Значение ПКГ изделий в начале эксперимента (=1)[0,7500; 0,8900; 0,9500; 0,9800; 1,0100]
|
|
Значение ПКГ изделий в конце эксперимента (=16)[15,9000; 15,6000; 15,9500; 16,1700; 16,300]
|
|
Границы поля допуска
|
[0,5;18]
|
Метод оценки
|
МУН
|
Доверительная вероятность прогноза
|
0,9
|
1. Определить оценки
распределения функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента
(при =1
и при =16)
по методу уменьшения неопределенности (МУН)
Метод уменьшения
неопределенностей (МУН) - это новая реализация МПВ (метода прямоугольных
вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на
использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале
[]
вместо прямоугольного вклада шириной , построенного около
точки с координатой .
При этом для выражения
функции распределения используют
кусочно-линейную интерполяцию
(П.1)
где .
(П.2)
где -
нижняя и верхняя границы интервала значения случайной величины ;
- объем выборки;
- число одинаковых
реализаций .
оценивается аналогично .
Для нахождения функции
плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и
выражением
(П.3)
где -
приращение аргумента и
соответствующее приращение функции .
По данным таблицы П.2
для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: {0,7500; 0,8900; 0,9500;
0,9800; 1,0100}.
Границы поля допуска :
, ,
.
Статистические данные
значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:
1 участок
,
.
Определяем оценку
функции распределения (интегральный закон распределения)
.
Определяем оценку
функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон
распределения вероятности)
2 участок
,
.
3 участок
,
;
участок
, .
5 участок
,
.
;
6
участок ,
.
Проверка осуществляется
суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной ,
т.е.
Графики и
приведены
на рис.П.1 и П.2
В начале эксперимента
Рис. 1. График функции
Рис. 2.График функции
Математическое ожидание
(в начале эксперимента)
Математическое ожидание
- это значение случайной величины, относительно которого группируются все
заданные значения. Математическое ожидание(непрерывной случайной величины) есть
интеграл вида
(П.4)
Находим математическое
ожидание
Дисперсия случайной
величины (в начале эксперимента)
Дисперсия - мера
рассеяния случайной величины около своего математического ожидания.
Среднее квадратическое
значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания
.
По данным табл. П.2 для
значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд: {15,6000; 15,9000;
15,9500; 16,1700; 16,3000}.
Границы поля допуска:
, ,
.
Статические данные
значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:
1 участок
,
.
Определяем оценку
функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон
распределения вероятности)
2 участок
,
.
участок
,
;
4 участок
.
участок
,
.
;
6
участок ,
.
Проверка осуществляется
суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной ,
т.е.
Графики и
приведены
на рис.П.3 и П.4
В конце эксперимента
Рис. 3. График функций
Рис. 4. График функций
Математическое ожидание
(в конце эксперимента)
Дисперсия случайной
величины
Среднее квадратическое
значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания
.
. Определение среднего
квадратического отклонения (СКО) для всех значений ПКГ
Таким образом, на
основании проведенных расчетов было установлено, что
Следовательно, значение можно
записать:
Таким образом получаем
. Определение значения
критерия Стьюдента:
Значение критерия
Стьюдента соответствующее
-
процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и степеням
свободы определим по таблице
где -
доверительная вероятность прогноза, ;
;
- объем выборки.
В соответствии с
полученными значениями и
=2,132
. Определяем значения
доверительных границ с учетом критерия Стьюдента
- верхняя доверительная
граница ПКГ
- нижняя доверительная
граница ПКГ
(П.5)
(П.6)
Подставляя в выражение
(П.5) и (П.6) требуемые величины определяем значение верхней и нижней
доверительных границ ПКГ соответственно. Полученные результаты сводим в табл.
П.4
|
|
|
|
200
|
0,99
|
5,4852
|
-3,5052
|
400
|
2,212
|
6,6152
|
-2,3752
|
600
|
2,96
|
7,4552
|
-1,5352
|
800
|
3,99
|
8,4852
|
0,5052
|
1000
|
5,06
|
9,5552
|
0,5648
|
1200
|
5,76
|
10,2552
|
1,2648
|
1400
|
7,00
|
11,4952
|
2,5048
|
1600
|
8,03
|
12,5252
|
3,5348
|
8,89
|
13,3852
|
4,3948
|
2000
|
10,00
|
14,4952
|
5,5048
|
2200
|
10,87
|
15,3652
|
6,3748
|
2400
|
12,25
|
16,7452
|
7,7548
|
2600
|
12,99
|
17,4852
|
8,4948
|
2800
|
14,09
|
18,5852
|
9,5948
|
3000
|
15,11
|
19,6052
|
10,6148
|
3200
|
15,98
|
20,4752
|
11,4848
|
3.
Обоснование выбора математической модели прогнозирования
В ходе исследования значения ПКГ
снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома
математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных
разностей.
Имеем функцию и
дискретные значения аргумента t
образуют арифметическую прогрессию с разностью h,
т.е.
Обозначим значения при
соответствующих значениях аргумента так:
Величины
Называют разностями
первого порядка (первыми разностями).
Величины
Аналогично определяются
разности произвольного порядка m:
Конечные разности в
более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется
диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности
записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.
|
|
|
|
|
200
|
0,99
|
|
|
|
|
|
1,222
|
|
|
400
|
2,212
|
|
-0,474
|
|
|
|
0,748
|
|
0,756
|
600
|
2,96
|
|
0,282
|
|
|
|
1,03
|
|
-0,242
|
800
|
3,99
|
|
0,04
|
|
|
|
1,07
|
|
-0,41
|
1000
|
5,06
|
|
-0,37
|
|
|
|
0,7
|
|
0,91
|
1200
|
|
0,54
|
|
|
|
1,24
|
|
-0,75
|
1400
|
7,00
|
|
-0,21
|
|
|
|
1,03
|
|
0,04
|
1600
|
8,03
|
|
-0,17
|
|
|
|
0,86
|
|
0,42
|
1800
|
8,89
|
|
0,25
|
|
|
|
1,11
|
|
-0,49
|
2000
|
10,00
|
|
-0,24
|
|
|
|
0,87
|
|
0,75
|
2200
|
10,87
|
|
0,51
|
|
|
|
1,38
|
|
-1,15
|
2400
|
12,25
|
|
-0,64
|
|
|
|
0,74
|
|
1
|
2600
|
12,99
|
|
0,36
|
|
|
|
1,1
|
|
-0,44
|
2800
|
14,09
|
|
-0,08
|
|
|
|
1,02
|
|
-0,07
|
3000
|
15,11
|
|
-0,15
|
|
|
|
0,87
|
|
|
3200
|
15,98
|
|
|
|
Разности третьего порядка мало
отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть
выбран полином третьей степени.
4. Определение
параметров модели прогнозирования по методу наименьших квадратов
В основе метода наименьших квадратов
лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы
квадратов невязок было минимальным, т.е.
где -
модель прогнозирования.
Для этого необходимо
выполнить условия минимума суммы S,
т.е.
Составляем систему
уравнений для нахождения коэффициентов a,
b и с.
Таким образом, путем
преобразования получим:
Сократив уравнения на 2,
получим:
Введем обозначения:
Уравнения принимают вид:
Данная система уравнений
решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных
неоднородных уравнений.
Определение параметров
модели прогнозирования для кривой .
Определитель системы
находится так:
Определитель параметра a находится так:
Определитель параметра b находится
так:
Определитель параметра с
определяется так:
Далее
Полученная зависимость
Ее график представлен на
рис. П.5.
Определение параметров
модели прогнозирования верхней границы (для кривой по данным ).
Полученная зависимость
имеет вид:
Ее график представлен на
рис. П.5.
Определение параметров
модели прогнозирования нижней границы (для кривой по данным ).
Полученная зависимость
имеет вид:
Ее график представлен на
рис. 5.
Рис. 5. Графики моделей линии
регрессии и ее доверительных границ
5. Определение наработки
до отказа
Теперь, после того, как
найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее
статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра ,
и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней
наработки до отказа и
из
уравнений
и -
нижняя и верхняя границы доверительного интервала средней наработки до отказа,
следовательно средняя наработка до отказа определяется как
с доверительной
вероятностью прогноза P=0,9.
Список литературы
1. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В.
Рыжаков. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.1.
. Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В.
Рыжаков. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.2.
.Надежность технических систем и ее прогнозирование. Задания и
аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ./ В.В. Рыжаков.-
Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.