Оценка погрешностей измерений

Оценка погрешностей измерений

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

Кафедра «Электронные приборы и устройства»

Курсовая работа на тему:

«Оценка погрешностей измерений»

Выполнил студент

группы ЭПУ-41

Оруджев Р.Ф.

1. Задание к курсовой работе

Выборка случайных величин

2. Расчетная часть

.1 Объем выборки

В математической статистике исходная исследуемая случайная величина называется генеральной совокупностью, а полученный из нее набор экспериментальных данных - выборочной совокупностью (выборкой).

Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется ее объемом (и соответственно).

Согласно исходным данным, .

.2 Интервальные статические ряды

Числа , показывающие сколько раз встречаются варианты в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки - частостями:

,

где .

Для определения оптимального значения интервала в первом приближении используем формулу Стерджеса:

,

По формуле (2) получаем следующий результат:

Составим интервальный статический ряд, воспользовавшись формулами (1-2).

Таблица 1. Интервальный статический ряд (5 интервалов)

Таблица 2. Интервальный статический ряд (10 интервалов)

Таблица 3. Интервальный статический ряд (15 интервалов)

Таблица 4. Интервальный статический ряд (20 интервалов)

                                       а                                                б

                                         в                                                г

Рис. 4. Диаграммы частоты в выбранных интервалах: а - для 5 интервалов, б - для 10 интервалов, в - для 15 интервалов, г - для 20 интервалов

2.3 Медиана вариационного ряда

Медиана  вариационного ряда - это значение признака, приходящееся на середину ряда. Получаем:

Значение  медианы не зависит от выбора количества интервалов ().

.4 Размах вариации

Размах вариации называется число , где - наибольший,  - наименьший вариант ряда.

Размах вариации не зависит от выбора количества интервалов ().

.5 Выборочное среднее

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

,

Для интервального статистического ряда в качестве  берут середины интервалов, а  - соответствующие им частости.

Для 5 интервалов ; для 10 , для 15 интервалов , для 20 .

.6 Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней:

,

Для 5 интервалов , для 10 , для 15 интервалов , для 20 .

.7 Выборочное среднеквадратическое отклонение выборки

Этот параметр определяется как:

,

Для 5 интервалов , для 10 , для 15 интервалов , для 20 .

2.8 Эмпирическая (статистическая) функция распределения

Эта функция , определяет для каждого значения частость события .  Для нахождения эмпирической функции ее записывают в виде:

,

где - объем выборки, - число наблюдений, меньших.  Найдем по (8) значения эмпирической функции распределения с 5, 10, 15, 20 интервалами:

* в скобках обозначен номер интервала

                       а                                                         б

                          в                                                         г

Рис. 5. График эмпирической функции распределения: а - для 5 интервалов, б - для 10 интервалов, в - для 15 интервалов, г - для 20 интервалов

Мода - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. По следующей формуле вычислим значение моды:

,

где  - минимальная граница модульного интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Таблица 5. Параметры для вычисления моды и значения моды

.10 Медиана

Медиана интервального статистического ряда вычисляется по следующей формуле:

,

где  - начальное значение медианного интервала;

 - величина медианного интервала;

 - сумма частот ряда;

 - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

 - частота медианного интервала.

Таблица 6. Параметры для вычисления медианы и значения медианы

.11 Кривая распределения

Кривая распределения (считаем, что закон распределения нормальный) для упорядоченных значений случайных величин выглядит следующим образом:

Рис. 6. Кривая распределения для упорядоченных значений случайных величин

.12 Степень сродства к нормальному распределению

Степень сродства к нормальному распределению (здесь - для диаграммы частоты) - отношение числа точек, для которых отклонение от гауссовой функции составляет менее 0.05 по модулю к числу интервалов.

Для определения этого параметра воспользуемся формулами (11).

,

 погрешность вариационный выборочный распределение

где  ;

 - множитель амплитуды гауссовой функции (подбираемая для ее сравнения с диаграммой частот);  - дисперсия; - математическое ожидание;  - нормированное к максимуму значения частот в каждом интервале;  - число точек, для которых отклонение от гауссовой функции составляет менее 0.05;  - число интервалов,  - степень сродства к нормальному распределению (%).

                                  а                                            б

                   в                                                         г

Рис. 7. Сравнение функции Гаусса с диаграммой частоты: а - для 5 интервалов (), б - для 10 интервалов (), в - для 15 интервалов (), г - для 20 интервалов ()

.13 Сравнение параметров случайных величин

Сравним с помощью таблиц и графиков найденные параметры случайных величин.

Таблица 7. Параметры случайных величин

Вывод

В ходе выполнения данной курсовой работы были изучены методы статистической оценки распределения случайной величины. Были осуществлены расчеты по представленной выборке, рассмотрены основные числовые характеристики случайной величины: объем выборки, медиана вариационного и статистического ряда, размах вариации, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана. Выявлено, что выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое отклонение выборки имеет максимальное значение при 5 интервалах. Обнаружено, что медиана интервального статистического ряда растет при увеличении числа интервалов.

Построены диаграммы частоты в выбранных интервалах, кривая распределения, эмпирическая функция распределения, определяющая частость события для каждого значения случайной величины, а также графики сравнения функции Гаусса с диаграммой частоты. Диаграммы частоты при увеличении числа интервалов становятся неравномерными, а эмпирическая функция распределения, наоборот, становится более гладкой.

Был установлен теоретический закон распределения случайной величины - данная случайная величина имеет нормальное распределение со степенью сродства к нормальному распределению не менее 45% в выбранных интервалах. Замечено, что при увеличении числа интервалов степень сродства уменьшается вследствие большей неравномерности диаграммы частоты.