Прогнозирование наработки до отказа объекта

Прогнозирование наработки до отказа объекта

Исходные данные

стьюдент квадратичный математический

Статистические данные по износу направляющей суппорта станка во времени

Значения ПКГ изделия в начале и конце эксперимента, а также прочие данные, необходимые для расчетов

1. Определить оценки распределения функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента (при =1 и при =16) по методу уменьшения неопределенности (МУН)

Метод уменьшения неопределенностей (МУН) - это новая реализация МПВ (метода прямоугольных вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале [] вместо прямоугольного вклада шириной , построенного около точки с координатой .

При этом для выражения функции распределения  используют кусочно-линейную интерполяцию

 (П.1)

где .

 (П.2)

где  - нижняя и верхняя границы интервала значения случайной величины ;

 - объем выборки;

- число одинаковых реализаций .

 оценивается аналогично .

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика  и выражением

 (П.3)

где - приращение аргумента  и соответствующее приращение функции .

По данным таблицы П.2 для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: {0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100}.

Границы поля допуска :

, , .

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции распределения (интегральный закон распределения)

.

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

3 участок ,  

;

участок , .

5 участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики  и  приведены на рис.П.1 и П.2

В начале эксперимента

Рис. 1. График функции

Рис. 2.График функции

Математическое ожидание (в начале эксперимента)

Математическое ожидание - это значение случайной величины, относительно которого группируются все заданные значения. Математическое ожидание(непрерывной случайной величины) есть интеграл вида

 (П.4)

Находим математическое ожидание

Дисперсия случайной величины (в начале эксперимента)

Дисперсия - мера рассеяния случайной величины около своего математического ожидания.

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

По данным табл. П.2 для значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд: {15,6000; 15,9000; 15,9500; 16,1700; 16,3000}.

Границы поля допуска:

, , .

Статические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , .

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , .

участок ,  

;

4 участок  .

участок , .

;

6 участок , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики  и  приведены на рис.П.3 и П.4

В конце эксперимента

Рис. 3. График функций

Рис. 4. График функций

Математическое ожидание (в конце эксперимента)

Дисперсия случайной величины

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

.

. Определение среднего квадратического отклонения (СКО) для всех значений ПКГ

Таким образом, на основании проведенных расчетов было установлено, что

Следовательно, значение  можно записать:

Таким образом получаем

. Определение значения критерия Стьюдента:

Значение критерия Стьюдента  соответствующее  - процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и  степеням свободы определим по таблице

где - доверительная вероятность прогноза, ;

;

 - объем выборки.

В соответствии с полученными значениями и =2,132

. Определяем значения доверительных границ с учетом критерия Стьюдента

 - верхняя доверительная граница ПКГ

 - нижняя доверительная граница ПКГ

 (П.5)

 (П.6)

Подставляя в выражение (П.5) и (П.6) требуемые величины определяем значение верхней и нижней доверительных границ ПКГ соответственно. Полученные результаты сводим в табл. П.4

3. Обоснование выбора математической модели прогнозирования

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию  и дискретные значения аргумента t образуют арифметическую прогрессию с разностью h, т.е.

Обозначим значения  при соответствующих значениях аргумента так:

Величины

Называют разностями первого порядка (первыми разностями).

Величины

Аналогично определяются разности произвольного порядка m:

Конечные разности в более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.

Разности третьего порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином третьей степени.

4. Определение параметров модели прогнозирования по методу наименьших квадратов

В основе метода наименьших квадратов лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы квадратов невязок было минимальным, т.е.

где  - модель прогнозирования.

Для этого необходимо выполнить условия минимума суммы S, т.е.

Составляем систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b и с.

Таким образом, путем преобразования получим:

Сократив уравнения на 2, получим:

Введем обозначения:

Уравнения принимают вид:

Данная система уравнений решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

Определение параметров модели прогнозирования для кривой .

Определитель системы находится так:

Определитель параметра a находится так:

Определитель параметра b находится так:

Определитель параметра с определяется так:

Далее

Полученная зависимость

Ее график представлен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования верхней границы (для кривой по данным ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования нижней границы (для кривой по данным ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график представлен на рис. 5.

Рис. 5. Графики моделей линии регрессии и ее доверительных границ

5. Определение наработки до отказа

Теперь, после того, как найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра , и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки до отказа  и  из уравнений

и  - нижняя и верхняя границы доверительного интервала средней наработки до отказа, следовательно средняя наработка до отказа определяется как

с доверительной вероятностью прогноза P=0,9.

Список литературы

1.      Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков.  -Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.1.

. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.2.

.Надежность технических систем и ее прогнозирование. Задания и аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ./ В.В. Рыжаков.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.