Проверка гипотезы о распределении
МОСКОВСКИЙ
АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
МАИ
Кафедра №804
КУРСОВАЯ
РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
МОСКВА, 201_
Исходные данные
Для выполнения данной работы было сгенерированы
100 случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [-3; 3].
Табл. 1.1. Исходная выборка
|
 
|
|
|
1
|
2,830
|
|
2
|
-1,547
|
|
3
|
-0,897
|
|
4
|
2,469
|
|
5
|
1,627
|
|
6
|
2,174
|
|
7
|
0,933
|
|
8
|
2,482
|
|
9
|
-0,387
|
|
10
|
1,835
|
|
11
|
-1,526
|
|
12
|
-2,760
|
|
13
|
-2,936
|
|
14
|
1,418
|
|
15
|
2,113
|
|
16
|
-1,393
|
|
17
|
-1,559
|
|
18
|
2,444
|
|
19
|
1,115
|
|
20
|
0,657
|
|
21
|
-1,635
|
|
22
|
-1,228
|
|
23
|
-2,045
|
|
24
|
-2,787
|
|
25
|
0,674
|
|
26
|
-1,294
|
|
27
|
-0,738
|
|
28
|
-1,564
|
|
29
|
2,750
|
|
30
|
-0,470
|
|
31
|
2,843
|
|
32
|
-2,183
|
|
33
|
1,849
|
|
34
|
0,042
|
|
35
|
0,753
|
|
36
|
1,413
|
|
37
|
0,660
|
|
38
|
-2,796
|
|
39
|
-1,114
|
|
40
|
1,671
|
|
41
|
-0,205
|
|
42
|
1,475
|
|
43
|
-1,950
|
|
44
|
-1,319
|
|
45
|
-0,561
|
|
46
|
1,945
|
|
47
|
0,001
|
|
48
|
2,209
|
|
49
|
0,883
|
|
50
|
2,855
|
|
51
|
-1,605
|
|
52
|
0,347
|
|
53
|
-2,858
|
|
54
|
-0,416
|
|
55
|
-2,865
|
|
56
|
-0,877
|
|
57
|
0,397
|
|
58
|
0,722
|
|
59
|
1,083
|
|
60
|
1,924
|
|
61
|
2,467
|
|
62
|
-2,701
|
|
63
|
0,598
|
|
64
|
0,061
|
|
65
|
-2,971
|
|
66
|
0,780
|
|
67
|
-0,128
|
|
68
|
2,339
|
|
69
|
-1,184
|
|
70
|
-0,091
|
|
71
|
-0,465
|
|
72
|
-2,047
|
|
73
|
-0,501
|
|
74
|
-2,994
|
|
75
|
-1,500
|
|
76
|
-2,426
|
|
77
|
2,479
|
|
78
|
0,795
|
|
79
|
0,508
|
|
80
|
1,959
|
|
81
|
1,304
|
|
82
|
1,380
|
|
83
|
-2,652
|
|
84
|
-2,076
|
|
85
|
-1,061
|
|
86
|
-0,562
|
|
87
|
1,219
|
|
88
|
2,041
|
|
89
|
1,589
|
|
90
|
-1,760
|
|
91
|
-0,793
|
|
92
|
2,882
|
|
93
|
-2,688
|
|
94
|
-2,412
|
|
95
|
1,341
|
|
96
|
-0,832
|
|
97
|
0,138
|
|
98
|
-2,739
|
|
99
|
-1,810
|
|
100
|
-0,342
|
1. Проверка гипотезы о распределении СВ X
Сформулируем гипотезы 
:
Для проверки гипотез будем
использовать статистический критерий хи-квадрат (критерий Пирсона). Далее
сформируем вариационный ряд для xi (Табл. 1.2)
Табл. 1.2. Вариационный ряд СВ X
|
|
|
|
1
|
-2,994
|
|
2
|
-2,971
|
|
3
|
-2,936
|
|
4
|
-2,865
|
|
5
|
-2,858
|
|
6
|
-2,796
|
|
7
|
-2,787
|
|
8
|
-2,760
|
|
9
|
-2,739
|
|
10
|
-2,701
|
|
11
|
-2,688
|
|
12
|
-2,652
|
|
13
|
-2,426
|
|
14
|
-2,412
|
|
15
|
-2,183
|
|
16
|
-2,076
|
|
17
|
-2,047
|
|
18
|
-2,045
|
|
19
|
-1,950
|
|
20
|
-1,810
|
|
21
|
-1,760
|
|
22
|
-1,635
|
|
23
|
-1,605
|
|
24
|
-1,564
|
|
25
|
-1,559
|
|
26
|
-1,547
|
|
27
|
-1,526
|
|
28
|
-1,500
|
|
29
|
-1,393
|
|
30
|
-1,319
|
|
31
|
-1,294
|
|
32
|
-1,228
|
|
33
|
-1,184
|
|
34
|
-1,114
|
|
35
|
-1,061
|
|
36
|
-0,897
|
|
37
|
-0,877
|
|
38
|
-0,832
|
|
39
|
-0,793
|
|
40
|
-0,738
|
|
41
|
-0,562
|
|
42
|
-0,561
|
|
43
|
-0,501
|
|
44
|
-0,470
|
|
45
|
-0,465
|
|
46
|
-0,416
|
|
47
|
-0,387
|
|
48
|
-0,342
|
|
49
|
-0,205
|
|
50
|
-0,128
|
|
51
|
-0,091
|
|
52
|
0,001
|
|
53
|
0,042
|
|
54
|
0,061
|
|
55
|
0,138
|
|
56
|
0,347
|
|
57
|
0,397
|
|
58
|
0,508
|
|
59
|
0,598
|
|
60
|
0,657
|
|
61
|
0,660
|
|
62
|
0,674
|
|
63
|
0,722
|
|
64
|
0,753
|
|
65
|
0,780
|
|
66
|
0,795
|
|
67
|
|
68
|
0,933
|
|
69
|
1,083
|
|
70
|
1,115
|
|
71
|
1,219
|
|
72
|
1,304
|
|
73
|
1,341
|
|
74
|
1,380
|
|
75
|
1,413
|
|
76
|
1,418
|
|
77
|
1,475
|
|
78
|
1,589
|
|
79
|
1,627
|
|
80
|
1,671
|
|
81
|
1,835
|
|
82
|
1,849
|
|
83
|
1,924
|
|
84
|
1,945
|
|
85
|
1,959
|
|
86
|
2,041
|
|
87
|
2,113
|
|
88
|
2,174
|
|
89
|
2,209
|
|
90
|
2,339
|
|
91
|
2,444
|
|
92
|
2,467
|
|
93
|
2,469
|
|
94
|
2,479
|
|
95
|
2,482
|
|
96
|
2,750
|
|
97
|
2,830
|
|
98
|
2,843
|
|
99
|
2,855
|
|
100
|
2,882
|
Построим сгруппированную выборку.
Для этого зададим отрезок [Xmin=-2,994; Xmax = 2,882],
внутри которого расположены все элементы исследуемой выборки и число интервалов
k = 8, на
которое делится этот отрезок. Найдем длины интервалов 
= 0,73,
концы интервалов 
, середины
интервалов 
и
соответствующие эмпирические частоты mi (mi - число
элементов выборки, попавших в i - й интервал), i = 1, 2, ...
k. Результаты
вычислений занесены в Табл. 1.3.
Таблица 1.3.
Сгруппированная выборка
|
Номер
интервала
|
Границы интервала
|
Середина
интервала
|
Эмпирические
частоты
|
|
i
|
xi, xi+1
|
zi
|
mi
|
|
1
|
-2,99; -2,26
|
-2,63
|
14
|
|
2
|
-2,26; -1,53
|
-1,89
|
13
|
|
3
|
-1,53; -0,79
|
-1,16
|
12
|
|
4
|
-0,79; -0,06
|
-0,42
|
12
|
|
5
|
-0,06; 0,68
|
0,31
|
11
|
|
6
|
0,68; 1,41
|
1,05
|
12
|
|
7
|
1,41; 2,15
|
1,78
|
13
|
|
8
|
2,15; 2,88
|
2,51
|
14
|
Построим гистограмму (Рис 1.1) -
фигуру, состоящая из прямоугольников с основаниями 
и высотами 
Рис. 1.1. Гистограмма распределения
эмпирических вероятностей
Определим выборочное математическое
ожидание 
и
исправленную выборочную дисперсию 
по следующим формулам:
, (1.1)
(1.2)
Подставив значения из Табл. 1.1, окончательно
получим:
-7,78 / 100 = -0,08.
308,825 / (100-1) = 3,12.
Проверка гипотезы о нормальном
распределении
Вычислим теоретические частоты
попадания СВ Х в i - й интервал 
, где 
, а и 
-
соответственно нижняя и верняя граница i - го
интервала.
Значения функции Лапласа 
были найдены по таблице нормального
распределения.
распределение регрессия
выборка параметр
Таблица 1.4. Теоретические частоты
при X ~ N(-0,08; 3,12
)
|
Номер
интервала
|
  Теоретич. вероятностиТеоретич.
частоты
|
|
|
|
|
|
i
|
|
|
pi
|
N*pi
|
|
|
1
|
0,107
|
0,050
|
0,058
|
6
|
11,593
|
|
2
|
0,206
|
0,107
|
0,099
|
10
|
1,000
|
|
3
|
0,345
|
0,206
|
0,139
|
14
|
0,247
|
|
4
|
0,504
|
0,345
|
0,159
|
16
|
0,974
|
|
5
|
0,666
|
0,504
|
0,162
|
16
|
1,691
|
|
6
|
0,799
|
0,666
|
0,133
|
13
|
0,129
|
|
7
|
0,896
|
0,799
|
0,097
|
10
|
1,147
|
|
8
|
0,954
|
0,896
|
0,057
|
6
|
11,936
|
Статистика c2 Пирсона
составляется по следующей формуле:
c2набл.
= 
. (1.3)
Определим число степеней свободы n = s - r - 1, где r - число
параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки, s - количество
интервалов, вероятность попадания в которые не нулевая. Нормальное
распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому n = s - 3.
По закону уровня значимости 1-a = 0,1 и найденному числу
степеней свободы n = 5 в
таблице квантилей распределения c2
находится критическая точка 
. Если c2набл. >c2a,n, то гипотеза отвергается.
Если c2набл. £c2a,n, гипотеза принимается.
В нашем случае c2набл. = 28,7164, а c2a,n = 9,2360, поэтому гипотеза h1 о
нормальном распределении не принимается.
Рис. 1.2. График плотность
вероятности СВ, распределенной по нормальному закону
Проверка гипотезы о равномерном
распределении
При использовании критерия Пирсона
для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с
предполагаемой плотностью вероятности
необходимо оценить параметры а и b по
формулам:
; 
Затем также необходимо вычислить
теоретические частоты 
, где 
, а и -
соответственно нижняя и верняя граница i - го
интервала.
Таблица 1.5. Теоретические частоты
при X ~ R( -3,137;
2,981)
|
Номер
интервала
|
Теоретич. вероятностиТеоретич.
частоты
|
|
|
|
|
|
i
|
|
|
pi
|
N*pi
|
|
|
1
|
-0,369
|
-0,489
|
0,120
|
12
|
0,331
|
|
2
|
-0,249
|
-0,369
|
0,120
|
12
|
0,082
|
|
3
|
-0,129
|
-0,249
|
0,120
|
12
|
0,000
|
|
4
|
-0,009
|
-0,129
|
0,120
|
12
|
0,000
|
|
5
|
0,111
|
-0,009
|
0,120
|
12
|
0,084
|
|
6
|
0,231
|
0,111
|
0,120
|
12
|
0,000
|
|
7
|
0,351
|
0,231
|
0,120
|
12
|
0,082
|
|
8
|
0,471
|
0,351
|
0,120
|
12
|
0,331
|
Вычислив статистику Пирсона по формуле (1.3),
можно сравнивнить наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом
того, что в данном случае число степеней свободы n = s
- 3.
Как и в предыдущих случаях, по
закону уровня значимости 1-a
= 0,1 и найденному числу степеней свободы n
= 5 в таблице квантилей распределения c2
находится критическая точка . Гипотеза принимается, если c2набл. £c2a,n.
В нашем случае c2набл. = 0,9116, а c2a,n = 9,2360, поэтому гипотеза h3 о
равномерном распределении принимается.
Рис. 1.3. График плотность
вероятности СВ, распределенной по равномерному закону
. Оценка параметров регрессии
Зададим параболу, имеющую корни x1 = 1 и x2 = 9.
График исходной параболы представлен на Рис. 2.1. Далее внесем шум,
распределенный по нормальному законам 
и 
и сформируем выборку из 51 значения
по следующей формуле:
. (2.1)
Параболы с шумом приведены на
Рис.2.2 и Рис.2.3 соответственно. С помощью метода наименьших квадратов
произведем точечную оценку параметров линейной модели по заданной выборке
значений:
. (2.2)
Рис. 2.1. График первоначальной
параболы
Рис. 2.2. График параболы с шумом
Рис. 2.3. График параболы с шумом
Для определения неизвестных
коэффициентов необходимо решить следующую систему уравнений:
(2.3)
Результаты вычислений приведены в
Табл. 2.1.
Табл. 2.1. Расчет
коэффициентов регрессии
|
k
|
      
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
-10,00
|
209,70
|
-2097,03
|
100,00
|
20970,32
|
-1000,00
|
10000,00
|
|
2
|
-9,60
|
197,65
|
-1897,45
|
92,16
|
18215,54
|
-884,74
|
8493,47
|
|
3
|
-9,20
|
185,97
|
-1710,88
|
84,64
|
15740,11
|
-778,69
|
7163,93
|
|
4
|
-8,80
|
174,75
|
-1537,81
|
77,44
|
13532,73
|
-681,47
|
5996,95
|
|
5
|
-8,40
|
163,33
|
-1371,97
|
70,56
|
11524,58
|
-592,70
|
4978,71
|
|
6
|
-8,00
|
151,50
|
-1212,01
|
64,00
|
9696,10
|
-512,00
|
4096,00
|
|
7
|
-7,60
|
144,58
|
-1098,78
|
57,76
|
8350,72
|
-438,98
|
3336,22
|
|
8
|
-7,20
|
131,79
|
-948,86
|
51,84
|
6831,81
|
-373,25
|
2687,39
|
|
9
|
-6,80
|
122,92
|
-835,87
|
46,24
|
5683,89
|
-314,43
|
2138,14
|
|
10
|
-6,40
|
113,49
|
-726,35
|
40,96
|
4648,66
|
-262,14
|
1677,72
|
|
11
|
-6,00
|
105,33
|
-632,00
|
36,00
|
3791,99
|
1296,00
|
|
12
|
-5,60
|
96,48
|
-540,27
|
31,36
|
3025,50
|
-175,62
|
983,45
|
|
13
|
-5,20
|
86,97
|
-452,24
|
27,04
|
2351,66
|
-140,61
|
731,16
|
|
14
|
-4,80
|
81,48
|
-391,12
|
23,04
|
1877,39
|
-110,59
|
530,84
|
|
15
|
-4,40
|
71,97
|
-316,65
|
19,36
|
1393,26
|
-85,18
|
374,81
|
|
16
|
-4,00
|
65,00
|
-260,01
|
16,00
|
1040,02
|
-64,00
|
256,00
|
|
17
|
-3,60
|
58,50
|
-210,62
|
12,96
|
758,21
|
-46,66
|
167,96
|
|
18
|
-3,20
|
50,56
|
-161,79
|
10,24
|
517,71
|
-32,77
|
104,86
|
|
19
|
-2,80
|
44,96
|
-125,88
|
7,84
|
352,46
|
-21,95
|
61,47
|
|
20
|
-2,40
|
38,04
|
-91,29
|
5,76
|
219,10
|
-13,82
|
33,18
|
|
21
|
-2,00
|
32,83
|
-65,65
|
4,00
|
131,31
|
-8,00
|
16,00
|
|
22
|
-1,60
|
26,33
|
-42,13
|
2,56
|
67,40
|
-4,10
|
6,55
|
|
23
|
-1,20
|
21,82
|
-26,19
|
1,44
|
31,43
|
-1,73
|
2,07
|
|
24
|
-0,80
|
17,36
|
-13,89
|
0,64
|
11,11
|
-0,51
|
0,41
|
|
25
|
-0,40
|
13,31
|
-5,32
|
0,16
|
2,13
|
-0,06
|
0,03
|
|
26
|
0,00
|
9,18
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
|
27
|
0,40
|
3,49
|
1,39
|
0,16
|
0,56
|
0,06
|
0,03
|
|
28
|
0,80
|
2,76
|
2,21
|
0,64
|
1,77
|
0,51
|
0,41
|
|
29
|
1,20
|
-1,83
|
-2,20
|
1,44
|
-2,64
|
1,73
|
2,07
|
|
30
|
1,60
|
-5,30
|
-8,48
|
2,56
|
-13,56
|
4,10
|
6,55
|
|
31
|
2,00
|
-6,95
|
-13,91
|
4,00
|
-27,82
|
8,00
|
16,00
|
|
32
|
2,40
|
-8,46
|
-20,29
|
5,76
|
-48,71
|
13,82
|
33,18
|
|
33
|
2,80
|
-11,34
|
-31,75
|
7,84
|
-88,89
|
21,95
|
61,47
|
|
34
|
3,20
|
-13,40
|
-42,87
|
10,24
|
-137,18
|
32,77
|
104,86
|
|
35
|
3,60
|
-14,08
|
-50,69
|
12,96
|
-182,49
|
46,66
|
167,96
|
|
36
|
4,00
|
-14,16
|
-56,65
|
16,00
|
-226,59
|
64,00
|
256,00
|
|
37
|
4,40
|
-15,49
|
-68,15
|
19,36
|
-299,86
|
85,18
|
374,81
|
|
38
|
4,80
|
-16,02
|
-76,89
|
23,04
|
-369,08
|
110,59
|
530,84
|
|
39
|
5,20
|
-17,74
|
-92,25
|
27,04
|
-479,70
|
140,61
|
731,16
|
|
40
|
5,60
|
-13,45
|
-75,33
|
31,36
|
-421,84
|
175,62
|
983,45
|
|
41
|
6,00
|
-13,62
|
-81,69
|
36,00
|
-490,15
|
216,00
|
1296,00
|
|
42
|
6,40
|
-13,89
|
-88,88
|
40,96
|
-568,84
|
262,14
|
1677,72
|
|
43
|
6,80
|
-12,29
|
-83,57
|
46,24
|
-568,27
|
314,43
|
2138,14
|
|
44
|
7,20
|
-11,31
|
-81,46
|
51,84
|
-586,52
|
373,25
|
2687,39
|
|
45
|
7,60
|
-9,64
|
-73,28
|
57,76
|
-556,95
|
438,98
|
3336,22
|
|
46
|
8,00
|
-8,00
|
-63,96
|
64,00
|
-511,71
|
512,00
|
4096,00
|
|
47
|
8,40
|
-4,14
|
-34,78
|
70,56
|
-292,19
|
592,70
|
4978,71
|
|
48
|
8,80
|
-1,02
|
-8,96
|
77,44
|
-78,84
|
681,47
|
5996,95
|
|
49
|
9,20
|
2,67
|
24,55
|
84,64
|
225,88
|
778,69
|
7163,93
|
|
50
|
9,60
|
4,15
|
39,83
|
92,16
|
382,38
|
884,74
|
8493,47
|
|
51
|
10,00
|
8,38
|
83,81
|
100,00
|
838,11
|
1000,00
|
10000,00
|
|
 0,0002225,1-17676,31768,0126262,00,0110266,6
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом система нормальных уравнений для
нахождения параметров регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий
вид:
51
+ 0,0
+ 1768,0
= 2225,1
,0 + 1768,0 + 0,0 = -17676,3
,0 + 0,0 + 110266,6 = 126262,0
Решая полученную систему, находим
следующие значения коэффициентов:
8,86.
-10,0.
= 1,0.
Подставляя найденные коэффициенты,
уравнение регрессии имеет вид:
= 1,0
- 10,0
+ 8,86.
На Рис. 2.4 представлены график
исходной зависимости и график регрессии.
Рис. 2.4. Графики зависимостей и 
Также определим мат. ожидание и
дисперсию по формулам:
, (2.4)
. (2.5)
Табл. 2.2. Расчет мат. ожидания и
дисперсии
|
k
|
 
|
|
|
|
|
|
1
|
-10,00
|
209,70
|
209,14
|
0,56
|
0,32
|
|
2
|
-9,60
|
197,65
|
0,37
|
0,14
|
|
3
|
-9,20
|
185,97
|
185,74
|
0,23
|
0,05
|
|
4
|
-8,80
|
174,75
|
174,51
|
0,24
|
0,06
|
|
5
|
-8,40
|
163,33
|
163,61
|
-0,28
|
0,08
|
|
6
|
-8,00
|
151,50
|
153,04
|
-1,53
|
2,35
|
|
7
|
-7,60
|
144,58
|
142,78
|
1,80
|
3,24
|
|
8
|
-7,20
|
131,79
|
132,84
|
-1,05
|
1,11
|
|
9
|
-6,80
|
122,92
|
123,22
|
-0,30
|
0,09
|
|
10
|
-6,40
|
113,49
|
113,93
|
-0,44
|
0,19
|
|
11
|
-6,00
|
105,33
|
104,95
|
0,38
|
0,14
|
|
12
|
-5,60
|
96,48
|
96,30
|
0,17
|
0,03
|
|
13
|
-5,20
|
86,97
|
87,97
|
-1,00
|
1,00
|
|
14
|
-4,80
|
81,48
|
79,96
|
1,53
|
2,33
|
|
15
|
-4,40
|
71,97
|
72,27
|
-0,30
|
0,09
|
|
16
|
-4,00
|
65,00
|
64,90
|
0,10
|
0,01
|
|
17
|
-3,60
|
58,50
|
57,85
|
0,65
|
0,43
|
|
18
|
-3,20
|
50,56
|
51,12
|
-0,56
|
0,32
|
|
19
|
-2,80
|
44,96
|
44,72
|
0,24
|
0,06
|
|
20
|
-2,40
|
38,04
|
38,63
|
-0,59
|
0,35
|
|
21
|
-2,00
|
32,83
|
32,87
|
-0,04
|
0,00
|
|
22
|
-1,60
|
26,33
|
27,42
|
-1,09
|
1,20
|
|
23
|
-1,20
|
21,82
|
22,30
|
-0,48
|
0,23
|
|
24
|
-0,80
|
17,36
|
17,50
|
-0,14
|
0,02
|
|
25
|
-0,40
|
13,31
|
13,02
|
0,29
|
0,08
|
|
26
|
0,00
|
9,18
|
8,86
|
0,32
|
0,10
|
|
27
|
0,40
|
3,49
|
5,02
|
-1,53
|
2,35
|
|
28
|
0,80
|
2,76
|
1,50
|
1,26
|
1,59
|
|
29
|
1,20
|
-1,83
|
-1,69
|
-0,14
|
0,02
|
|
30
|
1,60
|
-5,30
|
-4,57
|
-0,73
|
0,53
|
|
31
|
2,00
|
-6,95
|
-7,13
|
0,17
|
0,03
|
|
32
|
2,40
|
-8,46
|
-9,36
|
0,90
|
0,82
|
|
33
|
2,80
|
-11,34
|
-11,27
|
-0,07
|
0,00
|
|
34
|
3,20
|
-13,40
|
-12,86
|
-0,53
|
0,28
|
|
35
|
3,60
|
-14,08
|
-14,14
|
0,05
|
0,00
|
|
36
|
4,00
|
-14,16
|
-15,08
|
0,92
|
0,85
|
|
37
|
4,40
|
-15,49
|
-15,71
|
0,23
|
0,05
|
|
38
|
4,80
|
-16,02
|
-16,02
|
0,00
|
0,00
|
|
39
|
5,20
|
-17,74
|
-16,01
|
-1,73
|
3,00
|
|
40
|
5,60
|
-13,45
|
-15,68
|
2,22
|
4,94
|
|
41
|
6,00
|
-13,62
|
-15,02
|
1,40
|
1,97
|
|
42
|
6,40
|
-13,89
|
-14,04
|
0,16
|
0,02
|
|
43
|
6,80
|
-12,29
|
-12,75
|
0,46
|
0,21
|
|
44
|
7,20
|
-11,31
|
-11,13
|
-0,18
|
0,03
|
|
45
|
7,60
|
-9,64
|
-9,19
|
-0,45
|
0,20
|
|
46
|
8,00
|
-8,00
|
-6,93
|
-1,06
|
1,13
|
|
47
|
8,40
|
-4,14
|
-4,35
|
0,21
|
0,04
|
|
48
|
8,80
|
-1,02
|
-1,45
|
0,43
|
0,19
|
|
49
|
9,20
|
2,67
|
1,77
|
0,89
|
0,80
|
|
50
|
9,60
|
4,15
|
5,32
|
-1,17
|
1,37
|
|
51
|
10,00
|
8,38
|
9,18
|
-0,80
|
0,64
|
|
0,0002225,1262225,130,0035,10
|
|
|
|
|
|
По формулам (2.4)-(2.5) определяем мат. ожидание
и дисперсию:
= 0,00 / 51 = 0,00.
= 35,10 / (51-1) = 0,70.
0,84.
Произведем аналогичные действия для
параболы с шумом ю Для
определения неизвестных коэффициентов также необходимо решить систему уравнений
(2.3). Результаты вычислений приведены в Табл. 2.3.
Табл. 2.3. Расчет коэффициентов
регрессии
|
K
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
-10,00
|
208,53
|
-2085,30
|
100,00
|
20853,05
|
-1000,00
|
10000,00
|
|
2
|
-9,60
|
196,13
|
-1882,87
|
92,16
|
18075,55
|
-884,74
|
8493,47
|
|
3
|
-9,20
|
189,65
|
-1744,80
|
84,64
|
16052,18
|
-778,69
|
7163,93
|
|
4
|
-8,80
|
172,13
|
-1514,74
|
77,44
|
13329,75
|
-681,47
|
5996,95
|
|
5
|
-8,40
|
158,49
|
-1331,32
|
70,56
|
11183,07
|
-592,70
|
4978,71
|
|
6
|
-8,00
|
148,65
|
-1189,16
|
64,00
|
-512,00
|
4096,00
|
|
7
|
-7,60
|
142,67
|
-1084,27
|
57,76
|
8240,48
|
-438,98
|
3336,22
|
|
8
|
-7,20
|
133,13
|
-958,50
|
51,84
|
6901,23
|
-373,25
|
2687,39
|
|
9
|
-6,80
|
134,57
|
-915,06
|
46,24
|
6222,44
|
-314,43
|
2138,14
|
|
10
|
-6,40
|
112,54
|
-720,27
|
40,96
|
4609,75
|
-262,14
|
1677,72
|
|
11
|
-6,00
|
106,53
|
-639,17
|
36,00
|
3835,00
|
-216,00
|
1296,00
|
|
12
|
-5,60
|
98,51
|
-551,66
|
31,36
|
3089,32
|
-175,62
|
983,45
|
|
13
|
-5,20
|
88,84
|
-461,99
|
27,04
|
2402,35
|
-140,61
|
731,16
|
|
14
|
-4,80
|
76,68
|
-368,04
|
23,04
|
1766,61
|
-110,59
|
530,84
|
|
15
|
-4,40
|
74,75
|
-328,92
|
19,36
|
1447,24
|
-85,18
|
374,81
|
|
16
|
-4,00
|
65,43
|
-261,72
|
16,00
|
1046,89
|
-64,00
|
256,00
|
|
17
|
-3,60
|
55,57
|
-200,04
|
12,96
|
720,16
|
-46,66
|
167,96
|
|
18
|
-3,20
|
48,33
|
-154,64
|
10,24
|
494,86
|
-32,77
|
104,86
|
|
19
|
-2,80
|
37,02
|
-103,66
|
7,84
|
290,24
|
-21,95
|
61,47
|
|
20
|
-2,40
|
39,63
|
-95,11
|
5,76
|
228,25
|
-13,82
|
33,18
|
|
21
|
-2,00
|
40,16
|
-80,31
|
4,00
|
160,63
|
-8,00
|
16,00
|
|
22
|
-1,60
|
29,31
|
-46,90
|
2,56
|
75,04
|
-4,10
|
6,55
|
|
23
|
-1,20
|
19,29
|
-23,14
|
1,44
|
27,77
|
-1,73
|
2,07
|
|
24
|
-0,80
|
21,87
|
-17,50
|
0,64
|
14,00
|
-0,51
|
0,41
|
|
25
|
-0,40
|
9,94
|
-3,98
|
0,16
|
1,59
|
-0,06
|
0,03
|
|
26
|
0,00
|
11,99
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
|
27
|
0,40
|
0,43
|
0,17
|
0,16
|
0,07
|
0,06
|
0,03
|
|
28
|
0,80
|
4,15
|
3,32
|
0,64
|
2,65
|
0,51
|
0,41
|
|
29
|
1,20
|
0,07
|
0,08
|
1,44
|
0,09
|
1,73
|
2,07
|
|
30
|
1,60
|
-3,91
|
-6,26
|
2,56
|
-10,02
|
4,10
|
6,55
|
|
31
|
2,00
|
-8,83
|
-17,65
|
4,00
|
-35,30
|
8,00
|
16,00
|
|
32
|
2,40
|
-8,07
|
-19,36
|
5,76
|
-46,47
|
13,82
|
33,18
|
|
33
|
2,80
|
-9,17
|
-25,66
|
7,84
|
-71,86
|
21,95
|
61,47
|
|
34
|
3,20
|
-8,69
|
-27,80
|
10,24
|
-88,95
|
32,77
|
104,86
|
|
35
|
3,60
|
-18,42
|
-66,30
|
12,96
|
-238,67
|
46,66
|
167,96
|
|
36
|
4,00
|
-15,05
|
-60,21
|
16,00
|
-240,83
|
64,00
|
256,00
|
|
37
|
4,40
|
-13,39
|
-58,90
|
19,36
|
-259,16
|
85,18
|
374,81
|
|
38
|
4,80
|
-15,82
|
-75,92
|
23,04
|
-364,44
|
110,59
|
530,84
|
|
39
|
5,20
|
-17,81
|
-92,62
|
27,04
|
-481,62
|
140,61
|
731,16
|
|
40
|
5,60
|
-16,23
|
-90,89
|
31,36
|
-508,96
|
175,62
|
983,45
|
|
41
|
6,00
|
-16,54
|
-99,26
|
36,00
|
-595,53
|
216,00
|
1296,00
|
|
42
|
6,40
|
-9,63
|
-61,64
|
40,96
|
-394,51
|
262,14
|
1677,72
|
|
43
|
6,80
|
-13,28
|
-90,30
|
46,24
|
-614,06
|
314,43
|
2138,14
|
|
44
|
7,20
|
-10,57
|
-76,10
|
51,84
|
-547,93
|
373,25
|
2687,39
|
|
45
|
7,60
|
-6,41
|
-48,73
|
57,76
|
-370,34
|
438,98
|
3336,22
|
|
46
|
8,00
|
-16,69
|
-133,56
|
64,00
|
-1068,45
|
512,00
|
4096,00
|
|
47
|
8,40
|
-7,65
|
-64,23
|
70,56
|
-539,54
|
592,70
|
4978,71
|
|
48
|
8,80
|
-0,21
|
-1,81
|
77,44
|
-15,94
|
681,47
|
5996,95
|
|
49
|
9,20
|
2,13
|
19,60
|
84,64
|
180,28
|
778,69
|
7163,93
|
|
50
|
9,60
|
10,16
|
97,53
|
936,31
|
884,74
|
8493,47
|
|
51
|
10,00
|
9,21
|
92,11
|
100,00
|
921,15
|
1000,00
|
10000,00
|
|
0,0002230,1-17667,41768,0126128,70,0110266,6
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, система нормальных уравнений для
нахождения параметров регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий
вид:
51 + 0,0 + 1768,0 = 2230,1
,0 + 1768,0 + 0,0 = -17667,4
,0 + 0,0 + 110266,6 = 126128,7
Решая полученную систему, находим
следующие значения коэффициентов:
9,17.
-9,99.
= 1,00.
Подставляя найденные коэффициенты,
уравнение регрессии имеет вид:
= 1,0 - 9,99+ 9,17.
На Рис. 2.4 представлены график
исходной зависимости и график регрессии.
Рис. 2.5. Графики зависимостей и
Также определим мат. ожидание и
дисперсию по формулам (2.4) и (2.5).
Табл. 2.4. Расчет мат. ожидания и
дисперсии
|
k
|
|
|
|
|
|
|
1
|
-10,00
|
208,53
|
208,78
|
-0,25
|
0,06
|
|
2
|
-9,60
|
196,13
|
196,97
|
-0,84
|
0,70
|
|
3
|
-9,20
|
189,65
|
185,47
|
4,18
|
17,45
|
|
4
|
-8,80
|
172,13
|
174,30
|
-2,17
|
4,71
|
|
5
|
-8,40
|
158,49
|
163,45
|
-4,96
|
24,56
|
|
6
|
-8,00
|
148,65
|
152,91
|
-4,26
|
18,18
|
|
7
|
-7,60
|
142,67
|
142,69
|
-0,03
|
0,00
|
|
8
|
-7,20
|
133,13
|
132,79
|
0,33
|
0,11
|
|
9
|
-6,80
|
134,57
|
123,22
|
11,35
|
128,88
|
|
10
|
-6,40
|
112,54
|
113,96
|
-1,41
|
2,00
|
|
11
|
-6,00
|
106,53
|
105,01
|
1,51
|
2,29
|
|
12
|
-5,60
|
98,51
|
96,39
|
2,12
|
4,49
|
|
13
|
-5,20
|
88,84
|
88,09
|
0,76
|
0,57
|
|
14
|
-4,80
|
76,68
|
80,10
|
-3,43
|
11,76
|
|
15
|
-4,40
|
74,75
|
72,44
|
2,31
|
5,36
|
|
16
|
-4,00
|
65,43
|
65,09
|
0,34
|
0,11
|
|
17
|
-3,60
|
55,57
|
58,07
|
-2,50
|
6,24
|
|
18
|
-3,20
|
48,33
|
51,36
|
-3,03
|
9,19
|
|
19
|
-2,80
|
37,02
|
44,97
|
-7,95
|
63,15
|
|
20
|
-2,40
|
39,63
|
38,90
|
0,73
|
0,53
|
|
21
|
-2,00
|
40,16
|
33,15
|
7,01
|
49,16
|
|
22
|
-1,60
|
29,31
|
27,71
|
1,60
|
2,56
|
|
23
|
-1,20
|
19,29
|
22,60
|
-3,31
|
10,98
|
|
24
|
-0,80
|
21,87
|
17,80
|
4,07
|
16,55
|
|
25
|
-0,40
|
9,94
|
13,33
|
-3,39
|
11,49
|
|
26
|
0,00
|
11,99
|
9,17
|
2,81
|
7,91
|
|
27
|
0,40
|
0,43
|
5,33
|
-4,91
|
24,09
|
|
28
|
0,80
|
4,15
|
1,82
|
2,33
|
5,42
|
|
29
|
1,20
|
0,07
|
-1,38
|
1,45
|
2,10
|
|
30
|
1,60
|
-3,91
|
-4,26
|
0,35
|
0,12
|
|
31
|
2,00
|
-8,83
|
-6,83
|
-2,00
|
4,00
|
|
32
|
2,40
|
-8,07
|
-9,07
|
1,00
|
1,00
|
|
33
|
2,80
|
-9,17
|
-10,99
|
1,83
|
3,34
|
|
34
|
3,20
|
-8,69
|
-12,60
|
3,91
|
15,30
|
|
35
|
3,60
|
-18,42
|
-13,88
|
-4,53
|
20,54
|
|
36
|
4,00
|
-15,05
|
-14,85
|
-0,20
|
0,04
|
|
37
|
4,40
|
-13,39
|
-15,50
|
2,11
|
4,46
|
|
38
|
4,80
|
-15,82
|
-15,83
|
0,01
|
0,00
|
|
39
|
5,20
|
-17,81
|
-15,84
|
-1,97
|
3,90
|
|
40
|
5,60
|
-16,23
|
-15,53
|
-0,70
|
0,49
|
|
41
|
6,00
|
-16,54
|
-14,90
|
-1,64
|
2,70
|
|
42
|
6,40
|
-9,63
|
-13,95
|
4,32
|
18,68
|
|
43
|
6,80
|
-13,28
|
-12,69
|
-0,59
|
0,35
|
|
44
|
7,20
|
-10,57
|
-11,10
|
0,53
|
0,28
|
|
45
|
7,60
|
-6,41
|
-9,20
|
2,79
|
7,77
|
|
46
|
8,00
|
-16,69
|
-6,98
|
-9,72
|
94,43
|
|
47
|
8,40
|
-7,65
|
-4,44
|
-3,21
|
10,31
|
|
48
|
8,80
|
-0,21
|
-1,57
|
1,37
|
1,87
|
|
49
|
9,20
|
2,13
|
1,61
|
0,52
|
0,28
|
|
50
|
9,60
|
10,16
|
5,10
|
5,06
|
25,56
|
|
51
|
10,00
|
9,21
|
8,92
|
0,29
|
0,08
|
|
0,0002230,1122230,110,00646,12
|
|
|
|
|
|
По формулам (2.4)-(2.5) определяем мат. ожидание
и дисперсию:
= 0,00 / 51 = 0,0.
= 646,12 / (51-1) = 12,92.
3,59.
Как видно из полученных результатов,
первоначальные параметры с шумом были восстановлены с большей
погрешностью, чем в случае с шумом . Более точные результаты также
можно было бы получить, увеличивая объем исходной выборки.