Расчет и анализ характеристик электрического поля

Пояснительная записка к курсовой работе

Расчет и анализ характеристик электрического поля

Задание

1.      Тема: Расчет и анализ характеристик электрического поля

2.      Исходные данные к работе: k=1, z=4м, 2L=0,5м; 1м; 2м; 5м; 10м

.        Содержание пояснительной записки: аннотация, введение, теоретическая часть, расчетные формулы, таблицы вычислений, анализ и выводы, список использованной литературы

.        Перечень иллюстрационного и графического материала: 5 таблиц, 20 рисунков.

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсового проекта на тему "Расчет и анализ характеристик электромагнитных полей". В тексте работы приводится теоретические сведения, рассматривается методика решения поставленной задачи проекта.

Курсовой проект представляет собой изучение характеристик поля по заданным распределением его источников, а также изучение распределения источников поля по заданным характеристикам поля. [1]. Расчет и анализ характеристик электрического поля таких как:

сила, с которой электрическое поле действует в данной точке на положительный единичный заряд (напряженностью  поля в данной точке).

потенциал U электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов q.

При выполнении курсовой работы было использовано современное программное обеспечение. Отчет оформлен в текстовом процессоре Microsoft Word-XP, обработка информации и ее графическое отображение производилось в программе Microsoft Excel.

Страниц 27, таблиц 6, рисунков 19.

The Summary

explanatory slip represents the report about the performance of the course work on a theme "Calculation and analysis of electromagnetic field’s characteristics". In these work theoretical data are resulted and the decision methodic of a task in view is considered. And also construction of schedules based on cultivated data is carried out.course project is a study of the characteristics of the field for a given distribution of its sources, and the study of the distribution of field sources for the specified characteristics of the field. [1]. The calculation and analysis of the electric field as:

The force with which the electric field acting at a given point on the positive unit charge. This characteristic is called the field strength at a given point.

The potential U of the electric field created by a system of point charges q.modern software was used at work with the course project. The report is made out in a word -processor Microsoft Word XP, processing of the information and its graphic display were made in Microsoft Excel.

Pages 27, tables 6, pictures 19.

Оглавление

Введение

1. Теоретические сведения

. Задание

2.1 Исходные данные

.2 Вывод расчётных формул

3. Решение задачи

3.1 Расчёт для 2L=0,5 м, Z=4 м, k=1

.2 Расчёт для 2L=1 м, Z= 4 м, k=1

.3 Расчёт для 2L=2 м, Z=4 м, k=1

.4 Расчёт для 2L=5 м, Z= 4 м, k=1

.5 Расчёт для 2L=10 м, Z= 4 м, k=1

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Геофизические методы решения геологических и других задач основаны на исследовании физических полей (гравитационного, магнитного, электромагнитного и др.), которые отражают свойства и строение изучаемых объектов. Поэтому "Теория поля" является теоретическим фундаментом основных геофизических методов.

Цель проведения курсовой работы по дисциплине "Теория поля" - закрепление полученных на лекциях знаний об основных понятиях теории поля, видах физических полей, их характеристиках, способах математического исследования и путях использования в разведочной геофизике.

Тема курсовой работы "Расчет и анализ характеристик электрического поля", в которой исследуется электрическое поле. Источником поля являются два положительных точечных заряда, равные по величине. Рассчитывались такие характеристики поля как:

сила, с которой электрическое поле действует в данной точке на положительный единичный заряд. Эту характеристику называют напряженностью  поля в данной точке.

потенциал U электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов q.

1. Теоретические сведения

В общем случае "поле" - это математическое понятие, эквивалентное понятию "функция точки пространства". Полагают, что поле задано, если в каждой точке пространства задана некоторая величина (функция).

Так как математические величины могут быть скалярами, векторами и тензорами, то и соответствующие поля называются скалярными, векторными и тензорными.

Скалярное поле задано в каждой точке пространства только одним числом (модулем величины и знаком), векторное поле - тремя числами (составляющими вектора), тензорное поле - более, чем тремя числами.

В частном случае, если исследуемая величина имеет физический смысл, то соответствующее поле является также и физическим.

Например, физическое поле температур является скалярным полем, электростатическое поле - векторным, поле упругих напряжений - тензорным.

Любой вид физического поля создается некоторыми источниками его. Например, электростатическое поле создается постоянными электрическими зарядами, распределенными в пространстве.

Предмет теории поля состоит из решения двух типов задач:

изучение характеристик поля, вызванного заданным распределением его источников ("прямые" задачи теории поля),

изучение распределения источников поля по заданным характеристикам поля ("обратные" задачи теории поля).

В практике разведочной геофизики широкое применение получили исследования различных полей - электрического, магнитного, электромагнитного, гравитационного, поля упругих напряжений (волн), полей радиоактивных излучений, теплового поля, поля концентраций и др.

Электромагнитное поле. Система дифференциальных уравнений Максвелла.

Уравнения связи.

Уравнения Максвелла в произвольной среде имеют вид [2, 3]

Уравнения связи (в изотропной среде)[2,3]:

Статическое электромагнитное поле.

Статическим электромагнитным полем называется поле неподвижных зарядов, когда выполняются условия [2, 3]:

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

В отличие от уравнений Максвелла для произвольного электромагнитного поля, для статического поля система уравнений Максвелла разделяется на две части: для электростатического (IIа) и для магнитостатического (IIб) [1, 2, 3]:

При решении систем дифференциальных уравнений Максвелла (I), (IIa), (IIб) или других на границах раздела сред необходимо выполнять граничные условия для векторов

При введении вспомогательных функций - потенциалов необходимо выполнять операцию нормирования их.

Например, из первого уравнения системы (IIa) для электростатического поля следует, что можно положить[3]:

где вспомогательная скалярная функция U называется потенциалом электростатического поля.

С учетом уравнения связи в изотропной среде имеем:

Подставляя выражение (2) во второе уравнение (IIa) в однородной среде (ε=const), имеем:

где  [2, 3]

Таким образом, потенциал электростатического поля U в однородной среде в точках, где , подчиняется дифференциальному уравнению Пуассона (3), а в точках, где  - дифференциальному уравнению Лапласа [1, 2, 3]:

.

В соответствии с законом Кулона [4,5] напряженность электрического поля  точечного заряда  в однородной среде с диэлектрической проницаемостью  определяется выражением:

где  - вектор, направленный из точечного заряда  в точку измерения  и по модулю равный расстоянию между этими точками.

Подставляя (5) в (1) и учитывая центральную симметрию поля, получим

интегрируя дифференциальное уравнение (6), найдем:

,

где С - произвольная постоянная.

Так как источник  ограничен по размерам, используем нулевую нормировку потенциала на бесконечности, т.е. полагаем:

Подставляя выражение (7) в условие (8), находим:

С=0. (9)

В соответствии с условием (9) имеем из (7) выражение для нормированного потенциала точечного заряда в однородной среде:

Если имеется система точечных зарядов  (i=1,2,3…,n), то согласно принципу суперпозиции, потенциал этой системы в какой-то точке пространства определяется выражением:

,

где  - расстояние от i-го заряда до точки измерения.

2. Задание

Даны два точечных заряда q1 и q2 на расстоянии 2L в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε = const.

Рисунок 1. Схема расположения зарядов в декартовой системе координат.

Введём декартову систему координат (рис.1) с центром, совпадающим с центром отрезка 2L. Ось X в плоскости y=0 направим от заряда q1 к заряду q2., ось Z - вертикально вверх, ось Y - нормально к плоскости XOZ.

Необходимо выполнить:

. Рассчитать распределение потенциала электрического поля U в точке М, расположенной на расстоянии Z от оси ОX.

. Рассчитать составляющие напряженности электрического поля Ex, Еγ и Ez на профиле X при заданном значении Z.

. Составить таблицы с рассчитанными данными и построить графики U(x), Ex(x), Ey(x), Ez(x).

. Выполнить анализ полученных графиков и сделать выводы.

.1 Исходные данные

.  - постоянный коэффициент, учитывающий знаки и величину зарядов;= 1. Это означает, что дано: два положительных заряда, одинаковых по знаку и величине.

. Z - расстояние от точки М до оси ОХ в метрах;

. 2L - расстояние между зарядами q1 и q2 в метрах.

.2 Вывод расчётных формул

Источником электрического поля являются точечные заряды. Через поле осуществляется взаимодействие источников друг с другом. За характеристику поля принимают силу, с которой оно действует в данной точке на положительный единичный заряд. Эту характеристику называют напряженностью (Е) поля в данной точке и определяют по формуле:

,

где:- сила, с которой поле действует на заряд,- заряд.

В соответствии с законом Кулона [4,5] о взаимодействии точечных зарядов в однородной среде:

Находим потенциал U электрического поля, создаваемого точечным зарядом q по формуле (10):

,

где:- расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал,

 - диэлектрическая проницаемость.

Если среда однородная, то для системы точечных зарядов справедлив принцип суперпозиции: потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов каждого заряда и определяется выражением (11)

.

Потенциал для случая двух зарядов i=1,2:

.

И для того, чтобы учитывать только отношение зарядов, путем арифметических операций получим следующее выражение:

,

где  - вспомогательный относительный потенциал.

Заменив отношение  постоянным коэффициентом k, получаем:

.

Расстояние между зарядами по теореме Пифагора можно представить в виде:

,

,

где  и  расстояние от зарядов  и  соответственно до точки М (см. рис.1). Таким образом, итоговая формула для вспомогательного относительного потенциала  электрического поля представлена в виде:

 (1)

Для расчета напряженности электрического поля Е необходимо учесть выражение:

.

Но, так как помимо выполнения конечных расчетов, необходимо построить графики, то напряженность, так же как и потенциал, будем считать относительной. Таким образом, относительная напряженность электрического поля : [1, 2, 3]

.

Вертикальная составляющая  напряженности электрического поля равна:

(2)

Так как электрическое поле симметрично относительно плоскости, при у=0, и, следовательно, составляющая напряженности электрического поля по оси Y равна:

Горизонтальная составляющая  напряженности электрического поля равна:

(3)

Расчеты горизонтальной  и вертикальной  составляющих напряженности электрического поля, а также потенциала  выполняются с помощью программы MS Excel и заносятся в таблицу. После получения расчетных данных с помощью Excel можно приступить к построению графиков распределения ,  и .

Так как мы взяли при расчетах относительные потенциалы и составляющие напряженности, то их значения на графиках и в таблицах указываются в условных единицах (у.е.). Расстояние Х задается приблизительно от -20 м до + 20 м для построения графиков в удобном масштабе.

3. Решение задачи

.1 Расчёт для 2L=0,5 м, Z=4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 1

Рисунок 2. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 3. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 4. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

электрический поле заряд потенциал

3.2 Расчёт для 2L=1 м, Z= 4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 2

Рисунок 5. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 6. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 7. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

3.3 Расчёт для 2L=2 м, Z=4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 3

Рисунок 8. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 9. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 10. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

3.4 Расчёт для 2L=5 м, Z= 4 м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 4

Рисунок 11. График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 12. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 13. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

3.5 Расчёт для 2L=10 м, Z= 4м, k=1

Пример расчетов:

Таблица с рассчитанными данными:

Таблица 6

Рисунок 14 График зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

Рисунок 15. График зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

Рисунок 16. График зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

Заключение

В результате курсовой работы были выполнены расчеты распределения потенциала и составляющих напряженности электрического поля и построение графиков  для каждого расстояния 2L (0,5; 1; 2; 5; 10), Z= 4м, k=1.

Проинтерпретировав построенные графики можно сделать следующие заключения:

Рисунок 17 Совмещенные графики зависимости относительного потенциала U’ электрического поля

На графике потенциалов (U) видно, что при увеличении расстояния между зарядами, на графике появляются 2 максимума и минимум. Таким образом, можно четко выделить положение зарядов.

Рисунок 18. Совмещенные графики зависимости вертикальной составляющей напряженности поля E’z от координаты х точки измерения

Графики вертикальной составляющей напряженности похожи на графики U, но значения  быстрее стремятся к нулю, чем значения U. При увеличении расстояния между зарядами, на графике появляются 2 максимума и минимум. Таким образом, можно четко выделить положение зарядов.

Рисунок 19. Совмещенные графики зависимости горизонтальной составляющей напряженности поля E’x от координаты х точки измерения

На графике горизонтальной составляющей напряженности , видно влияние зарядов друг на друга: заряды одноименные, следовательно отталкиваются, чем дальше расположены заряды тем меньше их влияние друг на друга, вследствие чего и появляется второй максимум и минимум. Заряды равные по значение это подтверждается тем, что минимумы и максимумы по модулю равны.

В общем, графики становятся более информативными при увеличении расстояния между зарядами.

Список используемой литературы

2.      Овчинников И.К. Теория Поля. Учебник для ВУЗов. М.: Недра, 2011, 312 с.

.        Путиков О.Ф. Лекции по теории поля (не опубликовано).

.        Савельев И.В. Курс общей физики. Учебник для ВТУЗов. В 3-х тт. Т.2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика 10-е изд. СПб.: Издательство "Лань", 2010, 496 с

.        Трофимова Т.И Курс физики. Учебное пособие для ВУЗов. 16-е изд. М.: Издательский центр "Академия", 2008, 560 с.