Применение вейвлет-преобразований

Введение

В данной дипломной работе рассматриваются основы теории вейвлетов, применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений, вейвлеты в системе MATLAB.

Вейвлет-анализ представляет собой линейное преобразование сигналов и отображаемых этими сигналами физических данных о процессах и физических свойствах природных сред и объектов. Базис собственных функций, по которому проводится вейвлетное разложение сигналов, обладает многими специальными свойствами и возможностями. Вейвлет функции базиса позволяют локализовать особенности анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционных преобразований Фурье и Лапласа.

Вейвлеты имеют возможность анализировать нестационарные сигналы с изменением компонентного содержания во времени или в пространстве.

Вейвлеты (wavelet - короткая волна) - это обобщенное название функций определенной формы, локализованных по оси аргументов (независимых переменных), инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования (сжатия/растяжения), имеющих вид коротких волновых пакетов с нулевым интегральным значением. Они создаются с помощью специальных базовых функций, которые определяют их вид и свойства. По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими (синусоидальными) функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени. Впервые этот термин использовали Гроссман и Морле (A.Grossmann, J.Morlet) [16] при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов.

Теория вейвлет-анализа дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вейвлет-преобразований - анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не только общую частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения об определенных локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих, или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По сравнению с разложением сигналов на ряды Фурье, вейвлеты с гораздо более высокой точностью представляют локальные особенности сигналов, вплоть до разрывов 1-го рода (скачков). В отличие от преобразований Фурье, вейвлет-преобразование одномерных сигналов обеспечивает двумерную развертку, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные, что дает возможность анализа сигналов сразу в двух пространствах.

Вейвлет представление сигналов на различных уровнях декомпозиции (разложения) заключается в разделении функций приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую - грубую, с достаточно медленной временной динамикой изменений, и детализирующую - с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлет разложениями.

Структура дипломной работы

Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованных источников. Дается краткая характеристика основных вопросов, которым посвящена дипломная работа, формулируется цель работы. Далее проводится краткий обзор разделов работы. В последующих разделах предлагаются необходимые определения, теоремы, формулы (раздел 1), применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений (раздел 2), вейвлеты в системе MATLAB (раздел 3) и заключение.

Цель работы

Детально изучить вейвлет-преобразования, а именно, применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений, изучить особенности системы MATLAB для исследования вейвлет-преобразований. Исследовать полученные решения интегральных уравнений с помощью системы MATLAB.

1. Основы теории вейвлетов

.1 От анализа Фурье к вейвлет-анализу

Обозначим через  множество всех измеримых функций , определенных на интервале  и таких, что

.

Считаем, что  является кусочно-непрерывными функциями. Всегда можно предположить, что функции из  периодически продолжаемы на всю вещественную ось , а именно:  для всех . Поэтому множество  называют пространством -периодических функций, интегрируемых с квадратом,  - векторное пространство. Любую  из  можно представить рядом Фурье

,                                                                       (1.1)

где константы , называемые коэффициентами Фурье, определяются формулой

.                                                                 (1.2)

Сходимость рядов в (1.1) в пространстве  означает, что

.

Имеются две явные особенности разложений и ряды Фурье (1.1). Первая особенность состоит в том, что  разлагается в бесконечную сумму взаимно ортогональных компонент , где ортогональность означает, что

 для всех                                                             (1.3)

со скалярным произведением (1.3), определенным формулой:

                                                                   (1.4)

где черта над функцией означает операцию комплексного сопряжения. Условие (1.3) является следствием факта, что

,                                                                      (1.5)

образует ортонормированный базис в .

Вторая особенность разложения в ряд Фурье (1.1) состоит в том, что ортонормированный базис  порождается растяжением единственной функции

                                                                                          (1.6)

так, что  для всех целых  (целочисленное растяжение).

То есть каждая -периодическая, интегрируемая с квадратом функция порождается «суперпозицией» целочисленных растяжений базисной функции .

Из свойств базиса  следует также, что разложение в ряд Фурье (1.1) удовлетворяет равенству Парсеваля

.                                                                      (1.7)

Пусть  обозначает пространство всех суммируемых с квадратом бесконечных последовательностей; другими словами,  тогда и только тогда, когда .

Пространству функций  и пространство последовательностей  изометричны друг другу. О разложениях в ряды Фурье (1.1) можно сказать, что каждая -периодическая интегрируемая с квадратом функция представляет собой -линейную комбинацию целочисленных растяжений базисной функции . Только одна базисная функция  требуется для порождения всех -периодических интегрируемых с квадратом функций. Для любого целого, большого по абсолютной величине  волна  имеет высокую частоту, а для малых по абсолютной величине значений  волна  имеет низкую частоту. Таким образом, каждая функция из  состоит из доли различных частот.

Далее рассмотрим пространство  измеримых функций , определенных на вещественной оси , удовлетворяющих неравенству

.

Два пространства функций  и  совершенно различны. В частности, каждая функция (ее локальное среднее значение) из  должна «затухать» до нуля при  стремящемся к , но синусоидальные (волны) функции  не принадлежат. В сущности, если нужно использовать «волны», порождающие, то эти волны должны были бы затухать до нуля при , и из всех практических соображений это затухание должно было бы быть очень быстрым. Так мы приходим к рассмотрению вейвлет-разложений, для порождения. Так же, как и в случае , где одна функция  порождает целое пространство, функция  порождает все. Но если вейвлет  имеет очень быстрое затухание, то как оно может покрыть всю существенную ось сдвигом  вдоль . Пусть  обозначает множество целых чисел:

.

Простейший способ для  покрыть все множество  состоит в рассмотрении всех целочисленных сдвигах , а именно , .

Затем, также как и в синусоидальном случае, можно рассматривать волны различных частот. Ради вычислительной эффективности используем для частотного разбиения целые степени 2. В результате рассматриваем малые волны

,                                                                            (1.8)

Заметим, что  получена из одной «вейвлет-функции» в результате двоичного растяжения (т.е. растяжения в  раз) и двухпараметрического сдвига (на ). «Вейвлет-функция» , двоичные растяжения и двухпараметрические сдвиги которых достаточны для представления любой функции из. Рассмотрим ортогональный базис, порожденный функцией .

                                                                          (1.9)

                                                                                   (1.10)

где . Заметим, что для любых  мы имеем

.

Следовательно, если функция  имеет единичную норму, то все функции , определенные формулой

,                                                          (1.11)

также имеют единичную норму, то есть

, .                                                                   (1.12)

Далее будем использовать символ Кронекера

,                                                                            (1.13)

определенный в .

Определение 1.1. Функция  называется ортогональным вейвлетом, если семейство , определенное формулой (1.11), является ортонормированным базисом в: это означает, что

,                                                                   (1.14)

и любая  может быть представлена как

,                                                                          (1.15)

где ряд (1.15) сходится в, а именно

.

Простейшим примером ортогонального вейвлета является функция Хаара , определённая формулой

.                                                             (1.16)

Ряды, представляющие функции  в (1.15), называются вейвлет-рядами. Аналогично обозначению коэффициентов Фурье в (1.2) вейвлет коэффициенты  определяются формулой

.                                                                                   (1.17)

Если определить интегральное преобразование  в  как

, ,                                    (1.18)

то вейвлет-коэффициенты (1.15) и (1.17) принимают вид

                                                                          (1.19)

Линейное преобразование  называется интегральным вейвлет-преобразованием относительно «базисного вейвлета».

Следовательно,  - вейвлет коэффициент функции  определяется интегральным вейвлет-преобразованием , вычисленным в точке двухпараметрического сдвига  с двоичным растяжением , где тот же ортогональный вейвлет  используется для порождения вейвлет ряда (1.15) и для определения интегрального вейвлет-преобразования (1.18).

Преобразование Фурье представляет собой важную составляющую анализа Фурье. Если две составляющие анализа Фурье, явно не связаны друг с другом, две составляющие вейвлет-анализа: вейвлет ряд (1.15) и интегральное преобразование (1.18), тесно связаны друг с другом, как это показано формулой (1.19).

.2 Вейвлеты Хаара

Для того чтобы функции  образовывали хороший базис, желательно, чтобы они обладали следующими свойствами: имели компактный носитель; «присутствовали» бы в любой точке пространства; могли отражать быстрые колебания функции. Более формально, от семейства  требуется следующие свойства:

. Компактный носитель каждой функции .

. Для любой точки  существует функция семейства , носитель которого содержит точку .

. Среди функций семейства  имеются такие, которые имеют сколь угодно большую частоту колебаний.

Первое свойство, в частности обеспечивает существование интегралов, которые необходимы для вычисления коэффициентов разложения.

Второе свойство будет выполнено, если потребовать, чтобы наряду с функциями  в базис входили бы и их сдвиги по оси , то есть функции вида , для любых целочисленных .

Третье свойство будет выполнено, если наряду с функциями  в базис будут входить их сжатия и растяжения, например функции вида , для любых целочисленных .

Если базис в  порождался одной функцией  при помощи сдвигов и растяжений, то есть он состоял из функций вида .

Существует две функции (всплески)  и , сдвиги и растяжения  первой функции  порождают расширяющуюся последовательность подпространств , а вторая функция порождает базис  пространства . Кроме того, эти функции обладают еще дополнительными свойствами, которые существенно облегчают вычисленные коэффициенты разложения. Пример подобного базиса известен сначала прошлого столетия - это базис Хаара. Однако теория таких функций и базисов всплесков значительно развита позже.

Построим в пространстве  ортонормированный базис Хаара. Он определяется на основе функции прямоугольной волны

.

Процедуру построения базиса Хаара проведем в несколько этапов. Сначала определим возрастающую последовательность подпространств . На основе этой последовательности будут естественным образом введены вейвлет пространства и сами вейвлеты Хаара.

.2.1 Масштабирующая последовательность подпространств

Рассмотрим систему функций, полученную из  целочисленными сдвигами:

, .                                                                   (1.20)

Обозначим  - пространство в , порожденное линейными комбинациями таких сдвигов ( - замыкание линейной оболочки системы ). Эта система, , образует ортонормированный базис пространства .

Рассмотрим масштабированные сдвиги . Они получаются из  сдвигами на : .

Носитель функции стал в два раза меньше:

.

Поэтому

.

Если умножить такие функции на , тогда все они будут единичной нормы.

Рассмотрим систему функций

,                                                                 (1.21)

и пространство , порожденное ими. Система  образует ортонормированный базис пространства .

Пространство  состоит из кусочно-постоянных функций с промежутками постоянства длины , это линейные комбинации функций . По построению пространство  является масштабированной версией пространства , другими словами, . Отсюда следует, что . Действительно, порождающая функция  пространства  выражается в виде линейной комбинации элементов пространства :

.

Поскольку  и , то

,

где ненулевые  только такие: .

Далее рассмотрим пространство , порожденное функциями:

, ,

полученными из функции  сдвигами на  по оси . Носитель, , есть отрезок длины . Система  образует ортонормированный базис пространства , где .

Продолжая эту процедуру, для любого  рассмотрим систему функций:

.                                                                      (1.22)

Это ортонормированная система функций, , все функции системы получаются из  сдвигами на  по оси . Пусть  - пространство, порожденное системой функций . Имеет место следующее включение:

.

Продолжим этот процесс до бесконечности. Тогда мы получим бесконечную систему вложенных подпространств :

.

В каждом пространстве  выделен ортонормированный базис ,  являются кусочно-постоянными функциями. Поскольку последние образуют плотное множество, то , где черта сверху обозначает замыкание.

Аналогичным образом можно ввести пространства  с отрицательным . Тогда получаем систему вложенных подпространств, бесконечную в обе стороны:

.

Отсюда вытекает, что:

 и .

.2.2 Пространства вейвлетов

Каждое из введенных выше подпространств  имеет свой базис, состоящий из функций . При этом базис следующего пространства  не получается из базиса пространства  добавлением новых элементов. Поэтому пока нельзя из этих базисов пространств  получить базис всего пространства. Однако этого можно было бы достигнуть, если бы базис следующего пространства получался бы из базиса предыдущего пространства добавлением новых элементов.

Рассмотрим для простоты пространства  и . Поскольку есть замкнутое подпространство , то существует ортогональное дополнение к  в пространстве , обозначим его . Тогда имеем ортогональное разложение пространства : .

Поэтому к базису пространства  можно добавить базис дополнительного пространства  и в результате получить базис более широкого подпространства . Для того чтобы реализовать эту процедуру, выясним, из каких функций состоит .

Пусть функция . Поскольку , тогда  раскладывается по базису  пространства : . Поскольку , то для любого  имеем: . Пространство  входит в , следовательно, функции  также раскладывается по базису  пространства . Коэффициенты этого разложения были ранее найдены,

.                                                                   (1.23)

Тогда условие ортогональности  в  принимает вид

.

Так как  - ортонормированный базис, то из последнего равенства имеем:

, .

Полученная система уравнений имеет множество решений (их с овокупность порождает пространство ). Возьмем наиболее простое, состоящее из двух ненулевых значений:

, .

Ему соответствует функция

,

,                                                                          (1.24)

называется вейвлетом Хаара. Она замечательна тем, что ее сдвиг  образуют базис пространства . Функции  образуют ортонормированную систему . Кроме того, каждая функция  ортогональна каждой функции . Поэтому . Система функций  образует новый ортонормированный базис пространства . Это следует из того, что любой базисный элемент  пространства  выражается через  и . Действительно,

, .

Выражения для остальных  получаются сдвигами на .

Таким образом, получен ортонормированный базис  пространства , где первый набор функций  образует ортонормированный базис пространства, а второй выбор  - базис дополнительного пространства  в соответствии с разложением . Новый базис пространства  получается из базиса  добавлением элементов из .

Аналогичным образом можно получить базис пространства . Поскольку  есть замкнутое пространство , то существует ортогональное дополнение к  в пространстве , обозначим его , тогда . Учитывая, что , получаем: .

По построению пространства  является масштабированной версией пространства , другими словами, . Поэтому и пространство  является масштабированной версией пространства . Следовательно, полуцелые сдвиги  функции  образуют базис пространства . Обозначим  эти (пронормированные) базисные функции. Поскольку базис пространства  образован функциями , то базис пространства  состоит из элементов . Он получен из базиса пространства  добавлением новых элементов  и . Ясно, что процесс можно продолжить до бесконечности, используя разложение  для любого . Тогда

.

Ортонормированный базис пространства  образует функции вида

.                                                                      (1.25)

Следовательно, ортонормированный базис пространства  состоит из функций

.

Можно также продолжить разложение и в «отрицательную сторону», . Поскольку пространства , уменьшаясь при , сходятся к нулю, то в пределе мы получаем

.                                                                               (1.26)

Поэтому ортонормированный базис пространства  будут образовывать функции

, .                                                       (1.27)

Это хорошо известный базис Хаара. Он называется также вейвлетом Хаара.

Определение 1.2. Элементы пространства  называются вейвлетами Хаара. Функции называются базисными вейвлетами. Функция называется масштабирующей функцией Хаара. Функция  называется материнским вейвлетом Хаара.

Замечание 1. Формула (1.26) не совсем корректна. Ее правая часть представляет всюду плотное в  множество кусочно-постоянных функций. Для точного равенства необходимо взять замыкание:

.                                                                              (1.28)

Отметим также, что для любого : .

Замечание 2. Нужно отметить, что вейвлеты Хаара и вейвлеты Добеши первого порядка (db1) совпадают. Ниже на рис. 1.1 приведен график вейвлета Хаара, а на рис. 1.2 - график вейвлета Добеши первого порядка.

Рис. 1.1 Вейвлет Хаара

Рис. 1.2 Вейвлет Добеши(db1)

1.3. Вейвлет Мейера

Вейвлет-функции Мейера определены в частотной области следующим образом:

.

Соответствующая масштабирующая функция есть:

.

Функция [PHI, PSI, T]=meyer(LB, UB, N) возвращает масштабирующую функцию и вейвлет-функцию Мейера, вычисленную в -точках регулярной сетки в интервале [LB,UB]. Переменная  должна быть степенью числа 2. Выходными параметрами являются масштабирующая функция PHI и вейвлет-функция PSI, вычисленные на сетке . Если требуется в качестве выходного параметра получить только одну из перечисленных функций, то требуется четвертый аргумент:

[PHI,T]=meyer(LB,UB,N,'phi') или [PSI,T] =meyer(LB,UB,N,'psi')

Следующий пример строит графики вейвлета Мейера и его масштабирующей функции, который изображен на рисунке 1.3.

lb=-10; ub =8 ; n =1024

[phi,psi,x]=meyer(lb,ub,n);

subplot (211), plot (x,psi); title('Meyer wavelet')(212), plot (x,phi); title('Meyer scaling function')

Рис. 1.3 Вейвлет Мейера

.4 Построение вейвлетов Добеши с компактным носителем

Построим вейвлеты с компактным носителем и с  нулевых моментов. Эти свойства необходимы для обеспечения хороших свойств приближения вейвлет-разложений. Найдем вещественные вейвлеты  и  с компактным носителем и с  нулевыми моментами.

Из компактности носителя вытекают следующие факты.

.        Фильтр коэффициентов  разложения  состоит из конечного числа вещественных ненулевых членов. Поэтому частотная функция  является тригонометрическим членом. Если длина носителя  равна , то имеется не более  ненулевых коэффициентов .

.        Преобразование Фурье  является ограничением на  целой аналитической функции экспоненциального типа. В частности,  является гладкой класса .

.        Из непрерывности  следует [5, стр. 207, 243], что . Тогда из масштабирующего уравнения  вытекает: .

Если требовать  нулевых моментов функции , то функция  имеет специальный вид

,                                                                    (1.29)

где  - тригонометрический полином.

Кроме того, коэффициенты  фильтра вейвлета  обладает свойствами:

,

, .

Поскольку  восстанавливается по функции  по формуле

,                                                                   (1.30)

то построение ортонормированных вейвлетов начнем с нахождения соответствующей функции . Такая функция должна удовлетворять отношению

.                                                                   (1.31)

Замечание 1. Имеются общие условия Коэна и Лоутона на тригонометрический полином , обеспечивающие восстановление вейвлетов  и , порождающих ортогональный кратномасштабный анализ [5, стр. 253,259,263].

.4.1 Частотная функция

Найдем функцию  в виде , удовлетворяющую . Будем искать сначала функцию , удовлетворяющую соотношению

.                                                                       (1.32)

Имеем:

,

где  - также тригонометрический полином по . Действительно, тригонометрический полином  по степеням  имеет вещественный коэффициенты, поэтому , и тогда  - четная -периодическая функция, следовательно, полином по . Поскольку , то его можно записать как полином . Тогда

,

где .

Итак, ищем функцию  вида

,                                                         (1.33)

удовлетворяющую условию . Обозначим . Тогда из двух последних соотношений и из  получаем

.                                                               (1.34)

Это равенство выполняется для любого , следовательно, и для любого . Для нахождения  из соотношения  воспользуемся следующим фактом.

Лемма 1 (Безу). Если  и  - полиномы степеней  и  без общих, нулей, то существует единственные полиномы  и  степени ,  такие что

.

Используем лемму для многочленов . Тогда существуют единственные полиномы  и  степени меньше , такие что

.

Сделаем замену . Тогда . Из единственности многочленов  и  получаем . Тогда

.                                                             (1.35)

Поскольку искомое выражение для есть . Найдем  в явном виде из :

.

Раскладываем первый сомножитель в ряд Тейлора:

,

где  - биномиальные коэффициенты. Тогда

,

поскольку степень  не превосходит . Итак, искомое решение  уравнения  степени  имеет вид

          (1.36)

Замечание 1. Мы получили единственное решение  минимальной степени . Существуют другие решения более высокой степени. Если  - решение более высокой степени, то разность  - это решение однородного уравнения

.                              (1.37)

Поскольку сомножитель  не делится на , то  делится на , следовательно, . Подставляя это выражение в уравнение , получаем единственное условие на многочлен :

.

Последнее условие означает анитисимметричность относительно , что в свою очередь означает, что  является многочленом, содержащим нечетные степени переменной . Тогда решением уравнения  является

,                                                          (1.38)

где  - нечетный многочлен.

Вывод. Функция  удовлетворяет соотношению  тогда и только тогда, когда функция  является тригонометрическим полиномом вида

где  - многочлен вида (1.36) или (1.38), в котором  подобран так, что  на отрезке .

Для нахождения  нужно «извлечь квадратный корень» из уравнения . Это позволяет следующее.

Лемма Рисса. Пусть  - неотрицательный тригонометрический полином вида

.

Тогда существует тригонометрический полином  вида

,

такой что .

Замечание 2. Многочлен  находится по многочлену  неоднозначно, например можно умножить  на , где  - любое целое. Другие возможности выбора вытекают из неоднозначности выбора первого корня  из четверки корней .

Замечание 3. Для каждой четверки комплексных корней  выбираем пару  или , такую что оба корня лежат либо внутри, либо снаружи единичного круга на комплексной плоскости.

Хотя существуют шесть способов выбора двух корней из четырех, легко видеть, что другие комбинации двух корней не будут давать разложения на множители с действительными коэффициентами. Из каждой пары  действительных корней выбираем одну любую внутри или снаружи единичного круга. Среди корней на единичном круге выбираем один корень из пары вырожденных корней.

Замечание 4. В нашем случае ортогонального вейвлета  с компактным носителем частотная функция  является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим соотношению . Если требовать  нулевых моментов функции , то функция  имеет специальный вид

,

где  - такой тригонометрический полином. Полагаем

, тогда

где многочлен  (минимальной) степени  определяется формулой

.

Функция  находится спектральной факторизацией многочлена

 с учетом того, что

где . Тогда  задается в виде:

,

где  пробегает индексы всех выбранных корней.

Пример вейвлета Добеши db2. Вейвлет-функция  строится по формуле . Она называется вейвлетом Добеши и обозначается символом «db2». Ее график показан на рис. 1.4.

Рис. 1.4 Вейвлет Добеши(db2)

1.4.2 Симлеты

При нахождении частотной функции  ортогонального вейвлета  с компактным носителем используется процедура спектральной факторизации, «извлечения квадратного корня» из . Как уже отмечалось,  находится по многочлену  неоднозначно, например можно множить  на , где  - любое число. Имеется также произвол в выборе половины корней многочлена . Эти различные выборы корней приводят к различным фазам функции  и, в свою очередь, к различным коэффициентам фильтра и вейвлетам, все из которых удовлетворяют условию ортогональности и условию нулевых моментов. В случае вейвлетов Добеши нули находятся внутри единичной окружности.

Для практических целей (например, в обработке изображений) необходимо иметь фильтры с некоторыми свойствами симметрии. Легко видеть, что если действительный фильтр  является симметричным относительно центрального коэффициента, т.е. , то

.

Если действительный фильтр  является антисимметричным относительно центрального коэффициента, т.е. , то

.

В обоих случаях частотна функция  имеет фазу, которая является линейной по , . Такие фильтры называются фильтрами с линейной фазой, потому что фаза его передаточной функции линейна по .

Кроме системы Хаара, никакая система функций  и  не может одновременно иметь компактный носитель и быть симметричной. Однако попробовать приблизиться, насколько возможно, к симметрии. Для симметричных вейвлетов фаза частотной функции  нулевая. Поэтому можно потребовать, чтобы фаза  была минимальной среди всех  с тем же самым значением . Это требование определяет некоторый выбор тригонометрического полинома . Такие вейвлеты, полученные из вейвлетов Добеши называются симлетами.

Идея построения симлетов состоит в том, чтобы, выбирая нули, получить наименее асимметрический вейвлет. Для этого нужно вычислять фазу функции  в зависимости от выбора корней.

Если игнорировать линейную фазу, то фаза может быть вычислена следующим образом. Поскольку  является произведением сомножителей вида  или , полная фаза есть сумма фазовых вкладов каждого сомножителя. Для коэффициента вида

где  и , имеем

,

и соответствующая фаза, игнорируя линейный вклад, имеет вид

.

Аналогично для коэффициентов вида , где  является действительным, имеем

,

и соответствующая фаза, снова игнорируя линейный вклад:

.

Отклонение фазы  от линейной фазы определяется суммой разовых фазовых отклонений.

Для нахождения наименее ассиметричного фильтра необходимо найти все корни. Выбирая пары корней внутри единичного круга, либо вне круга, строим  с минимальной фазой. Корни, лежащие на единичном круге, имеют линейную фазу. Замечание 5. Для вейвлета Добеши малого порядка недостаточно свободы для различных вариантов выбора корней, тогда симлеты совпадают с вейвлетами Добеши. Различия наблюдаются с порядка . Это показано на рисунке 1.5.

Вейвлет Добеши 4-ого порядка(db4)

Cимлет 4-ого порядка (sym4) Рис. 1.5

.5 Непрерывное вейвлет-преобразование

.5.1 Непрерывное вейвлет-преобразование в одномерном случае

Непрерывное вейвлет-преобразование можно получить, если в выражении вейвлета  разрешить числам  и  принимать непрерывные значения, а суммы заменить на интегралы. Тогда мы получаем семейство функций , зависящее от двух непрерывных параметров  и . Далее используется следующее двухпараметрическое семейство функций:

, ,, .                                                        (1.39)

Параметр  определяет сдвиг по оси , параметр  - это масштабный коэффициент. Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование функции  из  определяется формулой

.                                       (1.40)

Вейвлет коэффициенты дискретного разложения функции  в ряд по вейвлетам  можно определить через интегральное вейвлет-преобразование:

.

При использовании вейвлетов для анализа сигналов непрерывное вейвлет-преобразование иногда удобнее за счет избыточности, связанной с непрерывным изменением масштабного коэффициента  и параметра сдвига .

Семейство функций (1.39) и преобразование (1.40) можно определить для любой функции . Однако для того, чтобы из функций  двух переменных  и можно было восстановить функцию , необходимо сделать некоторые предположения относительно . Во-первых, удобно считать функцию  нормированной:

,                                                                                   (1.41)

а во-вторых, для обращения вейвлет-преобразования (1.40) необходима конечность следующего интеграла:

.                                                                         (1.42)

Функцию , удовлетворяющую условиям (1.41) и (1.42), будем называть вейвлет-функцией для непрерывного вейвлет-преобразования.

Отметим, что здесь нет речи о масштабирующих функциях и сами их условия (1.41) и (1.42) достаточно слабые. Из (1.42) следует, что если , то

.                                                                                     (1.43)

В противном случае интеграл (1.42) является расходящимся. Таким образом, условие (1.43) является необходимым. При дополнительном условии  оно является и достаточным. Действительно, если , то преобразование Фурье  является непрерывно дифференцируемой функцией. Тогда, учитывая (1.43), получаем в окрестности нуля . Поэтому особенность в интеграле (1.42) исчезает, и интеграл будет сходящимся.

Пусть - некоторый вейвлет для непрерывного вейвлет-преобразования.

Теорема 1. (Формула обращения): Если , то

.                         (1.44)

Для обратимости вейвлет-преобразования необходимо, чтобы , если . Их формулы (1.40) следует, что это возможно только в том случае, когда система  является полной (не существует элемента , ортогонального всем ). Это свойство системы  обеспечиваются одним интегральным условием (1.42).

Следствие. Имеет место следующая формула Планшереля:

.                                    (1.45)

Два свойства непрерывного вейвлет-преобразования.

Сдвиг. .

Растяжение. .

.5.2. Мгновенные обобщения непрерывного вейвлет-преобразования

Рассмотрим непрерывное вейвлет-преобразование в случае пространства , то есть когда функции зависят от  переменных.

Преобразование Фурье в . Пусть . Преобразование Фурье функции  определяется формулой

,                                                                      (1.46)

где, ,  и .

Преобразование Фурье в  обладает аналогичными свойствами, что и в одномерном случае. Вот некоторые из них.

Формула обращения:

.                                                              (1.47)

Формула Планшереля:

.                                                  (1.48)

Сдвиг пространственной переменной:

.                                                                (1.49)

Действие линейного оператора на . Пусть  линейный невырожденный оператор в пространстве . Тогда

,                                                                  (1.50)

где  обратная транспортная матрица.

Для перехода к многомерным, необходимо проанализировать одномерное вейвлет-преобразование с теоретико-групповой точки зрения. Введем два обозначения. Символом  будем обозначать группу по умножению ненулевых действительных чисел, , а символом  - группу по умножению положительных действительных чисел.

Аффинная группа. Преобразование вида  - это действие аффинной группы  на пространстве . Аффинная группа  параметризуется двумя переменными , здесь  ‒ группа по сложению. Однако  не является прямым произведением групп  и . Действительно, если  и , то композиции этих преобразований есть . Поэтому закон перемножения элементов  и  следующий:

.

Такая структура называется полупрямым произведением групп  и .

Элементы  группы  удобно представлять как матрицы вида:

При этом если  и , то композиция этих преобразований  соответствует произведение матриц

.

Обратное преобразование для  имеет вид , и ему соответствует обратная матрица

.

Аффинная группа  параметризуется двумя переменными . Если предполагаем интегрировать по этому пространству параметров, то в качестве элемента объема естественно взять . Однако данный элемент объема  не связан с групповой структурой на . В частности,  не будет инвариантным относительно левых сдвигов на группе . Другой элемент объема:

,

зависящий от точки . Этот момент объема уже будет левоинвариантным. Действительно, если  есть левый сдвиг на группе элементов , то для выбранного элемента объема выполняется свойство:

.

В общем случае преобразование  действует на дифференциальных формах  как замена переменной, по формуле: . Пусть

, .

Тогда .

Каждый элемент  аффинной группы  действует на функциях следующим образом: , то есть . Такое действие, хотя и является вполне естественным, обладает двумя недостатками. Во-первых, композиции матриц не соответствует композиция операторов в том же порядке:

, ,

а во-вторых, оно не унитарно, то есть не сохраняет -норму функции . Первый недостаток можно устранить, определив действие группы  на функциях через обратное преобразование

, то есть . Тогда

, .

Унитарность достигается простым умножением на . Тогда оператор в пространстве , определенной формулой

,                                                                     (1.51)

является унитарным - он сохраняет скалярное произведение. Действительно,

Таким образом, каждому аффинному преобразованию  соответствует уникальный оператор в пространстве, определенный формулой (1.51). При этом соответствие  обладает свойством

.                                                                                     (1.52)

Из (1.52) следует еще два свойства.

.        Единичной матрице соответствует тождественное преобразование , .

.        Обратной матрице соответствует обратное преобразование , .

Такое соответствие  называется унитарным представлением аффинной группы  в пространстве , поскольку каждый элемент  представлен унитарным оператором  и это соответствие  является гомоморфизмом групп (то есть выполнено (1.52)).

,

где  - невырожденная матрица порядка  и . Однако размерность этой группы достаточно большая, она равна , поэтому полная аффинная группа  неудобна вследствие большой размерности. Рассмотрим подгруппы меньшей размерности, которые во многих случаях достаточны для непрерывного вейвлет-анализа. Наиболее простая группа, которая содержит растяжения и сдвиги  - это группа , состоящая из матриц вида

, где .                                          (1.53)

В этом случае левоинвариантный элемент объема и унитарное представление задаются формулами:

,

.

Непрерывное вейвлет-преобразование определяем по аналогии с одномерным случаем. Для функции  вводится семейство функций , зависящих от параметров группы :

.                                                  (1.54)

Формула непрерывного вейвлет-преобразования имеет вид:

.                                               (1.55)

где . В результате получилась функция на группе , .

Имеет место формула обратного непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                                  (1.56)

при условии сферической симметричности функции , т.е. , и конечности следующего интеграла:

.                                                                       (1.57)

Вейвлет-преобразование с различными сжатиями по осям. Более сложная группа , которая содержит различные растяжения по каждой координате  и сдвиги на вектор . Она состоит из матриц вида

, где .                                      (1.58)

Очевидно, что эта группа  является прямым произведением  экземпляров аффинной группы, . В этом случае левоинвариантный элемент объема и унитарное представление задается формулами:

,

.

Действие этой группы - это действие группы  отдельно по каждой координате. Поэтому непрерывное вейвлет-преобразование определяем по аналогии с одномерным случаем. Для функции  вводим семейство функций , зависящих от  параметров группы :

.                                            (1.59)

Формула непрерывного вейвлет-преобразования:

,                               (1.60)

где .

Имеет место формула обратного непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                                (1.61)

при условии конечности следующего интеграла:

,                                                                       (1.62)

где .

Вейвлет-преобразование с группой подобий. Группа подобий  в пространстве  состоит из переносов, растяжений и вращений. Элемент группы  можно представить в виде произведения:

,                                                                         (1.63)

где ,  - единичная матрица порядка ,  - ортогональная матрица порядка . Размерность группы  достаточно большая, она равна . Поэтому для простоты рассмотрим случай . Получится четырех-параметрическая группа, состоящая из матриц

.                                                       (1.64)

Обозначим  матрицу поворота на угол . Поскольку , то в комбинации  нет необходимости рассматривать отрицательное значение параметра . Поэтому в дальнейшем будем считать  положительным, . Левоинвариантный элемент объема унитарное представление задаются формулами:

,

.

Для функции  вводим семейство функций , зависящих от параметров группы :

,                                                                           (1.65)

где  и  - матрица поворота на угол . Найдем преобразование Фурье данного семейства функций, учитывая, что :

.     (1.66)

Непрерывное вейвлет-преобразование определяем по формуле:

,                            (1.67)

где .

Имеет место формула обратного непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                          (1.68)

при условии конечности следующего интеграла:

.                                                (1.69)

.5.3 Примеры двумерных вейвлетов

Приведем несколько известных примеров из [8], там же описывается приложения двумерных вейвлетов к анализу изображений.

Двумерная «мексиканская шляпа». Это лапласиан функции Гаусса:

Можно рассмотреть также лапласианы более высокого порядка:

.

При увеличении  эти вейвлеты имеют все больше нулевых моментов и становятся все более чувствительными к сингулярным деталям сигнала. Сферически симметричный вейвлет «мексиканская шляпа» эффективнее для анализа точечных особенностей и неэффективен для выделения направленных элементов сигнала.

Градиентные вейвлеты получаются как частные производные функции Гаусса:

.

Разностные вейвлеты получается как разность двух положительных функций, в частности как разность некоторой функции  и ее сжатой версии. Если функция  есть гладкая неотрицательная функция  и все ее моменты первого порядка равны нулю, то функция , задаваемая соотношением

является вейвлетом, удовлетворяющим условию допустимости (1.69). Типичным примером служит так называемый DOG-вейвлет (Difference of Gaussians), когда в качестве  берется функция Гаусса:

.

Двумерный вейвлет Морле. Вейвлет, который не обладает сферической симметричностью, можно назвать направленным. Направленность вейвлета удобно задавать матрицей  в скалярном произведении, когда вместо  берется . Вейвлет Морле является простейшим направленным вейвлетом и может рассматриваться как прототип всех других направленных вейвлетов:

где параметр  является волновым вектором,  - матрица, определяющая анизотропию вейвлета. Например, в качестве такой матрицы можно взять . Хотя вейвлет Морле не удовлетворяет условию обратимости вейвлет-преобразования, но при больших значениях  значение  близко к нулю, что позволяет его практическое использование. Модуль вейвлета Морле является функцией Гаусса, вытянутой в направлении оси  (если ), и его фаза постоянна в направлении, ортогональном . Такии образом, вейвлет Морле обнаруживает резкие изменения сигнала в направлении, перпендикулярном .

1.6 Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет

В этом пункте строим полную систему сплайновых полуортогональных вейвлет на конечном отрезке.

Пусть  - произвольный отрезок, - натуральное число и - такое целое число, что . Рассмотрим семейство  разбиений отрезка  с постоянным шагом . На каждом из разбиений  рассмотрим пространство сплайнов . Тогда для каждого  пространство  можно представить в виде прямой суммы , где через  обозначено ортогональное дополнение пространства  до пространства. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в  и всех базисов в пространствах .

Вначале построим базис в ортогональном дополнении  пространства  до пространства . Зафиксируем . В случае необходимости будем считать, что каждое из разбиений  продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами . Нормализованные -сплайны на разбиении  будем обозначать .

Зафиксируем некоторое целое  такое, что , т.е. отрезок  целиком содержится в . Будем искать функцию в виде

                                                                     (1.70)

Для того чтобы , достаточно потребовать выполнения условий

      (1.71)

поскольку остальные условия ортогональности выполняются автоматически в силу дизъюнктности носителей.

Подставляя представление (1.70) в (1.71), получим однородную систему  уравнений с  неизвестными,

,                            (1.72)

которая всегда имеет нетривиальное решение. Находя это нетривиальное решение, получаем искомый набор коэффициентов и функцию  в виде (1.70).

Из представления (1.70) и определения -сплайнов вытекает, что,  т.е. содержит  смежных частичных отрезка. Теорема приведенная ниже показывает, что нельзя построить вейвлет с меньшой длиной носителя.

Теорема 1.2. Пусть , и функция  вида

                                                                        (1.73)

удовлетворяет условиям

.                                    (1.74)

Тогда .

Следствие 1. Совокупность функций  линейно независима на каждом отрезке (т.е. линейно независимы их сужения на каждый такой отрезок).

Справедлива формула  т.е. совокупность построенных вейвлет-функций получается сдвигом одной единственной функции . Таким образом, построена совокупность полуортогональных линейно независимых вейвлетов . Однако размерность ортогонального дополнения  равна , т.е. до базиса в  нам не хватает ровно  функций. Построим недостающие вейвлет-функции. Для этого рассмотрим функции  при  на расширенном разбиении . Первую группу из  недостающих вейвлет будем искать в виде:

                                      (1.75)

                                             (1.76)

где скалярное произведение понимается в смысле .

Подставляя (1.75) в (1.76), получим систему линейных алгебраических уравнений

                                             (1.77)

                                                                  (1.78)

для определения . Матрица системы (1.77) невырождена, так как в противном случае существовало бы нетривиальное решение соответствующей однородной системы, что означало бы, что функция  является вейвлет-функцией на  с носителем , что невозможно в силу формулы . Решая систему (1.78), получаем, что функция (1.75) является искомой вейвлет-функцией, так как ортогональность к -сплайнам  при  имеет место в силу ортогональности им всех вейвлет из линейной комбинации (1.75), а при  - в силу условий (1.76). Тем самым построили совокупность  вейвлет-функций (1.75). Их линейная независимость с ранее построенными функциями вытекает из вида (1.75) и следствия из теоремы 1.2. Вторую группу из  недостающих вейвлет будем искать в виде

,                  (1.79)

из условий

                                                 (1.80)

где скалярное произведение понимается в смысле .

Подставляя (1.79) в (1.80), получим систему линейных алгебраических уравнений

                   (1.81)

определения . Решая систему (1.81), получаем, что функция (1.79) является искомой вейвлет-функцией. Тем самым мы построили совокупность  вейвлет-функций (1.79). Вместе с функциями (1.70) и (1.75) они образуют искомый базис в , если .

В качестве базиса в  выберем совокупность "усеченных" B-сплайнов

.                                                                   (1.82)

Итак, совокупность функций (1.82) и (1.81), (1.75), (1.79) при  образует искомый вейвлет-базис в пространстве .

Для функций (1.79) и (1.82) при  в силу симметрии справедлива формула

.

фурье вейвлет wavelet toolbox

2. Применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений

.1. Дискретное и непрерывное вейвлет-преобразование

Вейвлет-преобразования (или дискретные волновые преобразования) применятся, главным образом, для анализа нестационарных сигналов и для многих задач подобного рода оказывается более эффективным, чем преобразование Фурье.

Преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование может быть выражено интегральным преобразованием (1.40), где символ отрицания означает комплексную сопряженность и  - некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольно, но она должна удовлетворять определенным правилам.

Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Можно использовать ортогональные вейвлеты для разработки дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

. Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшое число коэффициентов вейвлет-спектр, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр применим для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь нет избыточной информации.

. Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течении длительности сигнала и сравнить этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированны и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

Дискретное вейвлет-преобразование

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определенным правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлет-преобразования (CWT), или его реализация для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT).

Как показано ранее, вейвлет может быть сконструирован из функций масштаба, которая описывает свойства его масштабируемости. Ограничение, что функция масштаба должна быть ортогональна к своим дискретным преобразованиям, подразумевает некоторые математические ограничения на них, которые везде упоминаются, т.е. уравнение гомотетии

где  - фактор масштаба (обычно выбираем как 2).

Более того, площадь под функцией должна быть нормализована и функция масштабирования должна быть ортогональна к своим численным переносам, т.е.

.

После введения некоторых дополнительных условий (поскольку вышеупомянутые ограничения не приводят к единственному решению) можно получить результат всех этих уравнений, т.е. конечный набор коэффициентов , которые определяют функцию масштабирования, а также вейвлет. Вейвлет получается из масштабирующей функции как , где  - чётное целое. Набор вейвлетов затем формирует ортогональный базис, который мы используем для разложения сигнала. Следует отметить, что обычно несколько коэффициентов  будут ненулевыми, что упрощает расчёты.

На рис. 2.1 показаны некоторые масштабирующие функции и вейвлеты. Наиболее известным семейством ортонормированных вейвлетов является семейство Добеши. Его вейвлеты обычно обозначаются числом ненулевых коэффициентов , таким образом, мы обычно говорим о вейвлетах Добеши 4, Добеши 6 (4 и 6 означает порядок вейвлета), и т.п. Грубо говоря, с увеличением числа коэффициентов вейвлет функции становятся более гладкими. Другой из упомянутых вейвлетов - простейший вейвлет Хаара, который использует прямоугольный импульс как масштабирующую функцию.

Функция масштабирования Хаара и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа)

Функция масштабирования Добеши 4 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа)

Функция масштабирования Добеши 20 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).Рис. 2.1

Основным отличием вейвлет-преобразования является разложение данных не по синусоидам (как для преобразования Фурье), а по другим функциям, называемым вейвлетобразующими. Вейвлетобразующие функции, в противоположность бесконечно осциллирующим синусоидам, локализованы в некоторой ограниченной области своего аргумента, а вдали от нее равны нулю или ничтожно малы. Пример такой функции, называемой "мексиканской шляпой", показан на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 Сравнение синусоиды и вейвлетобразующей функции

2.2 Приближенное решение задач для уравнений типа свертки

Для задач, сводящихся к решению уравнению типа свертки (краевых задач для уравнений математической физики, экстремальных задач), хорошо разработана техника преобразований Фурье (непрерывных, дискретных, быстрых преобразований Фурье). Анализ Фурье, взвешенный анализ Фурье и вейвлет-анализ тесно связаны между собой, что позволяет переносить известные результаты для уравнений типа свертки, полученные с помощью преобразований Фурье, на язык вейвлет-анализа и получать эффективные алгоритмы на основе быстрого вейвлет-преобразования. Алгоритмы решения одного уравнения могут использоваться для решения другого близкого ему уравнения. Такая схема применима не только к задачам восстановления, но и к задаче распознавания, прогнозирования (вывода по аналогии) и другим задачам, если установлена соответствующая аналогия. Пусть исходное интегральное уравнение типа свертки имеет вид , а близкое к нему . С оператором

                                                      (2.1)

где ядро правая часть  - решение интегрального уравнения. Решения  и  близки в зависимости от близости операторов  и , а также оценки погрешности. В модельных (близких) уравнениях прежде всего учитываются особенности исходного уравнения, характер некорректности и т.п. Структура таких уравнений выбирается более простой, позволяющей получить точное решение  и хорошо приспособленной для разработки эффективных устойчивых алгоритмов. Эта схема переносится на широкий класс задач, в частности, на экстремальные задачи для уравнений типа свертки, экстремальные задачи для уравнений в частных производных (для аналитических функций).

Пусть  и  - соответственно прямое и обратное преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. .

,

, . Применяя вейвлет-преобразование

в виде  к уравнению (2.1), при условии

, получим .

Для близкого уравнения ,

, тогда , а решение исходного уравнения (2.1), при обеспечении оценки , запишется в виде  с соответствующей оценкой погрешности. Можно построить итерационные алгоритмы:

.

Для операторов типа свертки такие алгоритмы являются псевдоитерационными (в отсутствии нелинейных операций -е приближение строится по  и правой части в результате решения разностного уравнения).

В программной реализации схемы используются быстрые вейвлет-преобразования.

Для получения решения  можно использовать схему Галеркина, согласно которой решение ищется в виде разложения , откуда

.

Используя некоторый базис, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов . В этом случае искомая функция  ищется в виде масштабирующих функций и вейвлетов

,

где . Процедура решения сводится к вычислению сверток  и  и решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Заранее подобранный набор модельных (близких) уравнений и расчет соответствующих коэффициентов позволяют эффективно решать широкий класс исходных уравнений.

2.3 Метод Бубнова-Галеркина для решения интегральных уравнений

Зафиксируем некоторую константу . Пусть . Обозначим через  совокупность всех определенных на квадрате  функций каждая из, которых  раз непрерывно дифференцируема, причем при  для всех ее производных - го порядка  справедливы оценки

.                                                                           (2.2)

Определение 2.1. Функцию  будем называть асимптотически - гладкой функцией, если  при некотором .

Замечание. Параметр  играет роль регуляризирующего параметра, предназначенного для сглаживания особенности при .

Пусть - асимптотически m-гладкая функция. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

                                                                           (2.3)

с заданной функцией  и неизвестной функцией . Сложности численного решения уравнений такого вида (особенно многомерных) традиционными численными методами связаны с тем, что матрицы, получающиеся при их дискретизации, оказываются заполненными, т.е. состоящими из ненулевых элементов.

Рассмотрим для (2.3) метод Бубнова-Галеркина на базе построенных вейвлет-функций степени . Зафиксируем некоторое натуральное , и будем искать решение(2.3) в виде

.           (2.4)

Из условий

,

, .                                                    (2.5)

Совокупность условий (2.5) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей порядка , элементы которой имеют вид

       (2.6)

Для классических систем функций в методе Галеркина числа (2.6) оказываются, в основном, ненулевыми и недостаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь и рассматривать СЛАУ (2.5) как разреженную. В случае вейвлет большинство элементов матрицы СЛАУ малы по абсолютной величине.

Теорема 2.1. Найдется такая константа , не зависящая от , что при  справедливы оценки

                                         (2.7)

а при

                                     (2.8)

Точно такие же оценки справедливы при замене  на  или  на .

Доказательство. В дальнейшем константы, не зависящие от  (возможно различные), будем обозначать одним символом . Рассмотрим функцию . Пусть . В силу аппроксимационных свойств пространств сплайнов, финитности  и оценок (2.2) найдется такая функция , что

Но ортогональна , поэтому

          (2.9)

Отсюда

и оценка (2.7) установлена. Оценка (2.8) устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что матрица системы (2.5) является псевдоразреженной, т.е. в ней очень много малых по модулю элементов. Учитывая, что СЛАУ для интегральных уравнений Фредгольма второго рода хорошо обусловлены, пренебрегая этими малыми элементами, получим хорошую разреженную аппроксимацию этой матрицы, для которой можно применять алгоритмы для разреженных систем (2.4).

.4. Тестовый пример

Рассмотрим решение интегральных уравнений (2.3) с помощью метода Галеркина, где

Точное решение этой задачи имеет вид . Матрица  СЛАУ (2.5) заменялась разреженной аппроксимацией , элементы  определяются формулами

и решалась СЛАУ с матрицей . Результаты счета сведены в три таблицы для вейвлет первой, второй и третьей степени соответственно. В каждой из клеток таблиц 2.1-2.3 содержатся два числа, первое из которых - отношение числа ненулевых элементов матрицы  к числу всех элементов матрицы, характеризует разреженность матрицы, а второе - погрешность приближенного решения в максимум-норме, характеризует близость матриц  и . В каждой таблице по вертикали указана величина барьера , а по горизонтали- число узлов самого мелкого разбиения отрезка .

Таблица 2.1

Таблица 2.2

Таблица 2.3

3. Вейвлеты в системе MATLAB

.1 Вейвлеты пакета wavelet toolbox

В пакете wavelet toolbox принята классификация вейвлетов - по виду образующей функции  и по фамилии ученого, предложившего вейвлет. Ниже приводится список семейств вейвлетов пакета и их краткие базовые имена при использовании в командах и аргументах функций.

'haar' - Хаара.

'db' - Добеши.

'sym' - Симлета.

'coif' - Коифлетса.

'bior' - биортогональный.

'rbio' - обратный биортогональный.

'meyr' - Мейера.

'dmey' - дискретный Мейера.

'gaus' - Гаусса.

'mexh' - мексиканская шляпа.

'morl' - Морлета.

'cgau' - комплексный Гаусса.

'shan' - Шеннона.

'fbsp' - частотный В-сплайновый.

'cmor' - комплексный Морлета.

Семейства вейвлетов, как правило, имеет несколько типов (размера/порядка), которые указываются добавлением к базовому имени определенного числа (чисел), например:db1, 'gaus3', 'bior2.6', 'fbsp2-1-0.5'. Команды вызова информации по вейвлетам:

- >> wavemngr('read') - названия и краткие базовые имена,

>> wavemngr('read',1) - полный перечень всех семейств и их состава,

>> waveinfo('семейство') - полная информация о вейвлетах семейства.

Пример - waveinfo('gaus').

Команда (функция) wavemngr позволяет добавлять (с параметром 'add'), удалять, сохранять и считывать новые (собственные) вейвлеты. Форматы команды:

>> wavemngr(['add',]FN,FSN,WT,NUMS,FILE[,B]),

- >> wavemngr(['add',]FN,FSN,WT,{NUMS,TYPNUMS},FILE[,B]),

где FN - название семейства, FSN - короткое имя семейства, WT - тип вейвлета, NUMS - список параметров вейвлета (разделяются пробелами, конечный с двумя звездочками **), TYPNUMS - формат входного значения ('integer', 'real' или 'string'), FILE - имя mat или m-файла, B - вектор нижней и верхней границы эффективной поддержки вейвлетов (квадратные скобки в перечнях параметров команд указывают на возможность отсутствия или на необязательность данных параметров). Значения параметра WT могут быть следующие: WT=1 для ортогонального вейвлета, WT=2 для биортогонального, WT=3 для вейвлета с масштабирующей функцией, WT-4 без масштабирующей функции, WT=5 для комплексного вейвлета без масштабирующей функции. После добавления семейства в пакет он включается в список информационных команд.

Пример задания функции

wavemngr('add','Mainwave','mnw',1,'1 2 3','mainw1')

Вейвлетная функция wavefun возвращает значения детализирующей psi-функции  и связанной с ней масштабирующей phi-функции  (функции аппроксимации), если последняя существует. Полный формат (для биортогональных вейвлетов) на сетке :

[Phi1,Psi1,Phi2,Psi2,X]=wavefun('wname',ITER).

Количество точек сетки  равно 2ITER. Phi1,Psi1 - векторы функций  и  разложения (декомпозиции) сигналов (в однострочных массивах), Phi2,Psi2 - векторы функций  и  восстановления (реконструкции) сигналов. Для ортогональных вейвлетов выходные массивы Phi2 и Psi2 не задаются. Для вейвлетов без масштабирующих функций не задается также массив Phi1. Если массив Х значений оси 'х' не нужен, он также может не задаваться. При расчетах аналитически задаваемых вейвлетов (типа 'gaus') параметр ITER определяет размер сетки  и, соответственно, интервал дискретизации вейвлета с учетом конечности его задания.

Пример просмотра процесса итерации вейвлета 'sym2'

iter=10; wav='db2';i=1: iter

[phi,psi,x]=wavefun(wav,i); plot(x,psi); hold on; hold off

Рис. 3.1

Примечание: Текст программы можно копировать и подставлять непосредствен но в командную строку MATLAB после знака ввода '>>'.

Средняя частота вейвлета определяет положение максимума пика его Фурье-образа на оси частот (в герцах). Формат функции:

Q=centfrq('wname'[,ITER]),

где ITER - количество итераций, если вейвлет 'wname' не задан аналитической функцией и вычисляется методом итераций.

Пример определения средней частоты и построения сравнительных графиков вейвлета db2 и гармоники с частотой, равной средней частоте вейвлета, приведен на рис. 3.2.

>> f=centfrq('db2',16,'plot'); grid=0.6667

Рис. 3.2.

3.2 Различные примеры функций вейвлет-анализа в MATLAB.

Функция intwave - первообразная вейвлет-функции .

Вычисляет первообразную функции  как интеграл функции  вейвлета ‘wname’ от  до переменной точки .

[integ,X]=intwave(‘wname’,N),

[integ,X]=intwave(‘wname’).

Значения параметров:

 - количество итераций(по умолчанию );

- массив значений переменной . Он состоит из точек, равномерно расположенных на носителе вейвлета с шагом . Если носитель имеет длину , то длина массива  равна  точка сетки , т.е. концевые точки носителя включаются; integ - значения первообразной функции  в точках . Функция  аппроксимируется на  точках сетки . Выходной массив integ является действительным или комплексным в зависимости от типа вейвлета.

Для биортогональных вейвлетов функция [intdec,x,intrec]=

=intwave(‘wname’,N) вычисляет интегралы intdec и intrec вейвлет-функций разложения  и восстановления . Выражение [integ,X]=intwave(‘wname’) эквивалентно [integ,X]= intwave(‘wname’,8).

Пример 1. Для нахождения первообразной вейвлет-функции Добеши  запускаем программу MATLAB. После чего перед нами появляется главное меню программы MATLAB, показанный на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Главное меню программы MATLAB

Далее в командной строке вводим следующий алгоритм для нахождения первообразной данной вейвлет-функции:

[phi,psi,xval]=wavefun('db4',7);(211);plot(xval,psi);title('Wavelet');

[integ,xval]=intwave('db4',7);(212);plot(xval,integ);(['Wavelet integrals over [-Inf x] for each value of xval']);

После того как ввод алгоритма закончен, нажимая на клавишу Enter мы вызываем графическое решение примера. Появляться окно с двумя графиками, показанные на рис. 3.4. Первый график - это график самой вейвлет-функции Добеши, а второй - график первообразной этой функции.

Рис. 3.4. График вейвлет-функции Добеши и его первообразной.

Одноуровневое дискретное одномерное вейвлет-преобразование dwt.

В одноуровневом дискретном одномерном вейвлет-преобразовании используются следующие функции:

·    dwt - одноуровневое дискретное одномерное вейвлет-преобразование;

·        idwt - обратное одноуровневое дискретное одномерное вейвлет-преобразование;

·        dwtmode - мода расширения дискретного вейвлет-преобразования.

Дискретное вейвлет-преобразование. функция вычисляет аппроксимирующие коэффициенты cA и детализирующие коэффициенты cD первого уровня вейвлет-преобразования сигнала, заданного вектором . Коэффициенты получаются сверткой сигнала  с фильтром разложения нижних частот Lo_D для аппроксимации с фильтром разложения нижних частот Hi_D для детализации, а затем сопровождаются двоичной децимацией.

Команда dwt употребляются в следующих формах:

[cA,cD]=dwt(s,’wname’),[cA,cD]=dwt(s,’wname’,’mode’,MODE),

Функция [cA,cD]=dwt(s,’wname’) вычисляет аппроксимирующие коэффициенты cA и детализирующие коэффициенты cD вектора s. Строка wname - имя вейвлета, для которого возможны быстрые алгоритмы. Это - haar, db, sym, coif, bior, rbio, dmey. Функия [cA,cD]=dwt(s,Lo_D,Hi_D) находит вейвлет разложение, как выше, используя вместо имени вейвлета его низкочастотный фильтр разложения Lo_D и высокочастотный фильтр разложения Hi_D.

Параметр MODE определяет метод расширения данных для вейвлет-разложения. Например, [cA,cD]=dwt(s,’db2’,’mode’’sym’).

Пример 2. Зададим сигнал . Найдем его разложение, используя вейвлет Хаара, затем - Добеши .

n=1:20;s=sin(0.5*n);

[cal,cd1]=dwt(s,'haar');(311);plot(s);title('Original signal');(323);plot(cal);title('Approx. coef. for haar');(324);plot(cd1);title('Detail coef. for haar');

[ca2,cd2]=dwt(s,'db4');(325);plot(ca2);title('Approx. coef. for db2');(326);plot(cd2);title('Detail coef. for db2');

Ниже на рис. 3.5 приведено графическое решение.

Рис. 3.5 Разложение данного сигнала используя вейвлеты Хаара и Добеши

Непрерывное вейвлет-преобразование cwt.

Команда cwt вычисляет вейвлет-коэффициенты одномерного сигнала, используя непрерывное вейвлет-преобразование.

Пусть  - сигнал и  - вейвлет. При непрерывном преобразовании вейвлет коэффициенты сигнала , соответствующие масштабному коэффициенту  и положению , определяются формулой:

.

Если сигнал  является дискретным, заданным выборкой значений , то в качестве  можно взять кусочно-постоянную функцию, определенную следующим образом:  , при . Параметр  пробегает значения с шагом , соответствующие длине сигнала , т.е. . Полагаем, что значения масштабного параметра  также дискретны и составляют вектор, который далее обозначается SCALES.

Основное отличие команды cwt от дискретного многоуровневого вейвлет-преобразования wavedec заключается в том, что в cwt можно брать любые значения масштабного коэффициента , тогда как в wavedec используются степени двойки.

Для команды cwt предусмотрена возможность графического изображения вейвлет-коэффициентов сигнала , называемое вейвлет-спектрограммой сигнала.

Синтаксис cwt:

=cwt(s,SCALES,’wname’).=cwt(s,SCALES,’wname’,’plot’),=cwt(s,SCAKES,’wname’,PLOIMODE),=cwt(s,SCALES,’wname’,PLOTMODE,XLIM).

Функция COEFS=cwt(s,SCALES,’wname’) вычисляет вейвлет-коэффициенты вектора , когда  принимает положительные значения из вектора SCALES, используя вейвлет ’wname’. Сигнал  вещественный, вейвлет может быть вещественным или комплексным.

Для каждого значения масштабного коэффициента  в пределах вектора SCALES вейвлет-коэффициенты  вычисляются для и и сохраняются в виде вектора-строки COEFS(i,:), соответствующей -му значению параметра a=SCALES(i).

Результат COEFS является  на  матрицей, где  является длиной вектора SCALES, . Результат COEFS является вещественной или комплексной матрицей в зависимости от типа вейвлета.

Функция COEFS=cwt(s,SCALES,’wname’,’plot’) вычисляет и создает вейвлет-спектрограмму сигнала .

Таблица 3.1

По умолчанию принят вариант окраски absglb, т.е.

COEFS=cwt(…,’plot’) эквивалентно COEFS=cwt(…,’absglb’).

Функция COEFS=cwt(s,SCALES,’wname’,PLOTMODE,XLIM) вычисляет и создает вейвлет-спектрограмму сигнала  с указанием пределов изображения XLIM=[x1 x2] по горизонтали, .

Пример 3. Варианты написания команды.

=linspace(-1,1,512);s=1-abs(t);

c=cwt(s,1:32,'cgau4');=cwt(s,[64 32 16:-2:2 1.5],'morl');=cwt(s,1:64,'sym4','abslvl',[100 400]);

Результаты показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6 Вейвлет коэффициенты одномерного сигнала

Функции в MATLAB для удаления шума.

Функция wden автоматическое удаление шума(1-D).

Функция wden автоматически удаляет шум одномерного сигнала , используя вейвлеты. Применяются в виде:

[XD,CXD,LXD]=wden(X,TPTR,SOHR,SCAL,N,’wname’),

[XD,CXD,LXD]=wden(C,TPTR,SOHR,SCAL,N,’wname’).

Первая версия функции вычисляет очищенную от шума версию XD выходного сигнала , используя пороговую обработку вейвлет-коэффициентов. Дополнительно находит вейвлет-коэффицинеты [CXD,LXD] разложения очищенного сигнала XD.

Исходные параметры:

·        - сигнал;

·        TPTR - строка, определяющая выбор порога:

- ‘rigrsure’ - адаптивный выбор порога, используя принцип Штейна и несмещенной оценки риска (SURE);

?  ‘heursure’ - эвристический вариант первого выбора;

?      ‘qtwolog’ - универсальный порог sqrt(2*log(length(X)));

?      ‘minimaxi’ - мини-максный порог;

• SOHR=’s’ или ‘h’ - выбор мягкого или жесткого;

• SCAL - строка, которая определяет мультипликативное пороговое перемасштабирование. Если шум вне пределов  или не белый, то порог должен быть перемасштабирован с использованием оценки уровня шума. Возможны следующие варианты:

‘one’ - без перемасштабирования, когда используется базовый метод;

‘sln’ - для перемасштабирования порога с использованием оценки уровня шума на базе коэффициентов первого уровня;

‘mln’ - для перемасштабирования порога с использованием оценки уровня шума, зависящей от уровня разложения;

• N - уровень вейвлет-разложения и ’wname’ - имя ортогонального вейвлета.

Во втором случае функция wden производит тоже самое, но использует уже полученное вейвлет-разложение [C,L] исходного сигнала до уровня N и ортогональный вейвлет ’wname’.

Пример 4. Создаем зашумленный сигнал функцией wnoise. Для удаления шума используем мягкий эвристический метод SURE. Разложение  берем до уровня 5 по вейвлету sym8.

=3;init=2055615866;

[xref,x]=wnoise(3,11,snr,init);

xd=wden(x,'heursure','s','one',5,'sym8');(311),plot(xref),axis([1 2048 -10 10]);title('original signal');(312),plot(x),axis([1 2048 -10 10]);title('Noisy signal');(313),plot(xd),axis([1 2048 -10 10]);title('De-noised signal - heuristic SURE')

Результат показан на рис. 3.7.

Рис. 3.7. График данного сигнала, зашумленного и обесшумленного соответственно.

Функция wdencmp - удаление шума и сжатие при помощи вейвлетов(1-D,2-D).

[XC,CXC,LXC,PRO,PRL2]=(‘gbl’,X,’wname’,N,THR,SORH,KEEPAPP),

[XC,CXC,LXC,PRO,PRL2]=wdencmp(‘lvd’,X,’wname’,N,THR,SORH),

[XC,CXC,LXC,PRO,PRL2]=wdencmp(‘lvd’,C,L,’wname’,N,THR,SORH).

Описание. Случай параметра ‘gbl’. Функция производит:

·   XC - очищенную от шума версию входного сигнала X (1-D или 2-D);

·        [CXC,LXC] - структуру вейвлет-разложения сигнала XC;

·        PRO - оценку числа обнуленных коэффициентов сигнала X в процентах;

·        PRL2 - отношение -норм сжатого и первоначального сигнала в процентах. PRL2=100(norm(CXC)/norm(С))2, где [C,L] - вейвлет-разложение X. Если X - одномерный сигнал и ‘wname’ - ортогональный вейвлет, то PRL2=100.

Функция использует:

·   X - сигнал, или изображение;

·        ‘wname’ - имя вейвлета и N - уровень вейвлет разложения;

·        THR - значение порога;

·        SORH=’s’ или ‘h’ - выбор мягкого или жесткого порогового метода;

·        KEEPAPP=1, то коэффициенты аппроксимации не подвергаются пороговой обработке, иначе это возможно.

Функция wdencmp(‘gbl’,X,’wname’,N,THR,SORH,KEEPAPP) выполняет то же самое, используя вейвлет-разложение [C,L] исходного сигнала до уровня N.

В одномерном случае и опции ‘lvd’. Функция выполняет то же самое, но используя зависимые от уровня пороги, указанные в векторе THR (THR должен иметь длину N). Кроме того, коэффициенты аппроксимации сохраняются.

Для двумерного случая и опции ‘lvd’. В этом случае THR должен быть матрицей , содержащей зависимые от уровня пороги в трех направлениях: по горизонтали, по диагонали и по вертикали.

Отметим, что сравнительно с wden (автоматическое удаление шума), wdencmp дает больше возможностей и можно осуществить свою стратегию удаления шума. Пример 5. Загружаем изображение девушки. Делаем вейвлет-разложение  при . Используем wdencmp для компрессии изображения.

woman; x=X(100:200,100:200);=size(map,1);n=5;w='sym2';

[c,l]=wavedec2(x,n,w);thr=20;

[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,l,w,n,thr,'h',1);(pink(nbc));(221),image(wcodemat(x,nbc)),title('Original image');(222),image(wcodemat(xd,nbc)),title('De-noised image');

xlab1=['2-norm rec.: ',num2str(perfl2)];=['% - zero cfs: ',num2str(perf0),'%'];

xlabel([xlab1 xlab2]);

Оригинальное изображение и изображение после удаления шума показано на рис. 3.8.

Рис. 3.8 Данное изображение (слева) и изображение после удаления шума(справа)

Слияние двух изображений

Функция wfusimg - слияние двух изображений.  Синтаксис:

XFUS=wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMEH)

[XFUS,TXFUS,TX1,TX2]=

wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMETH)

wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMETH,FLAGPLO

Описание. Принцип слияния изображений с использованием вейвлетов заключается в слиянии коэффициентов аппроксимации и детализации вейвлет-разложений двух оригинальных изображений. После вейлет-разложения изображений выбор коэффициентов для нового изображения делается из коэффициентов аппроксимации и детализации оригинальных изображений. Возможен выбор максимального, минимального, среднего, элемента первого изображения, элемента второго изображения, или случайным выбором элемента. Функция

XFUS=wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMETH)

возвращает изображение XFUS, полученное слиянием двух оригинальных изображений X1 и X2. Каждый метод слияния, заданный параметрами AFUSMETH и DFUSMETH, определенным способом объединяет коэффициенты разложений X1 и X2 на уровне LEVEL и использует вейвлет WNAME.

Матрицы X1 и X2 должны иметь один и тот же размер и должны быть связаны с изображениями общей цветовой картой colormap. Параметры

AFUSMETH и DFUSMETH определяет метод слияния для приближений и деталей соответственно. Функция

[XFUS,TXFUS,TX1,TX2]=

wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMETH)

возвращает, в дополнение к матрице XFUS, три объекта класса WDECTREE, ассоциированные с XFUS,X1 и X2 соответственно. Функция

wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMETH,FLAGPLOT)

строит также графики объектов TXFUS,TX1 и TX2.

Fusmeth обозначает AFUSMETH или DFUSMETH. Доступные методы слияния:

·   простой - может быть ‘max’,’min’,’mean’,’img1’,’img2’ или ‘rand’, когда слияние коэффициентов аппроксимаций и деталей, полученных из X1 и X2 , делается выбором максимального, минимального, среднего из соответствующих элементов двух изображений, элемента первого изображения, элемента второго изображения, или случайным выбором элемента;

·        зависящий от параметра - в следующей форме:

Fusmeth=struct(‘name’,nameMETH,’param’,paramMETH),

где nameMETH может быть:

?  ‘linear’;

?      ‘UD _fusion’ - слияние сверху вниз;

?      ‘DU_fusion’ - слияние снизу вверх;

?      ‘RL_fusion’ - слияние справа налево;

?      ‘UserDEF’ - пользовательское слияние.

Пример 6. Восстановленное изображение из двух нечетких изображений. Загружаем две оригинальные нечеткие фотографии. Файлы cathe 1_mat и cathe_2.mat находятся в каталоге C:\ProgramFiles\MATLAB\R2006a\toolbox\wavelet

\wavedemo. Выполняю слияние уровня 5, используя sym4, выбором максимумов абсолютных значений коэффициентов и аппроксимации, и детализации.

load cathe_1;X1=X;cathe_2;X2=X;=wfusimg(X1,X2,'sym4',5,'max','max');(map);(221),image(X1),axis square,title('Catherine 1');(222),image(X2), axis square,title('Catherine 2');(223),image(XFUS),axis square,title('Synthesized image');

Рис. 3.9 Восстановленное четкое изображение из двух не четких

Заключение

В данной дипломной работе я рассмотрел основы теории вейвлетов. Детально изучил различные виды вейвлет-преобразований (вейвлеты Хаара, Мейера, Добеши, непрерывные вейвлет-преобразования в одномерном случае, многомерные обобщения непрерывного вейвлет-преобразования), рассмотрел примеры двумерных вейвлетов, построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет. Применил вейвлет-преобразования для решения интегральных уравнений. Рассмотрел приближенное решение задач для уравнений типа свертки и метод Бубнова-Галеркина. Изучил особенности системы MATLAB для исследования вейвлет-преобразований. С помощью системы MATLAB получил графическое представление поведения различных вейвлет-преобразований. Рассмотрел применение вейвлет-преобразований для улучшения качества изображения. Исследовал полученные решения интегральных уравнений с помощью системы MATLAB.

Список использованных источников

1.      Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. УФН. - 1996. - Т. 166. - № 11.-С. 1145-1170.

2.      Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразований. Основные свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН. 1994. № 1891. 56 с.

.        В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2004.

.        В.И.Воробьев, В.Г. Грибунин "Теория и практика вейвлет-преобразования" Военный университет связи С-Петербург, 1999г. 208с.

.        Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - М.; Ижевск: РХД, 2001.

.        Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т.171. C.465-561.

.        Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб: Питер, 2002.

.        Захаров В.Г. Вейвлет анализ: теория и приложения. Часть 1. Непрерывное вейвлет-преобразование. - Пермь: ПГУ, 2003. - 100с.

9.      Краснов М. Л. Интегральные уравнения: введение в теорию. - М.: Наука, 1975.

.        Лотоцкий Р.В. Применение преобразования всплесков для сжатия графических изображений. // Проблемы управления и информатики №4, 2000 с. 116-127.

11.    Лукьяненко В.А. Некоторые алгоритмы приближенного решения интегральных уравнений типа свертки // Динам.системы. - 1992. Вып.11. - С.124-132.

.        Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Быстрое вейвлетное преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи инф. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.

.        Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи мат.наук - 1998.-53, № 6(324).

.        Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. - Москва: ДМК Пресс, 2008г. - 448с.

.        Чуи К. Введение в вейвлеты. - М.: Мир, 2001, 412с.

.        Яковлев А. Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов. М.: Физматлит, 2003. 176 с.

17.    Grossman A, Morlet J, SIAM J Math. Anal. 15 723(1984).