Применение теории случайных величин и методов статистического регулирования процессов в управлении качеством
Введение
Острая конкуренция на рынке товаров и услуг как внутри
страны, так и на мировом уровне заставила многих производителей обратиться к
статистическим методам управления и контроля качества. Статистические методы -
это важное условие повышения качества продукции в современном производстве и
необходимое средство повышения эффективности производственных процессов.
Статистические методы применяются для анализа и контроля качества
производственных процессов и произведенной продукции, а также для разработок
новых технологий производства.
В настоящее время в международном стандарте ИСО 9001 одним из
элементов Системы качества является элемент «Статистические методы».
Статистическое регулирование технологического процесса
представляет собой корректировку параметров процесса по результатам выборочного
контроля параметров продукции.
Среди простых статистических методов наибольшее
распространение получили семь методов, выделенных в начале 50-х годов японскими
специалистами под руководством К. Исикавы. К ним относятся: контрольные листки,
гистограммы и графики, диаграммы рассеивания, причинно - следственные диаграммы
Исикавы, диаграммы Парето, стратификация, контрольные карты. В своей
совокупности эти методы образуют эффективную систему методов контроля и анализа
качества. Семь простых методов могут применяться в любой последовательности, в
любом сочетании, в различных аналитических ситуациях, их можно рассматривать и
как целостную систему, как отдельные инструменты анализа.
Целью курсовой работы является систематизация, закрепление и
расширение теоретических и практических знаний по специальности путем
использования их в решении конкретных инженерных задач, а также формирование
необходимых знаний о роли статистических методов.
1. Теория вероятности и описательная статистика
.1 Теория вероятности
20 машин были доставлены на станцию
технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность в ходовой
части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова
вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный
мотор?
Решение
Событие А - машина имеет неисправность в
моторе
Событие B - машина имеет
неисправность в ходовой части
P (A*B) - ?
Так как события A и B - совместные, то
воспользуемся следующей формулой:
P (A+B) = P(A) + P(B) - P
(A*B)
P(A) = 8/20 - вероятность
того, что машина имеет неисправность в моторе
P(B) = 5/20 - вероятность
того, что машина имеет неисправность в ходовой части
P (A+B) = 10/20 - вероятность
того, что машина неисправна
P (A*B) = P(A) + P(B) - P
(A+B)
P (A*B) = 8/20 +5/20 -
10/20 = 3/20 = 0, 15
Ответ: вероятность того, что
машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор равна 0,
15.
1.2 Дискретные случайные
величины
Дисперсия случайной величины Х равна 8.
Найти дисперсию следующих величин: а) Х-2; б) Х+6; в) ЗХ-2; г) 2Х+7.
Для вычисления дисперсии воспользуемся
следующими свойствами:
1. D(C) = 0
2. D (X+Y) = D(X) +
D(Y)
. D (X-Y) = D(X) +
D(Y)
. D (k*X) =
k^2*D(X)
По свойствам дисперсии:
а) D (X-2) = D(X) + D(2) = 8
б) D (X+6) = D(X) + D(6) = 8
в) D (3X-2) = D(3X) + D(2) = 9*D(X) = 9*8 = 72
г) D (2X+7) = D(2X) + D(7) = 4*D(X) = 4*8 = 32
Ответ: а) 8; б) 8; в) 72; г)
32.
.3 Непрерывные случайные
величины
Дифференциальная функция НСВ X задана на всей числовой
оси ОХ:
f(x) = 4C/(1+x2)
Найти постоянный параметр С.
Решение
Параметр С найдем из условия:
Ответ:
Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией
(функцией распределения) F(х). Найти: а) вероятность попадания случайной величины
Х в интервал (а; в); б) дифференциальную функцию (функцию
плотности вероятностей) f(х); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины X; г) построить графики
функций F(х) и f(х).
Решение
а) Вероятность попадания случайной
величины Х в интервал (а; в) найдем по формуле:
б) Найдем дифференциальную функцию f(х).
или
в) Вычислим математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Математическое ожидание вычислим по
формуле:
Дисперсию вычислим по формуле:
Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле:
г) Построим графики функций F(х) и f(х).
1.4 Описательная статистика
По выборке из своего варианта (объем выборки n = 20) выполнить следующие
расчеты и задания:
. Построить вариационный ряд.
. Вычислить математическое ожидание, моду, медиану,
стандартное отклонение, дисперсию, размах выборки, коэффициент вариации.
. Построить таблицу частот и накопленных частот для
сгруппированной выборки (число интервалов не менее 4-х).
. Построить гистограмму частот.
. Ввести данные в пакет STATISTICA, выполнить все расчеты
п. 2 - 4, сравнить результаты и записать в отчет.
Решение
1) Построим вариационный ряд, где ni-частота
|
xi
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
10
|
11
|
12
|
|
ni
|
3
|
3
|
3
|
2
|
1
|
2
|
2
|
3
|
1
|
n=20 - объем выборки
) Вычислим математическое ожидание по формуле:
Вычислим дисперсию по формуле:
Мода:
В вариационном ряду наибольшей частотой
обладают сразу несколько вариант x=3, x=4, x=5 и x=11, следовательно, моды нет.
Медиана:
Me =
Стандартное отклонение:
Размах:
R = 12 - 3 = 9
Коэффициент вариации:
3) Построим таблицу частот и накопленных частот
Для этого разобьем вариационный ряд на интервалы. Число
интервалов вычисляем с помощью формулы:
.
А k находим по формуле Стерджесса k=1+3,322lgn
k=1+3,322lg20=5,3
h=9/5,3≈1,69, для удобства округляем
до числа h=1,8
|
№
|
Интервал
|
Частота ni
|
Относительная
частота ni /n
|
Накопленная
частота
|
|
1
|
3 -
4,8
|
6
|
6/20=0,3
|
6
|
|
2
|
4,8
- 6,6
|
5
|
5/20=0,25
|
11
|
|
3
|
6,6
- 8,4
|
3
|
3/20=0,15
|
14
|
|
4
|
8,4
- 10,2
|
2
|
2/20=0,1
|
16
|
|
5
|
10,2
- 12
|
4
|
4/20=0,2
|
20
|
4) Построим гистограмму частот.
5) Выполним расчеты в пакете STATISTICA.
Сравнив результаты, можно сделать вывод, что вычисленные вручную
данные и расчеты, выполненные в пакете STATISTICA.
2.
Проверка статистических гипотез и дисперсионный анализ
2.1 Статистические
гипотезы
По данным таблиц наблюдений для каждого
ряда распределения необходимо:
.1. вычислить статистики (оценки)
положения, рассеяния; коэффициенты асимметрии, эксцесса;
.2. проанализировать исходные данные и
результаты расчетов, сделать предварительные выводы, основываясь на практических
вопросах задания;
.3. провести проверку статистических
гипотез для всех статистик (оценок);
.4. провести сравнение результатов
расчетов;
.5. ответить на практические вопросы
задания (сделать выводы).
Анализ продуктов питания
Лаборатория проводит анализ продуктов
питания с целью определения наличия в них вредных веществ. С определенным видом
продуктов работают два лаборанта, результаты анализов сравниваются. Продукты
поступают из двух пунктов. Лаборатория должна дать заключение, где производятся
наиболее «чистые» продукты. Кроме того, руководителя лаборатории интересует
вопрос: отличаются ли по точности результаты экспериментов у первого и второго
лаборанта? Им было предложено независимо проанализировать одни и те же образцы.
Для этих образцов необходимо было определить содержание вредного вещества X, мг. В единице объема продукта
количество X не должно превышать 15. Данные измерений
представлены таблицами 1-4.
Таблица 1. Лаборант №1, пункт №1; N1=120
|
Xj
|
11,0
|
12,0
|
12,7
|
13,0
|
13,8
|
14,0
|
15,0
|
15,6
|
17,0
|
18,0
|
|
nj
|
2
|
2
|
7
|
16
|
30
|
35
|
20
|
5
|
2
|
1
|
Таблица 2. Лаборант №1, пункт №2; N2=25
|
Xj
|
12,0
|
12,8
|
13,5
|
14,0
|
14,7
|
15,6
|
16,0
|
|
nj
|
1
|
2
|
5
|
10
|
4
|
2
|
1
|
Таблица 3. Лаборант №2, пункт №1; N3=110
|
Xj
|
10,0
|
12,0
|
13,5
|
14,2
|
14,9
|
15,2
|
16,0
|
17,5
|
19,0
|
|
nj
|
2
|
10
|
17
|
30
|
25
|
17
|
5
|
3
|
1
|
Таблица 4. Лаборант №2, пункт №2; N4=20
|
Xj
|
11,5
|
12,7
|
13,6
|
14,2
|
15,0
|
15,2
|
16,5
|
|
nj
|
1
|
1
|
3
|
10
|
3
|
1
|
1
|
Сформулируйте и проверьте статистические
гипотезы, на основании которых можно выяснить:
можно или нет двум пунктам поставки
продуктов, предъявить сертификат качества?
одинакова ли квалификация обоих лаборантов
(то есть, отличаются ли у них значимо результаты анализов)?
|
Условия
|
3.3
|
|
Уровень
значимости б
|
для 1-ой
гипотезы
|
0,02
|
|
для 2-ой
гипотезы
|
0,005
|
Решение
Вычислим математическое ожидание по следующей формуле:
Найдем математическое ожидание для Лаборант №1, пункт №1:
==13.97
Найдем математическое ожидание для Лаборант №1, пункт №2:
=
Найдем математическое ожидание для Лаборант №2, пункт №1:
= = 14,34
Найдем математическое ожидание для Лаборант №2, пункт №2:
=
Найдем среднее значение:
Вычислим дисперсию по следующей формуле:
Найдем дисперсию для Лаборант №1, пункт №1:
=
Найдем дисперсию для Лаборант №1, пункт №2:
=
Найдем дисперсию для Лаборант №2, пункт №1:
=
Найдем дисперсию для Лаборант №2, пункт №2:
=
Н0:
Двум пунктам Лаборант №1, пункт №1 и Лаборант №1, пункт №2 поставки продуктов
можно предъявить сертификат качества.
Для проверки гипотезы используем критерий Фишера:
, следовательно, гипотеза принимается, т.е. двум пунктам поставки
продуктов можно предъявить сертификат качества.
Н0:
Двум пунктам Лаборант №1, пункт №1 и Лаборант №1, пункт №2 поставки продуктов
можно предъявить сертификат качества.
Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:
, следовательно, гипотеза принимается, т.е. двум пунктам поставки
продуктов можно предъявить сертификат качества.
Н0:
Двум пунктам Лаборант №2, пункт №1 и Лаборант №2, пункт №2 поставки продуктов
можно предъявить сертификат качества.
Для проверки гипотезы используем критерий Фишера:
, следовательно, гипотеза принимается, т.е. двум пунктам поставки
продуктов можно предъявить сертификат качества.
Н0:
Двум пунктам Лаборант №2, пункт №1 и Лаборант №2, пункт №2 поставки продуктов
можно предъявить сертификат качества.
Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:
, следовательно, гипотеза принимается, т.е. двум пунктам поставки
продуктов можно предъявить сертификат качества.
H0: Результаты, полученные Лаборант №1, пункт №1 и Лаборант №2, пункт
№1 не отличаются друг от друга.
Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:
, следовательно, гипотеза принимается, т.е. различия результатов
анализа продуктов питания, полученные двумя лаборантами, не отличаются
статистически значимо по величине.
H0: Результаты, полученные Лаборант №1, пункт №2 и Лаборант №2, пункт
№2 не отличаются друг от друга.
Для проверки гипотезы используем критерий Стьюдента:
, следовательно, гипотеза принимается, т.е. различия результатов
анализа продуктов питания, полученные двумя лаборантами, не отличаются
статистически значимо по величине.
Таким образом, квалификация обоих лаборантов одинакова.
2.2 Дисперсионный анализ
Для изготовления каждой партии ламп была взята проволока
разных заводов-изготовителей. Все же прочие условия производства были одинаковыми
для каждой партии. Требуется выяснить, отличаются ли партии ламп между собой по
сроку службы. Данные наблюдений представлены в таблицах.
Таблица 6 - Исходные данные
|
Партия
|
Результаты
наблюдений, Х - срок службы, тыс. час
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
1
|
1,6
|
-
|
1,51
|
1,52
|
1,68
|
1,67
|
1,53
|
|
2
|
1,62
|
1,82
|
1,46
|
1,55
|
1,66
|
1,64
|
1,6
|
|
3
|
1,68
|
-
|
1,6
|
1,61
|
1,72
|
1,7
|
1,65
|
Уровень значимости a = 0,01
Решение
N=19, a=3, n=7.
|
N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.
|
6
|
9,51
|
1,585
|
-0,02; -1,62;
-0,11; -0,1; 0,06; 0,05; - 0,09
|
-0,21
|
-0,035
|
0,0441
|
0,00735
|
|
2.
|
7
|
11,35
|
1,621428
|
0; 0,2; -0,16;
-0,07; 0,04; 0,02; -0,02
|
0,01
|
0,001428
|
0,0001
|
0,0000143
|
|
3.
|
6
|
9,96
|
1,66
|
0,06; -1,62;
-0,02; -0,01; 0,1; 0,08; 0,03
|
0,24
|
0,04
|
0,0096
|
Выдвигаем гипотезу Ho о том, что партия ламп
не отличается друг от друга по сроку службы.
.
- общая сумма квадратов разности наблюдений и их среднего
значения
SS=0,0169643+0,11403=0,1309
Вычислим число степеней свободы.
При доказательстве нулевой гипотезы используем критерий
Фишера:
(0,01; 2; 16)=6,226
Так как , то нулевая гипотеза принимается, т.е. партия ламп не
отличается друг от друга по сроку службы.
3.
Статистическое регулирование процессов
.1 Контрольные карты
вероятность статистический дисперсия
1.
Построить
контрольные карты для размахов по результатам измерений длины металлических
пластин, мм.
2.
Построить
контрольные карты средних значений по результатам измерений длины металлических
пластин, мм.
3.
На
основании анализа контрольных карт сделать выводы
|
№ выборки
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
|
|
1
|
19,5
|
20,6
|
20,1
|
20,7
|
20,8
|
|
|
2
|
21,1
|
20,1
|
19,0
|
20,4
|
20,3
|
|
|
3
|
20,1
|
19,1
|
19,0
|
21,9
|
20,7
|
|
|
4
|
20,9
|
20,2
|
19,5
|
18,6
|
19,2
|
|
|
5
|
19,6
|
19,9
|
20,1
|
19,2
|
19,4
|
|
|
6
|
18,6
|
19,2
|
19,9
|
20,9
|
21,9
|
|
|
7
|
21,9
|
19,9
|
19,1
|
20,7
|
18,6
|
|
|
8
|
20,2
|
19,9
|
21,4
|
18,8
|
21,5
|
|
|
9
|
19,7
|
19,7
|
21,5
|
18,1
|
20,4
|
|
|
10
|
20,3
|
19,1
|
20,9
|
18,9
|
19,8
|
|
|
11
|
19,6
|
19,2
|
19,3
|
20,8
|
20,5
|
|
|
12
|
19,1
|
20,7
|
20,0
|
20,6
|
19,9
|
|
|
13
|
17,3
|
20,7
|
18,9
|
20,7
|
19,3
|
|
|
14
|
19,3
|
20,2
|
20,4
|
21,4
|
19,2
|
|
|
15
|
19,3
|
19,1
|
19,6
|
18,7
|
19,7
|
|
|
16
|
19,1
|
20,6
|
20,7
|
21,6
|
18,7
|
|
|
17
|
20,4
|
19,1
|
17,7
|
21,4
|
20,2
|
|
|
18
|
21,2
|
21,6
|
20,3
|
20,7
|
20,5
|
|
|
19
|
21,6
|
20,0
|
20,9
|
20,5
|
20,7
|
|
|
20
|
20,2
|
20,2
|
21,7
|
22,2
|
20,0
|
|
|
21
|
20,7
|
19,3
|
20,8
|
20,2
|
21,5
|
|
|
22
|
21,3
|
20,1
|
21,4
|
21,2
|
19,8
|
|
|
23
|
19,6
|
19,0
|
21,3
|
20,0
|
20,5
|
|
|
24
|
20,2
|
21,4
|
20,1
|
19,0
|
18,3
|
|
|
25
|
20,8
|
19,8
|
20,8
|
18,4
|
18,1
|
|
Решение
Построим
Вычислим среднее значение для каждой выборки по следующей
формуле:
, где k - число групп
=20,18
=20,16
=19,68
=19,64
=20,1
=20,04
=20,36
=19,88
=19,8
=19,88
=20,06
=19,38
=20,1
=19,28
=20,14
=19,76
=20,86
=20,74
=20,86
=20,5
=20,76
=20,08
=19,8
=19,58
Рассчитаем среднее значение среди средних по формуле:
=20,0784
Вычислим размах по каждой выборки по формуле:
1=20,8
- 19,5=1,3
Значения 2 R25 вычисляются аналогично R1, отсюда имеем:
=2,1
=2,9
=2,3
=0,9
=3,3
=3,3
=2,7
=3,4
=2
=1,6
=1,6
=3,4
=2,2
=1
=2,9
=3,7
=1,3
=1,6
=2,2
=2,2
=1,6
=2,3
=3,1
=2,7Вычислим средний размах для всех выборок по формуле:
Рассчитаем центральные линии и границы регулирования.
A2=0,577; D4=2,114; D3=0
Для карты:
CL= центральная линия
CL=20,0784
UCL=+A2верхняя граница регулирования
UCL=20,0784+0,577*2,304=21,40781
LCL= A2нижняя граница регулирования
LCL=20,07840,577*2,304=18,74899
Для карты:
CL=центральная линия
CL=2,304
UCL=D4верхняя граница регулирования
UCL=2,114*2,304=4,870656
LCL=D3нижняя граница регулирования
LCL=0*2,304=0
Процесс протекает стабильно.
Построить контрольную карту числа дефектных изделий (таблицы
26-40). На основании данной контрольной карты сделать вывод
|
№ выборки
|
Объем выборки, n
|
Доля дефектных
изделий, p
|
|
|
1
|
130
|
0,02
|
|
|
2
|
130
|
0,02
|
|
|
3
|
130
|
0,03
|
|
|
4
|
130
|
0,05
|
|
|
5
|
130
|
0,03
|
|
|
6
|
130
|
0,04
|
|
|
7
|
130
|
0
|
|
|
8
|
130
|
0,03
|
|
|
9
|
130
|
0,02
|
|
|
10
|
130
|
0,04
|
|
|
11
|
130
|
0,02
|
|
|
12
|
130
|
0,06
|
|
|
13
|
130
|
0,01
|
|
|
14
|
130
|
0,05
|
|
|
15
|
130
|
0,01
|
|
|
16
|
130
|
0,01
|
|
|
17
|
130
|
0,02
|
|
|
18
|
130
|
0,05
|
|
|
19
|
130
|
0,04
|
|
|
20
|
130
|
0
|
|
|
21
|
130
|
0,01
|
|
|
22
|
130
|
0,01
|
|
|
23
|
130
|
0,02
|
|
|
24
|
130
|
0,05
|
|
|
25
|
130
|
0,02
|
|
Решение
Построим np - карту:
Для этого вычислим среднее значение доли дефектных изделий по
формуле:
=0,0264
CL= центральная линия
CL=n*
CL=130*0,0264=3,432
UCL= верхняя граница регулирования
UCL=3,432+3 =3,432+3 = 3,432+5,483=8,915
LCL= нижняя граница регулирования
LCL=3,4323=3,4323=3,4325,483=
=2,051<0, следовательно, LCL=0
Процесс протекает стабильно.
Заключение
При выполнении курсовой работы по теме «Применение
теории случайных величин и методов статистического регулирования процессов в
управлении качеством» нами использовались такие программы, как Statistica, и Microsoft Office Excel. Оформление печатного
варианта курсовой работы проведено с помощью текстового редактора Microsoft Office Word. Необходимые графические
элементы выполнены с использованием графического редактора Corel Draw.
Список использованных источников
1. Макарова, Н.В. Статистика в Excel: учебное пособие / Н.В.
Макарова, В.Я. Трофимец. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 386 с.
2. Гусаров, В.М. Статистика: учебник / В.М.
Гусаров. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 254 с.
3. Фролов, А.В. Методы описательной
статистики в Excel: методические рекомендации по выполнению лабораторной работы
по учебной дисциплине «Статистические методы в управлении качеством» для
студентов специальности 220501.65 «Управление качеством» / А.В. Фролов; Алт.
гос. техн. ун-т, БТИ. - Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. - 25 с.
4. Фролов, А.В. Методы проверки статистических
гипотез в Excel: методические рекомендации по выполнению лабораторной работы по
учебной дисциплине «Статистические методы в управлении качеством» для студентов
специальности 220501.65 «Управление качеством» / А.В. Фролов; Алт. гос. техн.
ун-т, БТИ. - Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. - 25 с.