Прямая. Плоскость. Кривые и поверхности второго порядка

Прямая. Плоскость. Кривые и поверхности второго порядка

Задание 1:

Даны вершины треугольника АВС с координатами А (-4; -1), В (8; 8), С (6; -6).

Найти:

) длину стороны АВ;

) уравнение стороны АВ;

) уравнение высоты СD и ее длину;

) уравнение медианы АМ и координаты т. К пересечения медианы с высотой;

5) уравнение прямой проходящей ч/з т.К

Решение:

. Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ:

. Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

Найдем уравнение прямой АВ:

 - уравнение прямой АВ.

. уравнение высоты СD и ее длину;

Уравнение высоты, опущенной из точки М₀(х₀; у₀) на прямую Ах + Ву + С=0. представляется уравнением:

Уравнение высоты, опущенной из точки С(6; -6) на прямую АВ:

представляется уравнением:

 - уравнение искомой высоты СD

Расстояние d от точки М₁(х₁; у₁) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:

Найдем длину высоты СD; С(6; -6);

. Уравнение медианы АМ т.к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле: В(8; 8), С(6; -6).

 ;

Следовательно

Найдем уравнение прямой АМ:

 - уравнение медианы АМ.

Так как К - точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.

К(1,5; 0)

) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ

Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и параллельная прямой Ах+Ву+С=0, представляется уравнением А(х-х₁)+В(у-у₁)=0.

 - уравнение прямой АВ.

Поэтому:

(х-1,5) - 4(у-0) = 0; 3х - 4,5 - 4у =0

х - 4у - 4,5 =0

уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку К.

Задание 2

При каких значениях А и С прямые

а) перпендикулярны; б) параллельны; в) совпадают.

Решение:

а) перпендикулярны

При любом С и А = 9 прямые перпендикулярны

б) параллельны

При любом С и А = -4 прямые параллельны

в) совпадают

При С = -8 и А = -4 прямые совпадают

Задание 3:

Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой ВС

Решение:

Плоскость, проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и перпендикулярная прямой

Имеет нормальный вектор  представляется уравнением

Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

Найдем уравнение прямой ВС:

 - уравнение прямой ВС.

уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору ВС;

Задание 4:

Найти расстояние от т. , до плоскости, проходящей через точки:

Решение:

) Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁; z₁) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 по формуле:

Составим уравнение плоскости

Уравнение плоскости проходящей через три точки М₀(х₀; у₀; z₀), М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

уравнение плоскости проходящей через точки:

.

Найдем длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на грань АВС

Задание 5

Найти угол между плоскостями

Решение:

А₁х + В₁у + С₁z + D₁=0; А₂х + В₂у + С₂z + D₂=0

Находится по формуле:

Задание 6

При каких значениях l прямая  параллельна плоскости

Решение:

При l = 6 прямая  параллельна плоскости

Задание 7

Перейти к каноническим уравнениям прямой:

треугольник прямая плоскость канонический уравнение

Решение:

Найдем координаты любой точки М на данной прямой. Пусть х = 1, тогда можем найти у и z.

Вычислим направляющие коэффициенты:

 - каноническое уравнение прямой.

Задание 8

Найти точку пересечения прямой  и плоскости

Решение:

Запишем параметрические уравнения прямой:

Подставим их в уравнение плоскости

Подставляем значение  в параметрическое уравнение прямой.

Точка пересечения прямой и плоскости (2; -1; 4).

Задание 9

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить его

Решение:

уравнение окружности с центром в т. (2; -3) и радиусом 3.

Задание 10

Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Определите вид кривой. Изобразите кривую. Найдите фокусы и директрисы. Отметьте на рисунке

Решение:

Расстояние между фокусами FF^/ равно 2c

Следовательно, координаты фокусов:

Вершины эллипса имеют координаты:

А^/ А большая ось

В^/В и ОВ^/ малая ось

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D^/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D^/ параллельно малой оси эллипса являются директрисами эллипса.

Сделаем чертеж:

Расстояние между фокусами FF^/ равно 2c

Следовательно координаты фокусов:

Вершины гиперболы имеют координаты:

ОА и ОА^/ действительные полуоси

ОВ и ОВ^/ мнимые полуоси

Асимптоты гиперболы:

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D^/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D^/ параллельно оси ОУ являются директрисами гиперболы.

Сделаем чертеж:

Задание 11

Привести к каноническому виду уравнение поверхности и построить его

Решение:

 - двуполостный гиперболоид

- эллипсоид.