Решение:

. Пусть расходы на товар А будет у, а доходы одного члена семьи - х. Ежегодные абсолютные приросты:

Расчеты оформим в виде таблицы:

Значения Δу не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда. Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х: абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.

Модель имеет вид:

Для определения параметров а и b применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Решая эту систему, получим:

а=2,565=0,565

Модель имеет вид:

Включим фактор времени:

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

Решая, получаем:

а=-5,42; b=0,322; с=3,516

Уравнение регрессии имеет вид:

Параметр b=0,322 фиксирует силу связи у и х. Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1% -ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар А возрастают в среднем на 0,322 руб.

Параметр с=3,516 характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар А под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

.

Таблица 7

. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда - ЛГРФПРИБЛ.

В качестве зависимой переменной выступает время (t=1,2,…. n). Результат вычисления функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ.

Уравнения линейного и экспоненциального тренда

. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм

Сравним значения R2 по разным уровням трендов:

экспоненциальный

линейный

Исходные данные лучше всего описывает экспоненциальный тренд.

В примере для расчета прогнозных значений следует использовать экспоненциальное уравнение.

Тема 8. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений

1. При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени , где  - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Применяется для выравнивания линейная функция, если любые три равностоящие уровня имеют нулевую вторую разность.

. Критерием отбора наилучшей формы тренда является R² - коэффициент детерминации, его наибольшее значение.

4.  - линейное уравнение тренда- порядковый номер периодов;₀ и b₁ - рассчитываем по МНК

Уровень, находящийся в середине ряда принимается за условное начало отсчета времени.

Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1; - 2; - 3; и т.д.).

При условии  система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

откуда

Используя итоги графиков, 2,4,5 определим параметры уравнения прямой:

Таблица 8

Рассчитаем для 1983 г.:

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики м. б. проверена следующим образом:

 (итоги граф 2 и 6).

Целесообразность моделирования: можно подсчитать примерную цену на рис и на несколько лет вперед (составить прогноз). Прогнозирование на основе развития изучаемого процесса.

Тема 9. Системы экономических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных уравнений).

Различают несколько видов систем уравнений:

система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

система взаимосвязанных (совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные - взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты а и b при переменных - структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:

где δ - коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:+1=Н - уравнение идентифицируемо;+1<Н - уравнение неидентифицируемо;+1>Н - уравнение сверхиндентифицируемо,

где Н - число эндогенных переменных в уравнении,- число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Оценить следующую структурную модель на идентификацию уравнений.

Исходя из приведенной формы модели уравнений:

Найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

. Модель имеет три эндогенные (у₁, у₂, у₃) и три экзогенные (х₁, х₂, х₃) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных - 2 (у₁, у₃)

отсутствующих экзогенных - 1 (х₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у₂ и х₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 3 (у₁, у₂, у₃)

отсутствующих экзогенных - 2 (х₁, х₃).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют х₁ и х₃. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных - 2 (у₂, у₃),

отсутствующих экзогенных - 1 (х₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют у₁ и х₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

. Вычислим структурные коэффициенты модели:

) из третьего уравнения приведенной формы выразим х₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

Данное выражение содержит переменные у₃, х₁ и х₃, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение х₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

-        первое уравнение СФМ;

) во втором уравнении СФМ нет переменных х₁ и х₃. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим х1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х₃, которого нет в СФМ.

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ:

Подставив его в выражение х₁:

Второй этап: аналогично, чтобы выразить х₃ через искомые у₁, у₃ и х₂, заменим в выражении х₃ значение х₁ на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно:

Подставим полученные х₁ и х₃ во второе уравнение ПФМ:

 - второе уравнение СФМ.

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем.

Суммируя все уравнения, получим:

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим х₁, домножив первое уравнение на 3, а второе - на (-2) и просуммировав их:

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем х₃, а именно:

 - 26

 17

____________________________________________

) из второго уравнения ПФМ выразим х₂, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

 - третье уравнение СФМ.

Таким образом СФМ примет вид:

Тема 10. Оценивание параметров структурной модели косвенным методом наименьших квадратов

Приведенная форма модели - это система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы:

где δ - коэффициенты приведенной формы модели.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

-        составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

-        путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Пример:

Имеются статистические данные за 1998 - 2002гг., характеризующие потребление мяса в Австралии.

Требуется:

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид:

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1+1, это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

в которой коэффициенты при х определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений δ₁₁ и δ₁₂ запишем систему нормальных уравнений:

При решении предполагается, что х и у выражены через отклонения от средних уровней, т.е. матрица исходных данных составит:

у₁у₂х₁х₂

,6-2003

-0,4-200-1

-0, 20-1

,61006

-0,6300-7

________________________________________

∑00,000

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее, получим:

δ₁₁=0,00609; δ₁₂=-0,26481.

Итак, имеем

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициента δ₂₁ и δ₂₂:

Следовательно,

Тогда второе уравнение примет вид

Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Тема 11. Оценивание параметров структурной модели двухшаговым и трехшаговым методами наименьших квадратов

. Параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

. В приведенной форме уравнения:

Три коэффициента не могут быть найдены из 2-х уравнений: β₁; β₂; β₃ (коэффициенты). Это значит, существует бесконечное множество их возможных значений.

. Изучается модель вида

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 12.

Таблица 12.

Система приведенных уравнений:

Решение:

В модели две эндогенные переменные (у и с) и две экзогенные переменные (D и у_-1). Для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, т.к. в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны.

В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1+1=2; D+1>Н это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, → система сверхидентифицирована.

Рассчитайте параметры первого уравнения структурной модели.

Используем двухшаговый метод наименьших квадратов. Шаг 1.

Определим теоретические значения эндогенной переменной С. В приведенное уравнение

 подставим D и у_-1 (из условия).

Ĉ₁=15,8Ĉ₂=16,8Ĉ₃=7,4Ĉ₄=14,3Ĉ₅=15,0

Ĉ₆=27,4Ĉ₇=24,0Ĉ₈=33,2Ĉ₉=29,0

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические Ĉ и рассчитываем новую переменную Ĉ+D.

К сверхидентифицированному уравнению применим МНК. Обозначим новую переменную Ĉ+D через Z. Решаем уравнение: .

Система нормальных уравнений составит:

а₁=7,678; b₁=0,512

Первое уравнение структурной модели:

. Рассматривается следующая модель:

 - (функция потребления)

 - (функция инвестиций)

 - (функция денежного рынка)

 - (тождество дохода)

где С_t - расходы на потребление в период t;

У_t - совокупный доход в период t;_t - инвестиции в период t;_t - процентная ставка в период t;

М_t - денежная масса в период t;_t - государственные расходы в период t;_t-1 - расходы на потребление в период t-1;_t-1 - инвестиции в период t-1;₁ U₂ U₃ - случайные ошибки.

Решение:

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает 4 эндогенные переменные () и 4 предопределенные М_t и G_t и две лаговые эндогенные переменные - С_t-1 и J_t-1.

Необходимое условие идентификации для уравнений модели.

уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (С_t и J_t) и одну предопределенную переменную (С_t-1). Число предопределенных переменных не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>1. Уравнение сверхидентифицировано.

уравнение.

Уравнение 2 включает две эндогенные переменные (J_t и r_t) и не включает три предопределенные переменные. Как и 1 уравнение, оно сверхидентифицировано.

уравнение.

Уравнение 3 тоже включает две эндогенные переменные (Y_t и r_t) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

уравнение.

Уравнение 4 представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Достаточное условие идентификации: определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минут 1, т.е.4-1=3.

уравнение. Матрица коэффициентов при переменных не входящих в уравнение, имеет вид:

b21b2200

А0-10b320

Ранг равен 3, т.к. определитель квадратной подматрицы 3 х 3 этой матрицы не равен нулю:

b₂₁0

Det A*=0-10 70

Достаточное условие идентификации для первого уравнения.

уравнение. Матрица коэффициентов, не входящих в уравнение:

b₁₁b₁₂00

А=0b₃₁0b₃₂0

-1001

Ранг равен 3.

Det A*=0b₃₂0 0

Достаточное условие идентификации для 2-ого уравнения выполняется.

Все уравнения модели сверхидентифицированы.

Применим двухшаговый МНК.

Шаг 1. Приведенная форма модели в общем виде:

₁, V₂, V₃, V₄ - случайные ошибки.

Шаг 2

В структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями:

где

где

где

Применяя обычный МНК, определим структурные параметры a₁, b₁₁, b₁₂, a₂, b₂₁, b₂₂,a₃, b₃₁ и b₃₂.

Литература

1.      Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 2009.

2.      Эконометрика: Учебник/ под ред.Н. Н. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2010.

.        Экономическая статистика: Учебник/ под ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2008.

.        Иванова В.М. Основы эконометрики. - М.: МЭСИ, 2011.

.        Чавкин А.М. Методы и модели рационального управления в рыночной экономике: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2011.

.        Шмойлова Р.А. Теория статистики: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2011