Основы теории надежности

Основы теории надежности

Введение

Проблема надежности, возникшая много лет назад, заставляет и сегодня говорить о ней инженеров и экономистов, как о проблеме номер один.

Для многих современных технических систем решение проблемы надежности, в самом прямом смысле означает, быть или не быть данной системе. К ним можно отнести различные системы информатики: региональные и отраслевые автоматизированные системы управления, в состав которых входит большое число ЭВМ, системы управления воздушным движением для гражданской авиации, сеть центров управления и слежения за космическими объектами, сети и системы передачи данных. Технические системы постоянно усложняются. Причем, усложнение систем идет по двум направлениям. С одной стороны, в состав технических систем входит все большее число комплектующих элементов. С другой стороны усложняется их структура, определяющая соединение отдельных элементов и их взаимодействие в процессе функционирования.

При прочих равных условиях, система, состоящая из большого числа комплектующих элементов и имеющая более сложную структуру и сложный алгоритм функционирования, является менее надежной по сравнению с более простой системой. Это требует разработки специальных методов обеспечения, повышения и поддержания надежности таких систем.

Инженеры, физики и математики приложили не мало совместных усилий для разработки современной теории надежности. Были предприняты гигантские усилия для создания более надежных компонентов, более простых и надежных схем и конструкций, улучшения условий эксплуатации. Были разработаны соответствующие методы, позволяющие осуществлять анализ и синтез разрабатываемых технических средств на этапе проектирования, проводить обоснование оценки показателей надежности этих средств во время испытаний и эксплуатации.

Однако проблема надежности продолжает оставаться одной из основных в современной технике. Это объясняется тем, что постоянно усложняются решаемые задачи и одновременно повышаются требования к надежности их выполнения.

1 Количественные показатели надежности невосстанавливаемых систем

На испытание поставлено N0 = 100 однотипных изделий. За время t = 10000 часов отказало n(t) = 25 изделий, а за последующие Δt = 1000 часов отказало n(Δt) = 5 изделий (см. рис. 1). Определить статистические значения показателей надежности: , ; ; ; ; .

Рисунок 1.1

Решение

1. Определим вероятности безотказной работы  и отказа  за время испытаний час:

 (1.1)

где  - число однотипных объектов, поставленных на испытание;

 - число отказавших объектов за время испытаний  (за интервал времени (0, t));

 - число не отказавших объектов за время t, .

 (1.2)

. Определяем и  за время испытаний :

,

,

. Определяем плотность вероятности отказов за время час:

1/ч, (1.3)

1/ч,

где  - число отказавших объектов на интервале времени : от t до .

. Определяем интенсивность отказов за время  по формуле:

 1/ч.

Расчет надежности нерезервированных и резервированных невосстанавливаемых систем

Структурная схема надежности устройства приведена на рисунке 2.1. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения: λ1=9∙10-4 1/час; λ2=7∙10-4 1/час;  1/час. Показатели надежности устройства распределены по экспоненциальному закону распределения. Необходимо найти среднюю наработку до отказа устройства  и вероятность его безотказной работы  в течение 100 часов.

Рисунок 2

Решение

. Готовой формулы для средней наработки до отказа Tc в рассматриваемом случае нет. Поэтому необходимо воспользоваться соотношением:

. (2.1)

. Найдем выражение для вероятности безотказной работы  устройства. Очевидно, что:

 (2.2)

, (2.3)

, (2.4)

. (2.5)

Тогда, подставляя значения ,  и в выражение для , получим:

безотказный работа надежность

.

, , , то

Вычислим вероятность безотказной работы  системы за время t=100 часов:

. Определяем среднюю наработку до отказа :

Подставляя в выражение для  значение интенсивности отказов из условия задачи, получаем:

 час.

Расчет надежности невосстанавливаемых систем при проектировании

Необходимо выполнить ориентировочный расчет надежности системы, состоящей из N элементов различного типа. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в течение времени t и среднюю наработку до отказа системы Тср.

Решение

. Для выполнения ориентировочного расчета надежности составим и заполним таблицу. 3.1, вычислив величину интенсивности отказов изделия. Значения интенсивностей отказов λi элементов.

Система состоит из 69 маломощных низкочастотных транзисторов, 57 плоскостных кремниевых выпрямителей, 53 слюдяных и 13 танталовых конденсаторов, 240 резисторов типа МЛТ мощностью 0,5 Вт и 86 резисторов типа МЛТ мощностью 1 Вт, 9 силовых трансформатора, 47 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы в течение t=26 час и среднюю наработку до отказа системы Тс.

Таблица 3.1

. Вычисляем суммарную интенсивность отказов λс системы:

, (3.1)

где К - число типов элементов;

 - число элементов i - го типа;

 - среднее значение интенсивности отказов элементов i - го типа в номинальном режиме работы и нормальных условиях эксплуатации.

. Вычисляем вероятности безотказной работы системы Pc за время t=26 часов:

, (3.2)

,

. Вычисляем среднюю наработку до отказа системы Tc:

 час, (3.3)

 час.

Расчет надежности восстанавливаемых систем

Для графа состояний восстанавливаемой резервированной системы, изображенного на рис. 3.1 необходимо: определить способ структурного резервирования, кратность резервирования, начертить ССН системы, вычислить коэффициент готовности системы КГ, сделать вывод о необходимости увеличения кратности резервирования системы. Исходные данные для расчета: КГзад=0,999; λ=9∙10-4 1/ч; μ=7∙10-4 1/ч.

Решение

. Чертим структурную схему надежности восстанавливаемой резервированной системы (рисунок. 4.1)

Рисунок 4.1

. Чертим граф состояний системы (рисунок. 4.2)

Рисунок 4.2

3. С использованием полученного графа состояний системы записываем систему линейных алгебраических уравнений по указанным в разделе 1 правилам (правилам составления дифференциальных уравнений Колмогорова А.Н.):

 (4.1)

Полученная система уравнений является линейно зависимой.

. Приводим данную систему уравнений к системе линейно независимых уравнений путем исключения второго уравнения и добавления нормировочного уравнения:

 (4.2)

. Используя полученную систему уравнений, составляем и вычисляем определители D и Di (i=0, 1, 2):

P₀      P₁      P₂

, (4.3)

, (4.4)

,

 (4.5)

, (4.6)

,

. Вычисляем вероятности нахождения восстанавливаемой резервированной системы в соответствующих состояниях G0, G1, G2:

; (4.7)

где i = 0, 1, 2;

D - определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений (3.35) при переменных Pi(t);

Di - определитель, в котором i-й столбец в определителе D заменяется столбцом свободных членов

7. Вычисляем коэффициент готовности KГ:

КГ=P0(t)+P1(t), (4.7)

КГ =0,32+0,41=0,73.

5 Расчет надежности дискретных систем с восстанавливающими органами

Для восстанавливающего органа (ВО) типа  запишите логическую функцию (функцию алгебры логики) и постройте структурную схему на основе логических элементов «И», «ИЛИ». Определите количество отказов по «0» и «1», которое может корректировать восстанавливающий орган данного типа. Исходные данные:  и .

Решение

. В соответствии с условием:  и  (так как знак мажоритирования в общем виде записывается как: ).

 (5.1)

где  - знак мажоритирования (голосования) из  по ;

 - порог голосования, т.е. минимальное число единиц на входах ВО, при котором сигнал на выходе y = 1.

 - общее число однотипных ДУ (основных и резервных).

. Определяем число корректируемых отказов по «1» ВО типа :

n1 = ρ - 1, (5.2)

- 1 = 6.

3. Определяем число корректируемых отказов по «0» ВО типа:

nо = r - ρ,

- 7 = 2. (5.3)

4. В соответствии с выражением:

 (5.4)

запишем логическую функцию (функцию алгебры логики) ВО  в дизъюнктивной нормальной форме:

Количество логических слагаемых в данной функции определяется числом сочетаний  (в данном случае: ), а количество логических сомножителей в каждом слагаемом определяется значением  (в данном случае: ).

. В соответствии с правилами синтеза комбинационных схем на булевом базисе (логические элементы «И», «ИЛИ», «НЕ») структурная схема ВО типа  для полученной логической функции будет иметь вид (рисунок 5):

Рисунок 5

Заключение

Вывод по задаче 1

С увеличением времени (в данном примере от 10000 ч. до 11000 ч.) вероятность безотказной работы уменьшается (с 0,75 до 0,7) и следовательно увеличивается вероятность отказа  (с 0,25 до 0,3).

Вывод по задаче 2

Полученная вероятность безотказной работы  системы за время t=100 часов (0,989) и средняя наработка до отказа  (1236 ч.) являются оптимальными величинами для работы данной (смешанной) структурной схемы надежности устройства, следовательно пока нет никакой необходимости разрабатывать меры повышения надежности.

Вывод по задаче 3

Проведя ориентировочный расчет данной системы можно сказать, что полученные значения при времени t=26 ч. удовлетворяют стабильной работе (т.е. без частых отказов), поэтому данную систему можно отправить на дальнейшее производство.

Вывод по задаче 4

Вычисленное значение коэффициента готовности меньше заданного значения (). Следовательно, кратность резервирования m = 1 увеличиваем на единицу и повторяем вычисление коэффициента КГ. Также разрабатываются меры повышения надежности:

·   резервирование;

·   возможные меры по уменьшению вредных воздействий;

·   выбор новых элементов с малыми значениями интенсивностей отказов и др.

Вывод по задаче 5

Восстанавливающий орган данного типа может корректировать следующее количество отказов: по «0» - 2, а по «1» - 6.

Список использованных источников

1.     Сапожников, В.В. Теоретические основы железнодорожной автоматики, телемеханики и связи / В,В, Сапожников, Ю.А. Кравцов, Вл. В. Сапожников. - М.: Транспорт, 1995. - 320 с.

2.      Половко, А.М. Основы теории надежности. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.

.        Половко, А.М. Основы теории надежности. Практикум. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 560 с.

.        Гнеденко, Б.В. Математические методы в теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. - М.: Наука, 1965. - 524 с.

.        Козлов, Б.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. - М.: Советское радио, 1975. - 472 с.

.        Дружинин, Г.В. Теория надежности радиоэлектронных систем в примерах и задачах / Г.В. Дружинин, С.В. Степанов, В.Л. Шахматова, Г.А. Ярыгин. - М.: Энергия, 1976. - 448 с.

.        Половко, А.М. Сборник задач по теории надежности / А.М. Половко, И.М. Маликов, А.Н. Жигарев, В.И. Зарудный; Под ред. А.М. Половко и И.М. Маликова. - М.: Советское радио, 1972. - 408 с.