Производные функций

Производные функций

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский Томский политехнический Университет»

Институт дистанционного образования

Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой области)

Индивидуальное домашнее задание № 1

по дисциплине:

Математический анализ 2

Вариант 14

Томск ¾ 2013

. Найдите частные производные первого порядка

.1 ;              1.3. ;

.2 ;                                     1.4. ;

Решение

.1 ;

При нахождении частной производной  переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной  переменную x рассматриваем как константу

.

1.2

При нахождении частной производной  переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной  переменную x рассматриваем как константу

.

.3

При нахождении частной производной  переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной  переменную x рассматриваем как константу

.

.4

При нахождении частной производной  переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной  переменную x рассматриваем как константу

.

2. Найдите и постройте область определения функции

.

Решение

Областью определения функции  является множество всех точек плоскости, для которых определены выражения  и . Выражение определенно тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. при ≥0. То же самое можно сказать и о выражении , т.е. ≥0.

Таким образом, область определения данной функции задается системой неравенств

Первому неравенству  удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных выше и на прямой . Второму неравенству  удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных выше и на прямой .

Область определения функции  получается в результате пересечения указанных множеств.

Найдем хотя бы по две точке:

Указанной совокупности удовлетворяет множество точек плоскости, расположенных в первой и второй координатных четвертях.

3. Найдите производную  от функции, заданной неявно

.

Решение

Равенство F(x,y)=0 определяет функцию одной переменной y=y(x), заданную неявно. Для нахождения производной  воспользуемся формулой

, где .

Найдем сначала  и

;

;

Подставим  и  в формулу . Получим

.

4. Найдите полный дифференциал dz функции

.

Решение

Полный дифференциал функции двух переменных  находится по формуле

.

Найдем сначала частные производные первого порядка  и  данной функции ;

;

;

Тогда .

5. Докажите, что функция  удовлетворяет уравнению

.

Решение

Найдем сначала частные производные первого порядка  и  данной функции ;

.

.

Теперь подставим частные производные. Получаем

.

.

.

Умножаем правую и левую часть на y и делим на .

Получаем

,

=1.

Получили тождество, следовательно, функция  удовлетворяет уравнению

6. Исследуйте функцию  на экстремум.

Решение

Сначала найдем стационарные точки заданной функции

.

Для этого:

Находим частные производные первого порядка

.

.

Приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений

 ⇒

Решим систему уравнений

 ⇒  ⇒

 ⇒  ⇒

Таким образом, у нас две точки. Точка М1(0;0) и точка М2(2/3;2/3), они являются стационарными для исследуемой функции. Проверим достаточные условия экстремума в точке М1(0;0). Для этого найдем частные производные второго порядка заданной функции и вычислим их значения в стационарной точке

.

.

.

,

,

.

Составим ∆=.

Так как ∆=0, это значит неопределенность. Для исследования привлекают высшие производные. Мы этого делать не будем, по крайней мере в этом семестре.

Рассмотрим точно также точку М2(2/3;2/3),

,

,

.

Составим ∆=

Так как ∆>0 и <0, то точка М2(2/3;2/3) является для исследуемой функции точкой максимума.

Чтобы найти значения максимума, координаты точки максимума x=2/3, y=2/3 подставим в функцию

Ответ: .

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

производная функция дифференциал экстремум

  в замкнутой области, ограниченной линиями

.

Решение

Сначала находим частные производные первого порядка заданной функции

;

.

Так как частные производные не равны нулю, то функция не имеет стационарных точек.

Исследуем функцию на границе области. Уравнения

 определяют на плоскости треугольник OAB.

На отрезке OA , где у=2, имеем ,

. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке . Так как z'=1>0, то функция всюду возрастает на отрезке . Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т.е. в точках А и О, соответственно. Находим

z(А)=z(-1,2)=-8,(O)=z(2,2)=-5.

На отрезке ОВ где х=2, имеем , ,

,. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке . Так как z'=-2<0, то функция всюду убывает на отрезке . Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т.е. в точках В и О, соответственно. Находим

z(В)=z(2,-1)=,(O)=z(2,2)=-5

На отрезке АВ где , т.е. , имеем

, ,

, . Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке . Так как z'=3>0, то функция всюду возрастает на отрезке . Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т.е. в точках А и В, соответственно. Находим

z(В)=z(2,-1)=1(А)=z(-1,2)=-8

Выбирая из всех полученных значений исходной функции наибольшее и наименьшее значения, имеем

 и .

Ответ:  и .

8. Найдите частные производные второго порядка от функций

8.1 ;     8.2 .

Решение

8.1

Найдем сначала частные производные первого порядка

=

.

.

Тогда

.

.

.

.

.2

Найдем сначала частные производные первого порядка

.

.

Тогда

.

.

.

.

. Даны комплексные числа  и . Найдите

 . Ответы представьте в алгебраической форме

Решение

.

.

10. Постройте множество точек D комплексной плоскости, удовлетворяющих условию ≤2

Решение

Преобразуем выражение под знаком модуля:

.

Найдем модуль этого выражения

.

Получилось вот такое неравенство

Таким образом, область D представляет собой круговое кольцо, ограниченное окружностью , с центром в точке (-1;1) радиусом r=2.

Список использованной литературы

Высшая математика. Ч. Ш: учебное пособие / А. В. Козловских; Томский политехнический университет 2-е изд., перераб. доп. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. - 91 с.