Частные производные. Экстремумы функций

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    20,59 Кб
  • Опубликовано:
    2014-09-11
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Частные производные. Экстремумы функций

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: искусственный интеллект









КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ













Минск 2013

Задача 1.

Дана функция . Показать что

Решение:

Найдем частные производные  и .


Получаем:


Задача 2.

Дана функция  и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется:

) вычислить значение z1функции в точке В;

) вычислить приближенное значение  функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

) составить уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке


Решение:

1)     

)       


Найдем частные производные  и .


)        уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке

Уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке имеет вид:


Найдем частные производные ,  и .


Искомое уравнение касательной плоскости имеет вид


Так как в условии задачи координаты точки С не заданы, следовательно уравнение касательной плоскости может быть найдено только в общем виде.

Ответ:

1)     

)       


Задача 3.

Исследовать на экстремум функции двух переменных.


Решение:

В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:


Получили одну стационарную точку (0;0)

найдем все вторые частные производные от функции и составим дискриминант :


Так как дискриминант больше нуля и А>0, то функция z имеет минимум в точке (0;0)

Ответ: функция z имеет минимум в точке (0;0).

Задача 4.

Дана функция , точка  и вектор а. Найти:

) grad z в точке ;

) производную в точке  в направлении вектора а.


Решение:

1)      Согласно определению



2)      Производную по направлению вектора  в точке А находим по формуле


Где ,  - направляющие косинусы:


Получаем:

Частные производные в точке А уже найдены. Окончательно получаем:

Ответ:

1)     

)       

Задача 5.

Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.

Решение:

Составляем функцию Лагранжа:


Имеем:

    



Получаем:

Находим:

производный функция лагранж


и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа


в этой точке условный минимум,

в этой точке условный максимум,

Ответ: ,

Похожие работы на - Частные производные. Экстремумы функций

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!