Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений

Министерство сельского хозяйства РФ

ФГОУ ВПО "Воронежский аграрный университет

имени императора Петра I"

Факультет бухгалтерского учёта и финансов

Специальность бухгалтерский учёт, анализ и аудит

Контрольная работа

Методы оптимальных решений

Выполнила: Жихарева Н.А.

Курс 2

Шифр 12017

Проверил: доцент Слиденко А.М.

Воронеж 2014

1. Задание 7

На предприятии имеется сырье видов I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов А и В. Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют  ед. соответственно, изделие типа А дает прибыль  ден. ед., а изделие типа В -  ден. ед. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.

Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.

прибыль продукция потенциал план

Решение:

Составим математическую модель задачи. Обозначим:  - количество выпускаемых изделий типа А,  - количество выпускаемых изделий типа В. Тогда с учетом расходов сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на  и , учитывающие запасы сырья каждого вида:

 (1)

По смыслу задачи

 (2)

Прибыль F предприятия при плане ,  равна

 (3)

Итак, математическая модель задачи получена: необходимо найти значения  и , удовлетворяющие системе неравенств (1, 2), для которых функция (3) достигает наибольшего значения.

Решим полученную задачу с помощью программы Mathcad 13. Левые части ограничений системы (1) введем в матрицу А, а правые - в матрицу В. Коэффициенты целевой функции представим в виде вектора С. Искомые коэффициенты  и  будут находиться в векторе Х. Запишем систему ограничений в матричной форме и найдем значения Х, при которых целевая функция будет максимальна.

Листинг программы приведен на рис. 1.

Рис. 1. Листинг программы для решения задачи

Ответ: для получения максимальной прибыли в количестве 48 ден. ед. предприятие должно выпустить 16 изделий типа В и не выпускать изделий типа А.

. Задание 17

Методом потенциалов решить следующую транспортную задачу.

На трех базах  имеется однородный груз в количествах  условных единиц соответственно. Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления  в количествах  условных единиц соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от поставщиков потребителям указаны в матрице стоимостей С.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Пусть  - объем перевозки от i-го поставщика к j-у потребителю.

Мощности всех поставщиков должны быть реализованы, следовательно, получаем систему уравнений:

 (4)

Условия удовлетворения спросов всех потребителей имеют вид:

 (5)

Очевидно, . Суммарные затраты на перевозку грузов:

 (6)

Решим задачу с использованием Mathcad. Введем искомую матрицу Х и матрицу затрат С. Запишем суммарные затраты F. Запишем систему ограничений, а затем найдем минимум суммарных затрат при заданной системе ограничений с помощью функции Minimize.

Рис. 2. Листинг программы для решения задачи

Ответ: из 1-й базы необходимо направить во 2-й пункт потребления 40 ед. груза, в 3-ий пункт - 120 ед. и в 4-ый пункт - 110 ед. груза. Из 2-й базы необходимо 120 ед. груза направить в 1-ый магазин Из 3-й базы необходимо груз направить в 1-ый магазин в количестве 135 ед. и во второй магазин в количестве 75 ед. Минимальные затраты составят 800 ден. ед.

Предприятие перерабатывает сырье S в продукцию двух видов: А и В. На изготовление единицы продукции А расходуется а единиц сырья, а на единицу В - b единиц сырья S. Запасы сырья составляют R единиц. Цена на продукцию зависит от предложения и определяется формулами:

, ,

где  - количество единиц продукции А,  - количество единиц продукции В.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором сырье используется полностью, а прибыль от реализации продукции будет наибольшей. Значения всех параметров приведены в таблице.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи. Пусть  - количество единиц продукции А, запланированных к производству,  - количество единиц продукции В, запланированных к производству. Тогда расход сырья определяется равенством:

.

Суммарная прибыль равна:

Получили задачу на условный экстремум. Решаем ее с помощью программы Mathcad 13. Вводим максимизируемую функцию и заданное ограничение.

Рис. 3. Листинг программы для решения задачи

Ответ: прибыль от реализации продукции будет максимальной при выпуске 26 ед. продукции А. Максимальная прибыль составит 96.2 ден. ед.

. Задача 37

Двум предприятиям выделено  единиц средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для получения максимального дохода, если в первый год средства распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за первый год часть средств (остаток) и т.д., а также известно, что

доход от  единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен ;

доход от  единиц средств, вложенных на год во второе предприятие, равен ;

остаток средств к концу года на первом предприятии составляет ;

остаток средств к концу года на втором предприятии составляет .

Решение:

Решим эту задачу методом динамического программирования.

Пусть в начале года (произвольного) мы должны распределить  единиц средств. Обозначим через  средства, выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит  ед. средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком распределении через . Очевидно,

.

Остаток средств через год обозначим через . Очевидно,

.

Обозначим характеристику состояния (условный максимум целевой функции на k-м шаге)  в начале года  через , а условное оптимальное управление для этого состояния через . Тогда для  (условный максимум целевой функции на последнем шаге)

.

Для  справедливо рекуррентное соотношение:

.

Вводим эти данные в Mathcad для решения задачи динамического программирования.

Рис. 4. Листинг программы для решения задачи

Получили наибольший суммарный доход, который может быть получен при заданных условиях за 4 года. Он равен 7750 ден. ед. При этом средства следует распределять следующим образом: первые три года средства отдавать первому предприятию (), а последний год средства отдать второму предприятию ().

. Задача 47

Найти оптимальные стратегии первого игрока, исходя из критериев максимина Вальда, максимакса, Гурвица, Сэвиджа и Лапласа в игре с полной неопределенностью относительно поведения второго игрока, заданной платежной матрицей Р.

Решение:

. Максиминный критерий Вальда.

Вычисляем минимальное значение по строкам, а далее из них выбираем максимальное. Максимум достигается при применении "стратегии 4".

. Критерий максимакса.

Вычислим максимальные значения по строкам, а далее из них выберем максимальное. Оптимальной является "стратегия 3".

Оптимальной стратегией первого игрока является "стратегия 4".

. Критерий Севиджа (критерий минимального риска).

Поострим матрицу рисков. Для этого сначала вычислим максимальные значения по столбцам, а далее непосредственно матрицу рисков. Далее вычисляем максимальные значения по строкам и из них выбираем строку с минимальным значением. Оптимальной является "стратегия 4".

. Критерий Лапласа. Вычислим средние арифметические по строкам:

Оптимальной для первого игрока является "стратегия 4".

Таким образом, практически по всем критериям "стратегия 4" является наиболее оптимальной.

Листинг программы Mathcad для проведения вычислений представлен ниже. Для определения индекса минимального и максимального элементов написаны две функции GetMaxIndRow и GetMinIndRow.

Рис. 5. Листинг программы для решения задачи