,46 т.

. Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра ₁.

По формуле:

,36 <= 0,54 <= 0,72

т. е. с надежностью 0,95 при изменении уровня механизации Х на 1 м часовая производительность труда Y будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,36 до 0,72 (т).

. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии

Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии bj и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели

Изложенного выше оценка  дисперсии  коэффициента регрессии 6, определится по формуле:

    (9.1)

где  - несмещенная оценка параметра ;

Среднее квадратическим отклонение (стандартная ошибка) коэффициента регрессии  примет вид:

  (9.2)

Значимость коэффициента регрессии можно проверить, если учесть, что статистикаимеет t-распределение Стьюдента степенями свободы. Поэтому  значимо отличается от нуляна уровне значимости , еслитабличное значение t-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости  при числе степеней свободыk=n-p-1.

Поэтому доверительный интервал для параметра  есть

           (9.3)

Наряду с интервальным оцениванием коэффициентов регрессии весьма важным для оценки точности определения зависимой переменной (прогноза) является построение доверительного интервала для функции регрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной  найденного в предположении, что объясняющие переменные  приняли значения, задаваемые вектором . Выше такой интервал получен для уравнения парной регрессии. Обобщая соответствующие выражения на случай множественной регрессии, можно получить доверительный интервал для :

       (9.4)

где  - групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии,

      (9.5)

ее стандартная ошибка.

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной  примет вид:

           (9.5)

где .    (9.6)

В задании 2.18 по 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 8.1

Таблица 8.2

Таблица 8.3

Итак, средняя часовая производительность труда на одного рабочего от уровня механизации работ с надежностью 0,95 находиться в пределах от 6,49 до 7,12т.

В задании 2.07 исследуется зависимость производительности труда y (т / час) от уровня механизации работ x₁ (%), среднего возраста работников x₂ (лет) и энерговооруженности x₃ (КВт / 100 работающих) по данным 14 промышленных предприятий.

Таблица 8.3

Таблица 8.4

Таблица 8.5

Итак, средняя часовая производительность труда на одного рабочего от уровня механизации работ с надежностью 0,95 находиться в пределах от 25,01 до 35,6т.

В задании 2.28 по 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 8.6

Таблица 8.7

Таблица 8.8

Итак, средняя часовая производительность труда на одного рабочего от уровня механизации работ с надежностью 0,95 находиться в пределах от 6,49 до 7,12т.

10. Мультиколлинеарность

При построении модели множественной регрессии часто приходится сталкиваться с явлением мультиколлинеарности.

Мультиколлинеарность - это коррелированность двух или нескольких объясняющих переменных в уравнении регрессии. В результате высококоррелированные объясняющие переменные действуют в одном направлении и имеют недостаточно независимое колебание, чтобы иметь возможность интерпретировать изолированное влияние каждой переменной.

Мультиколлинеарность особенно часто имеет место при анализе

макроэкономических данных. Получаемые при этом оценки МНК чаще всего оказываются статистически незначимыми и ненадежным, хотя значения коэффициентов RІ могут быть высокими.

Для выявления мультиколлинеарности обычно рассчитывают матрицу парных коэффициентов корреляции для всех объясняющих переменных. Если коэффициенты корреляции между отдельными объясняющими переменными достаточно велики (более 0,8-0,9), то, можно предположить, что они коллинеарные.

Более информативной является матрица частных коэффициентов корреляции, так как в ряде случаев парные коэффициенты корреляции могут давать совершенно неверные представлении о характере связи между двумя переменными. Например, между двумя переменными X и Y может быть высокий коэффициент парной корреляции не потому, что одна из них стимулирует изменение другой, а потому что обе эти переменные изменяются в одном направлении под влиянием других переменных. Поэтому появляется необходимость измерять действительную тесноту связи между двумя переменными, очищенную от влияния на рассматриваемую пару других факторов.

Коэффициент корреляционной связи между двумя переменными, xi и xj, очищенной от влияния других переменных называется частным коэффициентом корреляции. Обозначается Rij,1,2….k.

На рисунке, показанном ниже можно увидеть корреляционную матрицу, с помощью которой можно увидеть какая связь существует между переменными.

Рис. 10.1 В таблица приведены коллениарности, ковариации, t - критерия Стюдента и F критерий Фишера

Рис. 10.2 Общие показания факторов производства

На рисунке, показанном выше можно увидеть и определить показания факторов, значимы ли они, по табличным данным критерия Стьюдента и Фишера Синедекора и определить коэффициент детерминации.

Рис. 10.3 Подбор факторов производства

На рисунке показаны значения факторов производства, с помощью которых будет составлено уравнение регрессии. По рисунку можно сказать, что эти факторы значимы и скорректированный коэффициент детерминации увеличился, т.е. эти два фактора подходят для составления уравнения.

Рис. 10.4 Подбор факторов производства

На рисунке показаны значения факторов производства, с помощью которых будет составлено уравнение регрессии. По рисунку можно сказать, что эти факторы значимы и скорректированный коэффициент детерминации увеличился в отличие от показаний (рис 10.4), т.е. эти четыре фактора подходят для составления уравнения. Следующие факторы, которые были добавлены, не изменили значения коэффициента детерминации и были не значимы по табличным данным. Уравнение выглядит следующим образом:

ỹ=-28,5+0.2x₁+1,8x₄+0.21x₆

Рис 10.5. Ковариационная матрица

На рисунке, показанном выше можно увидеть корреляционную матрицу, с помощью которой можно увидеть какая связь существует между переменными.

Рис 10.6. Общие показания факторов производства

На рисунке, показанном выше можно увидеть и определить показания факторов, значимы ли они, по табличным данным критерия Стьюдента и Фишера Синедекора и определить коэффициент детерминации.

Рис 10.7. Подбор факторов производства

На рисунке показаны значения факторов производства, с помощью которых будет составлено уравнение регрессии. По рисунку можно сказать, что эти факторы значимы и скорректированный коэффициент детерминации увеличился в отличие от показаний (рис 10.7), т.е. эти 2 фактора подходят для составления уравнения. Следующие факторы, которые были добавлены, не изменили значения коэффициента детерминации и были не значимы по табличным данным. Уравнение выглядит следующим образом:

ỹ=-26.4+2.3x1+0.27x2.

11. Линейные регрессионные модели с переменной структурой. Фиктивные переменные. Критерий Г. Чоу

До сих пор мы рассматривали регрессионную модель, в которой в качестве объясняющих переменных (регрессоров) выступали количественные переменные (производительность труда, себестоимость продукции, доход и т. п.). Однако на практике достаточно часто возникает необходимость исследования влияния качественных признаков, имеющих два или несколько уровней (градаций). К числу таких признаков можно отнести: пол (мужской, женский), образование (начальное, среднее, высшее), фактор сезонности (зима, весна, лето, осень) и т. п.

Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Например, нам надо изучить зависимость размера заработной платы Y работников не только от количественных факторов Х1, X2,,.., Хn, но и от качественного признака Z1 (например, фактора «пол работника»).

В принципе можно было получить оценки регрессионной модели

         (11.1)

для каждого уровня качественного признака (т. е. выборочное уравнение регрессии отдельно для работников-мужчин и отдельно - для женщин), а затем изучать различия между ними.

Но есть и другой подход, позволяющий оценивать влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уравнения регрессии. Этот подход связан с введением так называемых фиктивных (манекенных) переменных, или манекенов.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные, булевы) переменные, которые принимают всего два значения: «0» или «1» (например, значение такой переменной Z1 по фактору «пол»: Z1= 0 для работников-женщин и Z1=1 - для мужчин).

В этом случае первоначальная регрессионная модель заработной платы изменится и примет вид:

     (11.2)

 если i-й работник мужского пола

 если i-й работник мужского пола

Таким образом, принимая модель , мы считаем, что средняя заработная плата у мужчин на  выше , чем у женщин, при неизменных значениях других параметров модели. А проверяя гипотезу  мы можем установить существенность влияния фактора «пол» на размер заработной платы работника.

В практике эконометриста нередки случаи, когда имеются две выборки пар значений зависимой и объясняющих переменных (хi, yi). Например, одна выборка пар значений переменных объемом п\ получена при одних условиях, а другая, объемом n2, - при несколько измененных условиях. Необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле? Другими словами, можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?

При достаточных объемах выборок можно было, например, построить интервальные оценки параметров регрессии по каждой из выборок и в случае пересечения соответствующих доверительных интервалов сделать вывод о единой модели регрессии. Возможны и другие подходы.        В случае, если объем хотя бы одной из выборок незначителен, то возможности такого (и аналогичных) подходов резко сужаются из-за невозможности построения сколько-нибудь надежных оценок.

В критерии {тесте) Г. Чоу эти трудности в существенной степени преодолеваются. По каждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:

,    (11.3)

 ,         (11.4)

Согласно критерию Г. Чоу нулевая гипотеза  отвергается на уровне значимости , если статистика

       (11.5)

где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок; n=n1+n2

Рис 11.1. Анализ фиктивных переменных

По рисунку, показанному выше можно сказать, что значения фиктивных переменных значимы сопоставляя их с табличными данными, также можно сказать, что совокупный доход будет отрицательным в независимости от образования.

Рис 11.2. Анализ фиктивных переменных

По рисунку, показанному выше можно сказать, что значения фиктивных переменных значимы сопоставляя их с табличными данными, также можно сказать, что совокупный доход будет отрицательным в независимости от образования.

Рис 11.3. Анализ фиктивных переменных

По рисунку, показанному выше можно сказать, что значения фиктивных переменных значимы сопоставляя их с табличными данными, также можно сказать, что если увеличить возраст обучения доход увеличится на 2.89.

По рисунку, показанному выше можно сказать, что значения фиктивных переменных значимы сопоставляя их с табличными данными, также можно сказать, что совокупный доход будет отрицательным в независимости от образования.

Рис 11.4. Анализ фиктивных переменных

Рис 11.5. Анализ фиктивных переменных

Рис 11.6. Анализ фиктивных переменных

По рисунку, показанному выше можно сказать, что значения фиктивных переменных значимы сопоставляя их с табличными данными, также можно сказать, что если увеличить возраст обучения доход увеличится на 2.9, а если человек закончил бакалавр, то его доход увеличится на 0.5.

По рисунку, показанному выше можно сказать, что значения фиктивных переменных значимы сопоставляя их с табличными данными, также можно сказать, что совокупный доход будет отрицательным в независимости от образования.

12. Нелинейные модели регрессии. Частная корреляция

До сих пор мы рассматривали линейные регрессионные модели, в которых переменные имели первую степень (модели, линейные по переменным), а параметры выступали в виде коэффициентов при этих переменных (модели, линейные по параметрам). Однако соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки.

Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства - трудом, капиталом и т. п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.

Если модель нелинейная по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.

Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели

,    (12.1)

то, вводя новые переменные , получим линейную модель

,        (12.2)

параметры, которой находятся обычным методом наименьших квадратов

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модель

,          (12.3)

экспоненциальную модель

, (12.4)

и другие.

В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели

удается привести к линейной форме. Так, модели (12.3) и (12.4) могут быть приведены к линейным логарифмированием обеих частей уравнений. Тогда, например, модель (12.3) примет вид:

,     (12.5)

Для оценки тесноты связи между переменными был введен выборочный коэффициент линейной корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на значении коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции (или просто частным коэффициентом корреляции) между переменными и  при фиксированных значениях остальных (р - 2) переменных называется выражение

      (12.6)

где  и  - алгебраические дополнения элементов  и  матрицы выборочных коэффициентов корреляции

    (12.7)

В частности, в случае трех переменных (n=3) следует, что

        (12.8)

Задача 1. Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам

Таблица 12.1.

Вычисляем все необходимые среднее значение.

110224 149940 1427,5 1703,16 332 5,13

Линейная Y”1=7.4+0.007x

Задача 2. Для исследования зависимости между производительностью труда (Х1), возрастом (Х2) и производственным стажем (X3) была произведена выборка из 100 рабочих одной и той же специальности.

Вычисленные парные коэффициенты корреляции оказались значимыми и составили:  ; ; . Вычислить частные коэффициенты корреляции и оценить их значимость на уровне, =0,05.Решение: По формуле

Оценим значимость - Значение статистики t-критерия при n'=n-p+2= 100-3+2=99 (по абсолютной величине)

Оценим значимость - Значение статистики t-критерия при n'=n-p+2= 100-3+2=99 (по абсолютной величине)

больше табличного  , следовательно, частный коэффициент корреляции  значим.

Оценим значимость - Значение статистики t-критерия при n'=n-p+2= 100-3+2=99 (по абсолютной величине)

больше табличного  , следовательно, частный коэффициент корреляции  значим.

13. Статистические уравнения зависимостей

Для изучения зависимостей социально-экономических явлений можно использовать метод статистических уравнений зависимостей, расчет параметров которых основывается на определении коэффициентов сравнения факторных и результативных признаков путем отношения отдельных значений одноименного признака к его минимальному или максимальному уровню.

Коэффициенты сравнения показывают степень изменения (увеличения или уменьшения) величины признака по отношению к принятой базе сравнения. При увеличении значений признака коэффициенты сравнения исчисляют от минимального уровня, а при уменьшения - от максимального. На основе этих коэффициентов определяется параметр уравнения зависимости, представляющий собой отношение суммы отклонений от единицы вычисленных коэффициентов сравнения результативного и факторного признаков.

В отличие от известных в статистике коэффициентов эластичности параметр уравнения зависимости позволяет учесть влияние на результативный признак не только одного фактора, но и совокупного действия многих факторов.

Применение статистических уравнений зависимости для анализа взаимосвязей социально-экономических явлений требует:

) качественного анализа исследуемых факторных и результативных признаков;

2) однородности изучаемого явления;

3)оценки устойчивости связи между явлениями. Первое требование предусматривает наличие логической зависимости между факторными и результативными признаками и использование прямых показателей, позволяющих проводить нормативные расчеты.

Второе требование предполагает исключение из расчетов значений признака (минимальных или максимальных), значительно отличающихся (в два-три раза) соответственно от следующей за минимальной или предшествующей максимальной величины.

Оценка устойчивой или неустойчивой связи между факторным и результативным признаком проводится по шкале зависимостей на основе расчета коэффициента устойчивости связи. Исходными данными для расчета этого коэффициента служат табличные модели определения параметров уравнений зависимости.

Статистические уравнения зависимостей выражают различные виды (однофакторные и многофакторные) и направления связи (линейную, криволинейную и др.). Для расчета параметров уравнений зависимостей целесообразно использовать следующую систему формул.

Прямая при:

а) увеличении факторного и результативного признаков

         (13.1)

б) уменьшении факторного и результативного признаков

        (13.2)

Обратная при:

а) увеличении факторного и уменьшении результативного признаков

        (13.3)

б) уменьшении факторного и увеличении результативного признаков

        (13.4)

Однофакторная криволинейная связь

Парабола

          (13.5)

Обратная парабола

         (13.6)

Гипербола

        (13.7)

Обратная гипербола

       (13.8)

Логическая

          (13.9)

Обратная логическая

          (13.10)

Параметры зависимости однофакторной

         (13.11)

- знак отклонений;

Формула для расчета коэффициента корреляции:

        (13.12)

где - коэффициент корреляции.

- размер отклонений коэффициентов сравнения факторного и результативного признаков.

Формула индекс корреляции

   (13.13)

где  - индекс корреляции

 - отклонение отдельных эмпирических значений результативного признака от его минимального уровня;

- разность отклонений отдельных эмпирических и теоретических значений результативного признака.

Формула для оценки устойчивости связи:

  (13.14)

где  - коэффициент устойчивости связи;

 - размер отклонений коэффициентов сравнения эмпирических значений результативного признака;

- размер отклонений коэффициентов сравнения теоретических значений результативного признака.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебопекарным заводам области за год характеризуется следующими данными

Таблица 13.2

Для подбора типа уравнения проранжируем значения факторного признака и соответственно с этими значениями запишем величины результативного признака.

Рис.13.1 Зависимость уровня рентабельности от производительности труда

Соответственно с изображенной на рис. 13.1 линией зависимости для вычислений параметров уравнения выбираем прямую линию, характеризующую возрастание уровня рентабельности при возрастании производительности труда.

Для расчетов параметров уравнения обратной однофакторной зависимости составим табл.13.2.

Решение задачи:

Таблица 13.3.

По данным табл. 13.3 параметры уравнения и теоретические значения линейной зависимости составят:

1.

.

Уравнение зависимости примет вид:

Параметр b в этом уравнении свидетельствует о том, что изменение размеров отклонений коэффициентов сравнения факторного признака (производительности труда) на единицу приводит к изменению размера отклонений коэффициентов сравнения результативного признака (уровня рентабельности) в 0,69 раза.

Для подтверждения правильности выбранного типа уравнения зависимости между производительности труда и уровнем рентабельности вычислим коэффициент и индекс корреляции.

Это означает, что между производительности труда и уровнем рентабельности существует очень тесная связь.

Отсюда

Расчет индекса корреляции показывает, что уровни коэффициента и индекса корреляции совпадают. Это подтверждает вывод о правильности выбора типа уравнения для характеристики взаимосвязи между производительности труда и уровнем рентабельности.

Отсюда

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует о среднем его уровне (согласно шкалы зависимостей). Этот уровень является достаточным для обеспечения достоверности эконометрических расчетов.

. Нормативные расчеты микроэкономических показателей хозяйственной деятельности

Эффективное функционирование рыночной экономики невозможно без использования эконометрических методов для своевременного выявления влияния изменяющихся экономических условий и обоснования управленческих решений. Эти решения могут приниматься в любой сфере экономики (от оценки изменения показателей хозяйственной деятельности - факторов микроэкономики, до разработки планов эффективных инвестиций, изменений в налогообложении, стратегий деятельности рыночных структур - макроэкономических факторов).

Несвоевременная или некачественно обработанная экономическая информация ведет к снижению уровня деловой активности. Например, информация об изменении цен на товары и акции, процентных ставок, курсов валют и положения их на финансовых рынках, поступившая не полностью, не оперативно, или с ошибками, приводит к сокращению объемов производства и инфляции.

Переход экономики к рыночным отношениям обусловливает необходимость прогнозирования факторов макро- и микроэкономики. Для макроэкономических факторов это могут быть экономические расчеты, например, оценка и прогнозирование взаимосвязей отраслей экономики через покупку (продажу) акций и ценных бумаг; характеристика факторов, формирующих цену акций; прогнозирование биржевого курса акций, рынка ценных бумаг, а также оценка динамики цен и акций.

Эконометрические расчеты микроэкономических факторов касаются оценки и прогнозирования показателей хозяйственной деятельности предприятий (рентабельности, производительности труда, себестоимости, цен, спроса и предложения, структуры валовой продукции или товарооборота, фондоотдачи, фондооснащенности и др.)

При возрастании деловой активности хозяйственные объекты (предприятия, фирмы и т.п.) увеличивают объем хозяйственной деятельности и капитальные вложения, в то же время при ее снижении - происходит их сворачивание. Поэтому предприятия должны разрабатывать такую экономическую стратегию, чтобы активно реагировать на переходные к рыночной экономике законы, особенно на налоговое законодательство, их изменение, демографическую ситуацию и т.п.

Принципы функционирования рыночной экономики требуют изменения системы управления хозяйственной деятельностью. Руководители предприятий должны использовать такие эконометрические методы, которые бы позволили предвидеть возможные рыночные ситуации, знать направления их движения в будущем периоде. Хозяйственный руководитель должен опираться на эконометрические расчеты как макро-, так и микроэкономических факторов. Знание развития факторов макро- и микроэкономики - это прежде всего интерес его профессиональной деятельности, как руководителя предприятия.

Эконометрические расчеты дают возможность сравнить результаты хозяйственной деятельности данного предприятия с другими однородными предприятиями, оценка которых необходима для улучшения производственных процессов и поиска альтернативных решений, достижения требований их экономической эффективности.

Способы нормативных расчетов микроэкономических показателей хозяйственной деятельности

Применение статистических методов и их компьютеризация значительно повышают роль эконометрических расчетов и ускоряют процесс обработки информации. Рассмотрим способы выполнения эконометрических расчетов микроэкономических показателей хозяйственной деятельности на основе применения метода статистических уравнений зависимостей. Уравнения зависимостей позволяют проводить нормативные расчеты микроэкономических показателей хозяйственной деятельности.

Для проведения нормативных расчетов нужно определить:

) параметры уравнений однофакторной зависимости и устойчивость связи между результативным и факторным признаками. Критериями выбора уравнений зависимости являются минимальная сумма линейных отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями линии зависимости и устойчивость связи;

) разность из единицы коэффициента сравнения прогнозированного, нормативного или планового уровня результативного признака и его начального уровня в уравнении многофакторной зависимости;

) размер отклонений коэффициентов сравнения факторных признаков путем деления полученной разности на параметры зависимости отдельных факторов;

) нормативные уровни факторов, рассчитанные путем прибавления единицы к размеру отклонения коэффициента сравнения фактора, если его значение увеличивается, и вычитания из единицы размера отклонений фактора, если значение фактора уменьшается, с последующим умножением соответственно на минимальное значение фактора в первом случае и на максимальное - во втором.

Нормативные уровни факторов при нормативной, плановой или заданной величине результативного признака

. Разность коэффициента сравнения результативного признака:

при увеличении значений результативного признака

при уменьшении значений результативного признака

. Нормативные уровни факторов:

прямая зависимость

обратная зависимость

3. Нормативные уровни результативного признака

а) при увеличении значений результативного признака

б) при уменьшении значений результативного признака

Известны следующие данные об убыточности производства молока по КСП административных районов области за год:

Таблица 14.1

Для расчета параметра уравнения, коэффициента корреляции, устойчивости связи между уровнем убыточности и сбором овощей составим таблицу 14.2.

Таблица 14.2

Параметр b1 означает, что изменение размеров отклонений коэффициентов сравнения факторного признакаX1 (только сбор овощей) на единицу приводит к изменению размера отклонений коэффициентов сравнения результативного признака Y (уровня убыточностей) в 2,85 раза.

Коэффициент корреляции составит:

Данный показатель означает, что между сбором овощей и уровнем убыточностей очень тесная связь.

Устойчивость связи составит:

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует о среднем его уровне.

Для расчета параметра уравнения, коэффициента корреляции, устойчивости связи между уровнем убыточности и затраты труда составим таблицу 14.3.

Таблица 14.3

Параметр b2 означает, что изменение размеров отклонений коэффициентов сравнения факторного признакаX2 (только затраты труда) на единицу, приводит к изменению размера отклонений коэффициентов сравнения результативного признака Y (уровня убыточностей) в 2,47 раза.

Коэффициент корреляции составит :

Данный коэффициент означает, что между затраты труда и уровнем убыточностей очень тесная связь.

Устойчивость связи:

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует о среднем его уровне. Этот уровень является достаточным для обеспечения достоверности эконометрических расчетов.

Для расчета параметра уравнения, коэффициента корреляции, устойчивости связи между уровнем убыточности и затраты посевов составим таблица 14.4.

Таблица 14.4

По данным табл. 14.4 параметры уравнения составят:

Параметр b3 означает, что изменение размеров отклонений коэффициентов сравнения факторного признакаX3 (только затраты на посевов) на единицу приводит к изменению размера отклонений коэффициентов сравнения результативного признака Y (уровня убыточностей) в 4,6 раза.

Коэффициент корреляции составит:

Это означает, что между затраты посевов и уровнем убыточностей очень тесная связь.

Устойчивость связи составит:

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует о низком его уровне. Этот уровень является достаточным для обеспечения достоверности эконометрических расчетов.

Для расчета параметра уравнение, коэффициента корреляции, устойчивостью связи между уровень убыточности и себестоимостью составим таблица 14.5.

Таблица 14.5

По данным табл. 14.5 параметры уравнения составят:

Параметр b4 в этом уравнении означает, что изменение размеров отклонений коэффициентов сравнения факторного признака X4 (только себестоимостью) на единицу приводит к изменению размера отклонений коэффициентов сравнения результативного признака Y (уровня убыточностей) в 2,7 раза.

Коэффициент корреляции составит:

Это означает, что между затраты посевов и уровнем убыточностей очень тесная связь.

По данным табл. 14.5 устойчивости связи составит:

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует о среднем его уровне.

Для расчета параметра уравнения, коэффициента корреляции, устойчивости связи между уровнем убыточности и себестоимостью составим таблица 14.6.

Таблица 14.6

Параметр b5 означает, что изменение размеров отклонений коэффициентов сравнения факторного признака X5 (только цена реализации) на единицу приводит к изменению размера отклонений коэффициентов сравнения результативного признака Y (уровня убыточностей) в 2,9раза.

Коэффициент корреляции составит:

Это означает, что между цена реализации и уровнем убыточностей очень тесная связь.

Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует о среднем его уровне.

Для расчетов совокупного параметра уравнения комбинационной многофакторной зависимости составим табл.14.7.

Таблица 14.7.