Параметри інтегралів

Параметри інтегралів

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли (результати у випадках «a» i «б» перевірити диференціюванням).

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Завдання 2. Обчислити площу фігури, обмежену вказаними лініями , 𝑦= 4 - 3𝑥. Виконати рисунок.

Завдання 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку:

𝑦ʹ+ 2𝑥𝑦 = 2𝑥

Завдання 4. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 5 - 4𝑥 +2

який задовольняє початкові умови:

𝑦(0) = 0, 𝑦ʹ(0) = 2.

Завдання 5. Дослідити на збіжність числові ряди

а)

б)

в)

інтеграл диференційний рівняння числовий

Завдання 6. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду й дослідити його збіжність на кінцях інтервалу.

Вирішення завдання 1

а) Знайдемо  методом підстановки. Замінюємо .

Отже,

𝑑

𝑥𝑑𝑥=2𝑡𝑑𝑡

𝑥𝑑𝑥=𝑡𝑑𝑡

=+𝑐=

б) Знайдемо  методом інтегрування частинами:

𝑢=𝑥

𝑑𝑢=𝑑𝑥

𝑑𝑣=𝑑𝑥

𝑣=-

Отже,=𝑥(- -= -𝑥+=-𝑥

в)

Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби:

= + +

= 𝐴𝑥(𝑥+1) + 𝐵(𝑥+1)+ 𝐶𝑥²

=𝐴𝑥² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥²

=(𝐴+𝐶)𝑥² + (𝐴+𝐵)𝑥 + 𝐵

Тоді,

Тоді, +  +  = - 𝑙𝑛|𝑥| -  + 𝑙𝑛|𝑥+1| +𝑐

г)  =  =  

Замінюємо , тоді

Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби:

 =  (1)

Зводимо до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники:

= 𝐴𝑡(𝑡²-1)+𝐵(𝑡²-1)+𝐶𝑡²(𝑡+1)+𝐷𝑡²(𝑡-1)

= 𝐴𝑡³ - 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡² - 𝐵 +𝐶𝑡³ + 𝐶𝑡² + 𝐷𝑡³ - 𝐷

= (𝐴+𝐶+𝐷)𝑡³ + (𝐵+𝐶)𝑡² + (-𝐴)𝑡+ (-𝐵-𝐷)

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях лівої та правої частини:

𝐷 =- -

𝐴=0

Підставляємо знайдені значення у тотожність (1):

 =  

Тоді,  =   -   𝑙𝑛|𝑡-1| +

+  𝑙𝑛|𝑡+1|+𝑐 = -  𝑙𝑛|-1| +  𝑙𝑛|+1|+𝑐.

Вирішення завдання 2

, 𝑦= 4 - 3𝑥; 𝑆 -?

Знайдемо точки перетину параболи і прямої із системи їхніх рівнянь

 ⥤ =±2 ⥤

⥤

Отже, точки перетину будуть (-2;10);(2;-2)

Зробимо малюнок. Знайдемо вершину параболи із рівняння

𝑦'=(𝑥²-3𝑥)'=2𝑥-3=0

C (1,5;-2,25)- вершина параболи.

Вітки параболи направлені вгору, тому фігура знизу обмежена параболою, а зверху - прямою, тому:

Площа такої фігури:

𝑆=

Оскільки функція парна, тому

Відповідь: Площа фігури, обмежена вказаними лініями , 𝑦= 4 - 3𝑥 складає

Вирішення завдання 3

𝑦'+2𝑥𝑦=2𝑥

Дане рівняння є лінійним, тому його розв’язок будемо шукати методом Бернуллі, тобто невідому функцію 𝑦 будемо шукати у вигляді добутку двох невідомих функцій 𝑢(𝑥)та 𝑣(𝑥):

𝑦=𝑢·𝑣 ⥤ 𝑦'= 𝑢'𝑣+𝑣'𝑢

Підставляємо в рівняння:

𝑢'𝑣+𝑣'𝑢+2𝑥𝑢𝑣=2𝑥

Виносимо за дужки 𝑢:

𝑢'𝑣+𝑢(𝑣'+2𝑥𝑣)=2𝑥

Нехай 𝑣'+2𝑥𝑣=0 (1)

Тоді 𝑢'𝑣=2𝑥(2)

Розв’яжемо рівняння (1):

𝑣'+2𝑥𝑣=0

⥤  ⥤ 2𝑥𝑣 ⥤  ⥤ 𝑙𝑛 𝑣 = -  ⥤

⥤ 𝑣 =

Тоді рівняння(2) ⥤ 𝑢'⥤ 𝑢'=2𝑥 ⥤ 𝑢==𝑥²+𝑐 ⥤

⥤ 𝑢=𝑥²+𝑐

Тоді, =𝑢·𝑣= (𝑥²+𝑐) - загальний розв'язок.

Відповідь: Загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку 𝑦ʹ+ 2𝑥𝑦 = 2𝑥 становить (𝑥²+𝑐).

Вирішення завдання 4

𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 5 - 4𝑥 +2

𝑦(0) = 0, 𝑦ʹ(0) = 2.

Дане рівняння є неоднорідним ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

Його загальний розв’язок:

Знайдемо загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

Зробимо заміну

Складемо характеристичне рівняння:

Знайдемо його корені:

Тоді, ()=.

Шукаємо частинний розв’язок  за виглядом правої частини:

Знайдемо похідні:

Підставимо їх в початкове рівняння:

𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 5 - 4𝑥 +2

Одержимо:

Тоді,

Тоді,=+𝑥².

Знайдемо його похідну:

=++2𝑥

Підставимо в  та в його похідну  початкові умови

Де ,

Тоді,⥤

Підставимо значення сталих  в  і одержимо частинний розв’язок:

Відповідь: Частинний розв’язок диференціального рівняння

𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 5 - 4𝑥 +2, який задовольняє початкові умови: 𝑦(0) = 0, 𝑦ʹ(0) = 2 складає .

Вирішення завдання 5

а)  - це числовий рід з додатніми членами. Його збіжність перевіряється за необхідною ознакою:

Якщо границя загального члена , то ряд розбіжний.

Обчислюємо =12 ≠0, тому ряд розбіжний.

б)

Збіжність перевіримо за ознакою порівняння.

Підберемо ряд, який обмежує даний ряд зверху або знизу.

Очевидно, що при 𝑛  буде

 ⥤

 ⥤

Розглянемо ряд із загальним членом  Члени цього ряду утворюють нескінченно спадну геометричну прогресію із знаменником .

Тому за ознакою Даламбера ряд  - збіжний.

Оскільки, члени досліджуваного ряду менші членів збіжного ряду, то даний ряд теж збіжний.

в) -це ряд Лейбніца.

Його збіжність перевіряється за ознакою Лейбніца.

1)      Члени ряду повинні спадати по модулю.

Дійсно,

2)      Загальний член ряду має прямувати до нуля:

.

Обидві умови виконуються, тому за ознакою Лейбніца даний ряд збігається.

Вирішення завдання 6

За умовою, загальний член цього ряду

Знайдемо наступний член

Знайдемо границю їхнього відношення і накладемо умові, що вона :

Із нерівності знайдемо межі для 𝑥:

інтервал збіжності данного ряду.

Перевіримо ряд на збіжність на кінцях цього інтервалу:

1)       𝑥, тоді .

Ряд з таким загальним членом є знакозмінним рядом Лейбніца, тому його збіжність перевіряють за ознакою Лейбніца:

1)      виконується

)        виконується

Тому ряд збіжний, і тому  належить до області збіжності данного ряду.

3)     
, тоді

Ряд  перевіряється на збіжність за інтегральною ознакою:

Оскільки, функція 𝑓(𝑥)  - неперервна і спадна на інтервалі [1;, то існує невласний інтеграл

Оскільки, невласний інтеграл розбіжний, то даний ряд теж розбіжний. Тому точка  не належить до області збіжності початкового степеневого ряду.

- область збіжності.