Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем
Курсовая
работа
Тема:
«Mathcad: Решение дифференциальных уравнений и их систем»
Задание на курсовую работу
Задача 1. Получить точное решение
дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение
с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное решение
методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ
всеми способами. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность методов
Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех
методов с использованием точного решения.
Задача 2. Решить систему дифференциальных
уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное
решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0;1], численное
решение методами Эйлера и Рунге-Кутты. Представить совместное графическое
решение, рассчитать локальную относительную и абсолютную погрешность.
Содержание
Введение
Задача
1
Классический
способ
Операторный
метод
Решение
с помощью рядов
Метод
Эйлера
Метод
Рунге-Кутты
Совместное
графическое решение
Задача
2
Классический
способ
Операторный
метод
Решение
с помощью рядов
Метод
Эйлера
Метод
Рунге-Кутты
Совместное
графическое решение
Заключение
Список
использованных источников
Введение
- система компьютерной алгебры из класса систем
автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных
документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью
использования и применения для коллективной работы.
Основные возможности:содержит сотни операторов и
встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет
выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными
величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы
измерения в другие.
Среди возможностей MathCad можно выделить:
Решение дифференциальных уравнений, в том числе
и численными методами
Построение двумерных и трёхмерных графиков
функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
Использование греческого алфавита, как в
уравнениях, так и в тексте
Выполнение вычислений в символьном режиме
Выполнение операций с векторами и матрицами
Символьное решение систем уравнений
Аппроксимация кривых
Выполнение подпрограмм
Поиск корней многочленов и функций
Проведение статистических расчётов и работа с
распределением вероятностей
Поиск собственных чисел и векторов
Вычисления с единицами измерения
Интеграция с САПР системами, использование
результатов вычислений в качестве управляющих параметров
[1]
Задача 1.
Классический метод
Решим характеристическое уравнение:
Общее решение ЛОДУ:
Найдем частное решение:
Общее решение данного ДУ:
Подставим начальные условия и решим
задачу Коши:
Частное решение ДУ:
График точного решения вручную:
Операторный метод
Найдем изображения для каждого члена
ДУ:
дифференциальное
уравнение погрешность
Найдем Х:
График точного решения, полученного
операторным методом:
Сравнение решений, полученных
классическим и операторным методом
Решение с помощью рядов
Разложим в ряд Маклорена:
Сравним решения, полученные
операторным методом и с помощью рядов
Вычислим погрешности
Метод Эйлера
Для сравнения решений построим
график
Вычислим погрешности:
Метод Рунге-Кутты
Сравним решение, полученное методом
Рунге-Кутты 4 порядка, с точным решением:
Вычислим погрешности
Совместное графическое решение ДУ
всеми способами
- погрешность решения с помощью
рядов
- погрешность решения с помощью
метода Рунге-Кутты 4 порядка
погрешность решения с помощью метода
Эйлера
Задача 2
Классический способ
Найдем у
Операторный метод
Найдем изображения
Найдем Х и Y
Найдем x(t) и y(t):
Сравним с решением, полученным
классическим способом
Решение с помощью рядов
Перейдем от системы ДУ 1 порядка к
двум ДУ 2 порядка:
Разложим в ряд Маклорена:
Для сравнения, построим графики
решения операторным методом и с помощью рядов
Вычислим погрешности
Метод Эйлера
Построим графики решений операторным
методом и методом Эйлера
Вычислим погрешности
Метод Рунге-Кутты
Построим графики решений операторным
методом и методом Рунге-Кутты
Вычислим погрешности
Совместное графическое решение
- погрешности решения с помощью
метода Эйлера
- погрешности решения с помощью
метода Рунге-Кутты 4 порядка
- погрешности решения с помощью
рядов
Заключение
Многие физические законы, которым
подчиняются те или иные явления, могут быть записаны в виде дифференциальных
уравнений. Эти уравнения описывают изменение соответствующих физических
величин с течением времени и могут служить в качестве математической модели
соответствующего процесса.
Дифференциальные уравнения играют
важную роль в прикладной математике, физике и в других науках, таких как
биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде,
где есть необходимость количественного (числового) описания явлений окружающего
мира.
Теория численного решения
дифференциальных уравнений хорошо разработана и на ее основе создано множество
прикладных программ, позволяющих пользователю получить решение и вывести его в
графическом виде. Среди этих программ следует в первую очередь отметить такие
математические пакеты, как MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE и MATHCAD. [3]
В представленной работе были
использованы различные методы решения дифференциальных уравнений и их систем:
Классический метод
Операторный метод
Решение ДУ с помощью рядов
Метод Эйлера
Метод Рунге-Кутты 4 порядка
Продемонстрированы возможности
пакета MathCad, показаны расхождения решений разными методами.
В ходе проведения работы было выявлено,
что наиболее точные решения получаются при использовании метода Рунге-Кутты 4
порядка и метода Эйлера. Наивысшей точностью обладает метод Рунге-Кутты 4
порядка точности.
Список использованных источников
Казанцева
Н. В. Численное решение задач высшей математики с использованием программных
пакетов MathCad и MATLAB : метод. указания - Екатеринбург, УрГУПС, 2009 - 56 с.
Шампайн
Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с
использованием MATLAB: Учебное пособие / Пер. с англ. И. А. Макарова. - СПб.:
Издательство «Лань», 2011. - 304с: ил. - (Учебники для вузов. Специальная
литература).