Расчет вероятности наступления события

Расчет вероятности наступления события

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет заочного обучения

Контрольная работа №1

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнил: студент 3 курса

гр. 900101

Бобровский С.Р.

Минск 2011

Задача № 1.35

В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают сразу 6 шаров. Найти вероятность того, что все шесть шаров черные.

Решение

Событие А - все шесть вынутых шаров черные.

Общее число шаров в урне равно 10. Число n всех равновероятных исходов опыта равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть 6:

Число благоприятствующих исходов, учитывая, что шары черные:

Вероятность того, что все шары черные:

Ответ: p=0,033

Задача № 2.28

Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 1). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Рисунок 1

Решение

Введем события: A₁ - элемент 1 исправен, A₂ - элемент 2 исправен, A₃ - элемент 3 исправен, A₄ - элемент 4 исправен, A₅ - элемент 5 исправен, B- сигнал проходит от точки a к точке b, С- сигнал проходит от точки b к точке c, D- сигнал проходит от точки a к точке c (со входа на выход).

Событие B произойдёт, если будут работать или элемент 1, или элемент 2, или элемент 3:

Вероятность наступления события B:

Событие C произойдёт, если будут работать и элемент 4 и элемент 5:

Вероятность наступления события С:

Соответственно, вероятность наступления события D:

Ответ:

Задача №3.34

математический ожидание дисперсия величина

Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит отличную оценку.

Решение

Обозначим через А событие - студент получит отличную оценку

Общее количество студентов, равно 22. Обозначим через:

 вероятность вызова отличника;

 вероятность вызова хорошиста;

 вероятность вызова слабого студента.

Сделаем ряд предположений:

- вызван отличник. Получена отличная оценка:

- вызван хорошист. Получена отличная оценка:

- вызван хорошист. Получена хорошая оценка:

- вызван слабый студент. Получена хорошая оценка:

- вызван слабый студент. Получена неудовлетворительная оценка:

Событие А однозначно произойдёт при гипотезах H₁, H₂ и не произойдет в остальных случаях. Следовательно условные вероятности события A:

По формуле полной вероятности найдём вероятность события A:

Ответ:

Задача №4.37

Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,5. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет 8 попаданий.

Решение= 10 - количество произведённых бросков= 0,3 - вероятность попадания при броске

Вероятность того, что из n=10 бросков в корзину k=8 окажутся удачными, определим по формуле Бернулли:

Ответ: P(10,8)=0,04

Задача № 5.23

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица 1 - Исходные данные

Решение

)        Математическое ожидание и дисперсия величины Х:

2)      Построим ряд распределения СВ X:

Таблица 2 -Ряд распределения СВ X

Построим график функции распределения (рисунок 2):

Рисунок 2 - график функции распределения F(x)

Задача № 6.22

Случайная величина Х задана плотностью вероятности:

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Решение

)        Вычислим константу исходя из условия нормировки:

Отсюда константа :

2)      Определим математическое ожидание СВ Х:

3)      Определим дисперсию СВ Х:

4)      Определим функцию распределения величины Х:

5)      Определим вероятность попадания величины Х в заданный интервал :

Ответ:

Задача № 7.30

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Решение

)        Построим график случайной величины  для  в интервале значений  и определим диапазон значений  (Рисунок 3):  [0; 2]

2)      В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для :

обратных функций не существует

 обратных функций не существует

3)      Вычислим модули производных обратных функций:

Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале

[-1;16] , то её плотность вероятности равна:

Определим плотность вероятности величины :

Задача № 8.15

Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунок 4 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x, y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рисунок 4

Таблица 3 - Исходные данные

Решение

)        Построим область B согласно координатам из таблицы 3 и рисунка 4.

Рисунок 5

Проанализируем рисунок 5: область B на промежутке  ограничена сверху прямой , снизу , слева прямой  справа прямой

Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:

2)      Найдём константу  из условия нормировки:

с=1/16

Таким образом:

Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е.:

Следовательно, константа с рассчитана верно.

3)      Вычислим математические ожидания:

4)      Вычислим дисперсии:

Вычислим корреляционный момент:

5)      Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:

Ответ: с=1/16; M_x = 6; M_y = 1; D_x = 110/3; D_y = 1/3; K_xy = -2/3; R_xy = -0,191

Задание №9.2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции R_uv :

U= a₀+ a₁X₁+ a₂X₂

V= b₀+ b₁X₂+ b₂X₃

Исходные данные:

Решение:

m_u= a₀+ a₁ m₁+ a₂ m ₂= -8+4×1+8×0= -4

Математическое ожидание величины V:

m_v= b₀+ b₁ m₂+ b₂ m ₃= 3-4×0+4×2=11

Дисперсия величины U:

D_u = × D₁ +× D₂+2× a₁× a₂ × K₁₂= 16×1+64×4+2×4×8×0= 16+256+0=272

Дисперсия величины V:

D_v = × D₂ +× D₃+2× b₁× b₂ × K₂₃= 16×4+16×16+2×-4×4×4= 192

Математическое ожидание между величинами U и V:

_uv = -4×11+ 4(-4×0+4×2)+8(-4×4+4×4)= -44+32=-12

Корреляционный момент между величинами U и V:

_uv = -12-(-4) ×11=-12+44=32

Коэффициент корреляции между величинами U и V:

_uv =

Математическое ожидание величины x2 x2:

m _x2x2= 0*0+4=4

Математическое ожидание величины x1x2:

 _x1x2= 1*0+0=0

Математическое ожидание величины x1x3:

 _x1x3= 1*2+2=4

Математическое ожидание величины x2x3:

 _x2x3= 0*2+4=4

Литература

1)      Волковец А.И., А.Б. Гуринович А.Б. Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2003.- 82 с.

)        Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. - Мн.: Харвест, 2000.-384 с.

)        Письменный Д.Т Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики. - М.: Айрис-пресс, 2004.- 256с.

)        Волковец А.И., А.Б. Гуринович А.Б. Практикум по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей очной формы обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2003.- 68 с.

)        Аксенчик А.В., Волковец А.И., Гуревич А.В., Гуринович А.Б. Сборник задач по типовому расчету по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2007.- 76 с.

)        Волковец А.И., Гуринович А.Б. Аксенчик А.В. Методические указания по типовому расчету по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2009.- 65 с.