Циклические подгруппы и группы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВПО "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Факультет естественнонаучного и математического образования

Кафедра математики, алгебры и математического анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА

Циклические подгруппы и группы

Исполнитель: студентка 2 курса

факультета математики, информатики и физики

Щелчкова К.В.

Научный руководитель: ст. пр. Авдеева А.А.

Ростов-на-Дону

Оглавление

Введение

Теоретическая часть

§ 1. Группы. Различные определения. Примеры

§ 2. Свойства групп

§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы

§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее

Заключение

Литература

Введение

Данная работа посвящена рассмотрению темы "Циклические подгруппы и группы".

Теория групп - раздел общей алгебры <#"816587.files/image001.gif">А существует обратный или нейтрализующий элемент á такой, что

а * á = á * а = е.

Определение 4. Группа <А, *> называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция "*" коммутативна на множестве А.

Определение 5. Группа <А, *> называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.

Количество элементов конечной группы называется ее порядком.

Важные примеры групп:

.        Полная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

<GL_n (P),. >, где GL_n (P) = { (a_ij) _n×n: det (a_ij) ≠0, a_ij  P, i,j = }

2.      Специальная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

<SL_n (R),. >, где SL_n (R) = { (a_ij) _n×n: det (a_ij) = 1, a_ij  R, i,j = }

3.      Группа кватернионов.

<Q₈,. >, где Q₈ = {±1, ±i, ±j, ±k}, i² = j² = k² = - 1; ij = k, ki = j, jk = i, ji = - k, ik = - j, kj = - i, конечная группа 8-го порядка.

4.      Группа преобразований.

< ◦>, где  _- множество обратимых преобразований множества А,

А ≠, "°" - суперпозиция (произведение, композиция) преобразований.

5.      Группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа <S_n,°> подстановок n-ой степени, где S_{n -} множество подстановок n-ой степени.

6.      Знакопеременная группа <A_n,°> подстановок n-ой степени, где A_{n -} множество четных подстановок n-ой степени, A_n  S_n, "°" - суперпозиция подстановок.

.        Четверная группа Клейна.

<V,°>,

где V = {e, a, b, c}  A₄  S₄, A₄ - знакопеременная группа подстановок 4-ой степени, S₄ - симметрическая группа подстановок 4-ой степени.

8.      Группа остатков по данному модулю или группа вычетов по данному модулю, или группа классов вычетов по данному модулю.

§ 2. Свойства групп

Пусть алгебраическая система <А,*> - группа.

Свойство 1. Бинарная операция "*" сократима в группе:

 a, b, с  A из равенств a * b = a * c (1), b * a = c * a (2) => b = c (3).

Доказательство.

(1) => (3)

a * b = a * c | * a^’ слева

а^’ * (a * b) = a^’ * (a * c) =>_{ассоциативность "*" (}a^’ * a) * b = (a^’ * a) * c =>_{условие 3 определения группы} e * b = e * c =>_{условие 2 определения 3 группы} b = c (3).

(2) => (3)* a = c * a (2) => b = c (3)* a = c * a | * a^’ справа

(b * a) * a^’ = (c * a) * a^’ =>_{ассоциативность "*"} b * (a * a^’) = c * (a * a^’) => _{условие 3 определения группы} b * e = c * e =>_{условие 2 определения 3 группы} b = c (3).

Свойство 2. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство.

Пусть е, е₁ - два нейтральных элемента группы. Покажем, что е₁ = е.

Пусть а = е, е₁ - нейтральный элемент группы А относительно операции "*": е * е₁ = е₁ * е = е (1).

Пусть а = е₁, е - нейтральный элемент группы А относительно операции "*": е₁ * е = е * е₁ = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что е₁ = е.

Свойство 3. Нейтрализующий для каждого элемента группы единственен.

Доказательство.

Пусть a^’₁, a^’₂ - два нейтрализующих элемента для а  А. Справедливы равенства:

а * a^’₁ = a^’₁ * a = е (1), a^’₂ * a = a * a^’₂ = е (2)

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что a^’₁ * a = a^’₂ * a => a^’₁ = a^’₂ = a^’.

Свойство 4. Нейтрализующий для произведения двух элементов равен "произведению" нейтрализующих для сомножителей, взятых в другом порядке: (a * b) ^’ = b^’ * a^’.

Доказательство.

Справедливо равенство (a * b) * (b^’ * a^’). Действительно, в силу обобщенной ассоциативности, имеем a * (b * b^’) * a^’ = e _{свойство нейтрализующего элемента}

a * e * a^’ = e =>_{ассоциативность (}a * e) * a^’ = e =>_{свойство нейтрального элемента} a * a^’ = e =>_{свойство нейтрализующего элемента} е = е.

Свойство 5. Нейтрализующий для нейтрализующего к элементу а равен самому элементу а.

Доказательство.

Справедливы равенства:

Из подчеркнутых равенств (1) и (2) видно, что

а * a^’ = (a^’) ^’ * a^’ =>_{свойство 1 группы сократимость справа} (a^’) ^’ = a^’.

Свойство 6. Уравнения a × x = b (1) и y × a = b (2) однозначно разрешимы. Иначе говоря, уравнения (1) и (2) имеют в группе единственное решение.

Доказательство.

а) Покажем, что уравнение (1) разрешимо:

а * х = b | * á слева

á * (a * x) = á * b =>_{ассоциативность "*"} (á * a) * x = á * b =>_{свойство нейтрализующего} e * x = á * b =>_{свойство нейтрального} x = á * b => уравнение (1) разрешимо.

б) Покажем, что уравнение (1) однозначно разрешимо:

a * x = b | * á слева

á * (á * x) = á * b => (á * a) * x = á * b => e * x = á * b => x = á * b;

а * х = b | * á справа

(a * x) * á = b * á => a * (x * á) = b * á => a * e = b * á => x = b * á => уравнение (1) однозначно разрешимо.

§ 3. Мультипликативные циклические подгруппы и группы

Пусть А ≠  <А, ·> - мультипликативная группа,

Н - подмножество множества А, Н ≠.

Определение 1. <Н,·> - называется подгруппой мультипликативной группы А, если выполняются следующие условия:

1.      Н - замкнуто относительно бинарной операции "*"  а, b  Н, ab H;

2.      Существует е_Н = е_{А -} единственный элемент относительно "°";

3.      а  Н существует а^-1 Н.

Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то <Н,·> - называется несобственной подгруппой группы А.

Если Н  А, Н - собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А.

Н = А - сама группа А.

Н = {е} - единичная подгруппа.

циклическая подгруппа группа мультипликативная

Пример. Является ли <А, ·>, где А = {1, - 1, i, - i}, i - мнимая единица, группой?

Решение.

) Проверим условия мультипликативной группы.

"·" - бинарная ассоциативная операция на множестве А.

Таблица Кэли для "·" на множестве А.

2)  е_Н = 1  А: а  А а × 1 = 1 × а = а;

) а  А  а^-1  А

<А, ·> - подгруппа.

Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативные циклические подгруппы.

Пусть <А, ·> - группа. Элемент е  А - единичный элемент. Элемент а ≠ е, а  А.

(а) - множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аⁿ: n  Z, a  A, a ≠ e}

Справедлива

Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.

) Н = (а) - замкнуто относительно "·":

х = аⁿ, y = a^l, n,e  Z, x, y  Н, xy = aⁿa^l = a^n+l  H, т.к. n + l  Z;

) e = 1 = a⁰  H,  A: x  H xa⁰ = a⁰x = x;

) x = a  H, x^-1 = a^-n  Н: aⁿa^-n = a^-naⁿ = a⁰ = 1.

Из 1) - 3) по определению Н имеем < (а), ·> - подгруппа мультипликативной группы А.

Определение 3. Пусть <А, ·> - некоторая мультипликативная группа и

а ≠ е, а  А.

Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n такое, что аⁿ = е.

Пример. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i}

1: (-1) ¹ = - 1, (-1) ² = 1 = e. Следовательно,

n = 2 - порядок элемента - 1.

i: (i) ¹ = i, (i) ² = - 1, (i) ⁴ = 1 = e. Следовательно,

n = 4 - порядок элемента i.

i: (-i) ¹ = - i, (-i) ² = - 1, (-i) ⁴ = 1 = e. Следовательно,

n = 4 порядок элемента - i.

Теорема 2. Пусть <А, ·> - группа, а  А, а ≠ е, а - элемент n-го порядка, тогда:

) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а⁰ = е, а, а², …, а^n-1} -

n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а;

) Любая целая степень элемента а^k, k  Z, принадлежит множеству (а) и

a^k = e <=> k = nq, n  N, q  Z.

Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: a^k = a^l, k > l, тогда a^k-l = e. k - l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Покажем, что а^k, К  Z, принадлежит множеству (а).

Пусть k = n, k: n, a^k = a^{nq + r} = a^k × a^{nq + r} = (aⁿ) ^q × a^r = e^q × a^r = e × a^r = a^r,

≤ r ≤ n ≤ 1 => a^k  (a). Если r = 0, то k = nq <=> a^k = e.

Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а⁰ = е, а, а², …, а^n-1}, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А (мультипликативной циклической подгруппой группы А).

Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А, ·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклической группой.

Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой.

Доказательство. А = (а), а ≠ е, а - образующий элемент группы

 a^k, a^l  A, a^k × a^l = a^l × a^k. Действительно, a^k × a^l = a^k+l = a^l+k = a^l × a^k, l,k  Z.

§ 4. Аддитивные циклические подгруппы и группы

Определение 1. Пусть <A,+> - аддитивная группа, Н - подмножество А,

Н ≠.

<Н,+> называется подгруппой аддитивной группы А, если выполняются следующие условия:

) Н замкнуто относительно "+":  a, b  H, a + b  H;

) Существует е_Н = е_А - нулевой элемент относительно операции сложения

)  а  Н существует противоположный - а  Н.

Пример 1.

<Q,+>, где Q - множество рациональных чисел, является группой рациональных чисел. Z  Q, Z ≠ .

<Z,+> - подгруппа группы Q. Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:

) Z замкнуто относительно "+":  a, b  Z, a + b  Z;

) Существует е_Z = е_Q = 0 - нулевой элемент относительно операции сложения;

)  а  Z существует противоположный - а  Z.

Определение 2. Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа <H,+> называется несобственной подгруппой группы А.

Если Н  А, то подгруппа <H,+> называется собственной подгруппой группы А.

Пример 2.

Н₁ = Q - несобственная подгруппа группы Q,

Н₂ = {0} - несобственная (нулевая) подгруппа группы Q,

Н₃ = Z - собственная подгруппа группы Q.

Пусть <A,+> - аддитивная группа.

Через (а) обозначим множество всех кратных элементов а  А, а ≠ е:

(а) = {x = na: a  Z}.

Справедлива

Теорема 1. < (a),+>, где (а) = {x = na: a  Z}, является подгруппой группы А.

Доказательство.

Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:

) (а) замкнуто относительно "+":

 х, у  (а) х + у ϵ (а).

Действительно, пусть x = na, y = la, n, l  Z.

x + y = na + la = (n + l) a  (a), n + l  Z.

2) Существует е _(а) = е_А = 0 × а = 0;

)  х  (а) существует противоположный - х (а), x = na - x = - (na) = (-n) a  (a).

Из 1) - 3) =>_{по определению} < (a),+> - подгруппа группы А.

Определение 3. Пусть А - аддитивная группа, <A,+>, а А, а ≠ е. Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n, такое что na = e, е - нулевой элемент.

Определение 4. Подгруппа < (a),+> группы <A,+>, а - элемент n-го порядка, вида (а) = {0а, 1а, …, (n-1) а} называется аддитивной циклической подгруппой группы А, порожденной элементом а.

Определение 5. Группа <A,+>, совпадающая со своей циклической подгруппой <A,+> = < (a),+>, называется циклической группой. Элемент а называется образующим элементом группы.

Теорема 2. Всякая аддитивная циклическая подгруппа абелева.

Доказательство.

<A,+> = < (a),+>, (a) = {na: n  Z}.

 na, ka  (a) справедливо равенство na + ka = ka + na. Действительно,

§ 5. Теорема Лагранжа и следствия из нее

Теорема Лагранжа. Пусть <А, ·> - конечная мультипликативная группа порядка n. Н - некоторая ее подгруппа порядка k. Индекс подгруппы Н в группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Иначе говоря, справедливо равенство: n = k×l, l = A: H, l - индекс подгруппы.

Доказательство.

Запишем левостороннее разложение группы А по подгруппе Н.

А = Н а₁Н  …  а_е-1Н,

|A| = |H| + |а₁Н| + … + |а_е-1Н|,

|A| = n, |H| = k, n = k + k + … + k = k×l.

_{l раз}

Следствие 1. Порядок элемента а, а ≠ е, <А, ·> = < (а), ·> n-го порядка, является делителем порядка группы.

Следствие 2. Всякая циклическая группа <А, ·> = < (а), ·> простого порядка n = p имеет только две несобственные подгруппы:

Н₁ = {e} - единичная подгруппа,

H₂ = A - сама группа.

Следствие 3. Все циклические подгруппы циклической группы

<А, ·> = < (а), ·> n-го порядка имеют вид:

H_i = {a⁰ = e, a^d, a^2d, …, a ^{(k-1) d}}, i = 1, 2, …,

где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k×d,

k - порядок подгруппы.

Следствие 4. Все циклические подгруппы аддитивной циклической группы <Z_n, +> n-го порядка имеют вид:

Н_i = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …,

где d - любой натуральный делитель порядка группы n = k×d, k - порядок подгруппы.

Практическая часть.

1.      <Z, - > - группа? Если да, то является ли она коммутативной (абелевой)?

Решение.

1) Бинарная операция "-" не ассоциативна: a, b c  Z

(a - b) - c ≠ a - (b - c) => <Z, - > не является группой,

<Z, - > - не группа.

2.      А - множество целых чисел, кратных любому натуральному числу n относительно сложения.

Решение.

А = nZ = {x: x = nk, k  Z, n  N, n - фиксированное натуральное число}.

<A, +> - группа?

Решение.

1)      Проверим, является ли "+" бинарной операцией на множестве А.

Пусть x = nk, y = nl, k, l  Z x, y  A. + y = nk + nl = n (k + l)  A, k + l  Z =˃ "+" - бинарная операция на множестве А.

Проверим, является ли "+" ассоциативной операцией на множестве А.

x, y, z, z = np, p  Z,

(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,

(nl + nk) + np = nk + (nl + np),

n (l + k) + np = nk + n (l + p) - это равенство выполняется, т.к. "+" целых чисел - ассоциативная операция => "+" ассоциативная операция на А.

2)      Существует ли нейтральный элемент относительно "+"?

 х  А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?

Рассмотрим равенство х + е = х

nk + e = nk, e = 0 = n0  A.

е - существует относительно "+".

)        Существует ли х^`  А относительно операции "+"?

х + х^{`</sup> = х<sup>`} + х = е?

Рассмотрим равенство х + х^` = е.

х^{`</sup> = е - nk = n0 - nk = n (0 - k) = n (-k), - k  Z => х<sup>`}  A  x  A

Из 1) - 3), по определению группы, => данная система является группой, аддитивной группой.

4)      Проверим, является ли группа коммутативной.

 х, у  А выполняется ли равенство х + у = у + х?

nk + nl = nl + nk

n (k + l) = n (l + k) - выполняется, так как "+" - коммутативная операция на Z.

Из 1) - 4) => алгебраическая система <A, +> - коммутативная аддитивная группа.

3.      <Q, ·> - группа?

Q = {x: x = m/n, m  Z, n  N}.

Решение.

1)      Проверим, является ли умножение бинарной операцией на Q.

y = k/l, k  Z, l  N.

xy = m/n * k/l = mk/nl  Q => "·" - бинарная операция на Q.

Проверим, является ли "·" ассоциативной операцией на Q.

z = p/q, p  Z, q  N,  x, y, z  Q: x · (y · z) = (x · y) · z?

Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) = "_{·" ассоциативна на Z, N (}mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.

"·" ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.

2)      Существует ли нейтральный элемент относительно "·" на Q?

x · e = e · x = x?  x  Q, x · e = x, e = 1  Q

3)      Существует ли х' относительно операции "·" на Q?

 x  Q, х · х' = х' · х = е? х · х' = е = 1,х · х' = 1,х'= 1/x, x ≠ 0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.

<Q, ·> - не является группой.

4.      <R\{0}, ·> - группа? Если да, является ли она абелевой?

Решение.

1)      a, b  R\{0} a · b = с  R\{0} => "·" - бинарная операция на множестве R\{0};

2)      Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?

a R^*, а · е = е · а = а.

Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1  R\{0} => существует е  R\{0}.

3)      Существуют нейтрализующий элемент а^'?

a R^*. а' · а = а' · а = е = 1, а' = 1/а = х^-1 ϵ R\{0}.

Из 1) - 3) => <R\{0}, ·> - группа.

4.      Найти порядок a = (1243)  S₄

S₄ - симметрическая группа подстановок 4 - ой степени.

aⁿ = e, n - натуральное.

a =  ≠ e,² =  *  =  ≠ e,³ =  *  =  ≠ e,⁴ =  *  =  = e,⁴ = e, n = 4 - порядок группы.

5.      S₃ = {₀ = e, ₁, ₂, …, ₅}

₁ =  ⁿ = - ?, n = 1, ₁ ≠ e, n = 2

₁² =   = = 2.

₂ =  ⁿ = e- ?, n = 1 - ?, ₂ ≠ e, n = 2

₂² =  *  =  = e.

Заключение

В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы "Циклические подгруппы и группы" отработаны. Теоретическая часть написана с помощью анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический материал.

Тема "Циклические подгруппы и группы" в настоящее время является актуальной, т.к. теория групп - один из разделов общей алгебры.

Литература

1.      Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2.      Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник - М.: ТК Велби, издательство Проспект, 2007.

.        Нечаев И.В. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1983.

.        Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.

.        Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1977.

.        Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. - М.: Просвещение, 1993.

.        Щипачев B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 2001.

.        А.М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. - Кр-ск, РИО КГПУ, 2001.

.        Л.Я. Окунев. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.

.        Ф.Л. Варнаховский, А.С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. - М.: Просвещение, 1978.