Параметри інтегралів
Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли (результати у випадках «a» i «б»
перевірити диференціюванням).
а) ;
б) ;
в) ;
г)
Завдання
2. Обчислити площу фігури, обмежену вказаними лініями , 𝑦= 4 - 3𝑥. Виконати рисунок.
Завдання 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння першого
порядку:
𝑦ʹ+
2𝑥𝑦 = 2𝑥
Завдання
4. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння
𝑦"-
2𝑦ʹ + 5𝑦 = 5 - 4𝑥 +2
який задовольняє
початкові умови:
𝑦(0)
= 0, 𝑦ʹ(0) = 2.
Завдання
5. Дослідити на збіжність числові ряди
а)
б)
в)
інтеграл диференційний рівняння числовий
Завдання 6. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду й дослідити його
збіжність на кінцях інтервалу.
Вирішення завдання 1
а) Знайдемо методом підстановки.
Замінюємо .
Отже,
𝑑
𝑥𝑑𝑥=2𝑡𝑑𝑡
𝑥𝑑𝑥=𝑡𝑑𝑡
=+𝑐=
б)
Знайдемо методом інтегрування
частинами:
𝑢=𝑥
𝑑𝑢=𝑑𝑥
𝑑𝑣=𝑑𝑥
𝑣=-
Отже,=𝑥(- -= -𝑥+=-𝑥
в)
Розкладемо
підінтегральну функцію на прості дроби:
= + +
= 𝐴𝑥(𝑥+1) + 𝐵(𝑥+1)+ 𝐶𝑥²
=𝐴𝑥² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥²
=(𝐴+𝐶)𝑥² + (𝐴+𝐵)𝑥 + 𝐵
𝑥²
|
0 = 𝐴+𝐶
|
⥤
𝐶 = -𝐴 = -(-1) = 1
|
𝑥¹
|
0 = 𝐴+𝐵
|
⥤
𝐴 = -𝐵 = -1
|
𝑥°
|
1 = 𝐵
|
⥤
𝐵 = 1
|
Тоді,
Тоді, + + = - 𝑙𝑛|𝑥|
- + 𝑙𝑛|𝑥+1|
+𝑐
г) = =
Замінюємо , тоді
Розкладемо
підінтегральну функцію на прості дроби:
= (1)
Зводимо до спільного
знаменника і прирівнюємо чисельники:
= 𝐴𝑡(𝑡²-1)+𝐵(𝑡²-1)+𝐶𝑡²(𝑡+1)+𝐷𝑡²(𝑡-1)
= 𝐴𝑡³
- 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡²
- 𝐵 +𝐶𝑡³ + 𝐶𝑡²
+ 𝐷𝑡³ - 𝐷
= (𝐴+𝐶+𝐷)𝑡³
+ (𝐵+𝐶)𝑡² + (-𝐴)𝑡+ (-𝐵-𝐷)
Прирівнюємо коефіцієнти
при однакових степенях лівої та правої частини:
𝑡³𝐴+𝐶+𝐷=0⥤ -𝐶 + 𝐷=0
|
|
|
𝑡²
|
𝐵+𝐶=0
|
⥤
⥤ 𝐵=𝐷
|
𝑡¹
|
-𝐴=0
|
⥤
𝐴 = 0
|
𝑡°
|
-𝐵-𝐷=0
|
⥤
-𝐵-𝐵=1 ⥤
-2𝐵=1 ⥤ 𝐵= - -
|
𝐷
=- -
𝐴=0
Підставляємо знайдені
значення у тотожність (1):
=
Тоді, = - 𝑙𝑛|𝑡-1| +
+ 𝑙𝑛|𝑡+1|+𝑐 = - 𝑙𝑛|-1| + 𝑙𝑛|+1|+𝑐.
Вирішення
завдання 2
, 𝑦= 4 - 3𝑥; 𝑆 -?
Знайдемо точки
перетину параболи і прямої із системи їхніх рівнянь
⥤ =±2 ⥤
⥤
Отже, точки перетину
будуть (-2;10);(2;-2)
Зробимо малюнок.
Знайдемо вершину параболи із рівняння
𝑦'=(𝑥²-3𝑥)'=2𝑥-3=0
C (1,5;-2,25)- вершина параболи.
Вітки параболи
направлені вгору, тому фігура знизу обмежена параболою, а зверху - прямою,
тому:
Площа такої
фігури:
𝑆=
Оскільки функція
парна, тому
Відповідь: Площа фігури, обмежена вказаними лініями , 𝑦= 4 - 3𝑥 складає
Вирішення
завдання 3
𝑦'+2𝑥𝑦=2𝑥
Дане рівняння є
лінійним, тому його розв’язок будемо шукати методом Бернуллі, тобто невідому функцію 𝑦 будемо шукати у вигляді добутку двох невідомих функцій 𝑢(𝑥)та 𝑣(𝑥):
𝑦=𝑢·𝑣 ⥤ 𝑦'= 𝑢'𝑣+𝑣'𝑢
Підставляємо в
рівняння:
𝑢'𝑣+𝑣'𝑢+2𝑥𝑢𝑣=2𝑥
Виносимо за дужки
𝑢:
𝑢'𝑣+𝑢(𝑣'+2𝑥𝑣)=2𝑥
Нехай 𝑣'+2𝑥𝑣=0 (1)
Тоді 𝑢'𝑣=2𝑥(2)
Розв’яжемо
рівняння (1):
𝑣'+2𝑥𝑣=0
⥤ ⥤ 2𝑥𝑣 ⥤ ⥤ 𝑙𝑛 𝑣 = - ⥤
⥤ 𝑣 =
Тоді рівняння(2) ⥤ 𝑢'⥤
𝑢'=2𝑥 ⥤ 𝑢==𝑥²+𝑐 ⥤
⥤ 𝑢=𝑥²+𝑐
Тоді, =𝑢·𝑣= (𝑥²+𝑐) - загальний розв'язок.
Відповідь: Загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку 𝑦ʹ+
2𝑥𝑦 = 2𝑥 становить (𝑥²+𝑐).
Вирішення
завдання 4
𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦
= 5 - 4𝑥 +2
𝑦(0)
= 0, 𝑦ʹ(0)
= 2.
Дане рівняння є
неоднорідним ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.
Його загальний розв’язок:
Знайдемо загальний
розв’язок відповідного однорідного рівняння:
Зробимо заміну
Складемо характеристичне
рівняння:
Знайдемо його корені:
Тоді, ()=.
Шукаємо частинний розв’язок за виглядом правої
частини:
Знайдемо похідні:
Підставимо їх в
початкове рівняння:
𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦
= 5 - 4𝑥 +2
Одержимо:
𝑥²
|
5𝐴=5
|
⥤
𝐴 = 1
|
𝑥¹
|
|
⥤
-4 +5𝐵 = -4 ⥤𝐵=0
|
𝑥°
|
|
⥤
⥤
𝐶=0
|
Тоді,
Тоді,=+𝑥².
Знайдемо його
похідну:
=++2𝑥
Підставимо в та в його похідну початкові умови
Де ,
Тоді,⥤
Підставимо
значення сталих в і одержимо частинний
розв’язок:
Відповідь: Частинний розв’язок диференціального рівняння
𝑦"- 2𝑦ʹ + 5𝑦
= 5 - 4𝑥 +2, який задовольняє початкові
умови: 𝑦(0) = 0, 𝑦ʹ(0) = 2 складає .
Вирішення
завдання 5
а) - це числовий рід з
додатніми членами. Його збіжність перевіряється за необхідною ознакою:
Якщо границя
загального члена , то ряд розбіжний.
Обчислюємо =12 ≠0, тому ряд
розбіжний.
б)
Збіжність
перевіримо за ознакою порівняння.
Підберемо ряд,
який обмежує даний ряд зверху або знизу.
Очевидно, що при 𝑛 буде
⥤
⥤
Розглянемо ряд із
загальним членом Члени цього ряду
утворюють нескінченно спадну геометричну прогресію із знаменником .
Тому за ознакою
Даламбера ряд - збіжний.
Оскільки, члени
досліджуваного ряду менші членів збіжного ряду, то даний ряд теж збіжний.
в) -це ряд Лейбніца.
Його збіжність
перевіряється за ознакою Лейбніца.
1) Члени ряду
повинні спадати по модулю.
Дійсно,
2) Загальний член
ряду має прямувати до нуля:
.
Обидві умови
виконуються, тому за ознакою Лейбніца даний ряд збігається.
Вирішення завдання 6
За умовою, загальний
член цього ряду
Знайдемо наступний член
Знайдемо границю їхнього
відношення і накладемо умові, що вона :
Із нерівності знайдемо
межі для 𝑥:
інтервал збіжності
данного ряду.
Перевіримо ряд на
збіжність на кінцях цього інтервалу:
1) 𝑥, тоді .
Ряд з таким загальним членом є
знакозмінним рядом Лейбніца, тому його збіжність перевіряють за ознакою
Лейбніца:
1) виконується
) виконується
Тому ряд збіжний, і тому
належить до області
збіжності данного ряду.
3)
, тоді
Ряд перевіряється на
збіжність за інтегральною ознакою:
Оскільки, функція 𝑓(𝑥)
- неперервна і спадна
на інтервалі [1;, то існує невласний
інтеграл
Оскільки, невласний
інтеграл розбіжний, то даний ряд теж розбіжний. Тому точка не належить до області
збіжності початкового степеневого ряду.
-
область збіжності.