Приближение функций

Приближение функций

ВВЕДЕНИЕ

Овладеть практическими навыками применения простейших алгоритмов линейного и нелинейного сглаживания данных (функций, заданных табличным способом) и их численного дифференцирования, а также получение навыков проведения оценок полученных результатов относительно погрешностей и коэффициентов обусловленности.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для заданного ряда экспериментальных измерений функции в равноотстоящих узлах . Требуется произвести сглаживание результатов измерений, представленных таблично (Таблица 1). Для этого необходимо использовать алгоритмы линейного и нелинейного сглаживания.

Выполнить численное дифференцирование для исходных и сглаженных данных, используя формулы численного дифференцирования, основанные на формуле Бесселя и на второй формуле Гаусса.

Для заданных формул численного дифференцирования вычислить коэффициенты обусловленности, сравнить полученные значения и сделать рекомендации по применению соответствующих методов.

Определить оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения. Сравнить полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента в табличном представлении функции и сделать соответствующие рекомендации по изменению процедуры проведении последующих измерений значений функции.

2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

.1 MEDSMOOTH и SUPSMOOTH

Проведем сглаживание данных с использованием встроенных функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH.

Присваиваем переменной ORIGIN значение, равное единице.

Из таблицы 1 введем исходные данные и разместим их в массивах (x), (y).

Рисунок 1 - Графическое сравнение функций medsmooth и supsmooth с исходной функцией

2.2 Линейное сглаживание данных по трем и пяти точкам

Используя алгоритм линейного сглаживания данных по трем точкам изобразим на одном графике исходные (у) и сглаженные данные.

Рисунок 2 - График данной функции и сглаженных данных (по трем точкам)

Проведем линейное сглаживание данных по пяти точкам и построим графики исходных и сглаженных данных.

Рисунок 3 - График данной функции и сглаженных данных (по пяти точкам)

2.3 Нелинейное сглаживание данных по семи точкам

Проведем нелинейное сглаживания по семи точкам и изобразим на одном графике исходные и сглаженные данные. сглаживание.

Рисунок 4 - График данной функции и сглаженных данных (по семи точкам)

Построим таблицы сглаженных данных, полученных разными методами.

Таблица 1 - Исходные данные и данные, полученные в результате сглаживания линейными и нелинейным методами

2.4 Сравнение результатов сглаживания

Рисунок 5 - Графическое сравнение результатов сглаживания с исходной функцией

Сравним (графически) линейные и нелинейный методы сглаживания с исходной функцией.

Анализируя график, можно сделать вывод о том что наиболее точным является метод medsmooth.

2.5 Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных

Для численного дифференцирования данных воспользуемся формулами, приведенными ниже. Вычисления выполним в среде MathCAD, результаты сравним графически.

Рисунок 6 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных

Изменим шаг дифференцирования, уменьшив его в 4 раза.

Рисунок 7 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг уменьшен в 4 раза)

Изменим шаг дифференцирования, увеличив его в 4 раза.

Рисунок 8 - Сравнение результатов дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг увеличен в 4 раза)

В результате делаем вывод о том, что при уменьшении шага, получаем более точный результат.

2.6 Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных с помощью второй формулы гаусса и формулы Бесселя

Формула Бесселя имеет вид:

Формула Гаусса имеет вид:

Выполним преобразование формулы с учетом, что

Тогда формулы Бесселя и Гаусса примут вид для исходных данных:

Таблица 2 - Первая и вторая производные по методу Бесселя и Гаусса

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 9 - Сравнение результатов первой производной по формуле Бесселя и Гаусса

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 10 - Сравнение результатов второй производной по формуле Бесселя и Гаусса

Полученные результаты имеют достаточно большой разбеги и сильно разнятся по значению, что свидетельствует о плохой обусловленности задачи.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям погрешностей исходных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны существенные изменения решения. Мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на второй формуле Гаусса:

линейный сглаживание гаусс бессель

Так как 6000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на формуле Бесселя:

Так как 10000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим оптимальное значение шага дифференцирования.

Оценка максимальной погрешности интерполяции исходной функции на всем отрезке дифференцирования [a, b] для четырёх узлов интерполяции (n=3) удовлетворяет условию:

, где

Полная погрешность представляет собой сумму вычислительной погрешности и погрешности интерполяции на интервале дифференцирования и не превосходит величины:

Минимизация по h функции ε1(h) приводит к следующей формуле для вычисления оптимального значения шага дифференцирования:

Из полученных значений можно сделать вывод, что оптимальное значения шага дифференцирования намного превышает значение шага в нашей функции. Следовательно, чтобы задача стала хорошо обусловленной, следует взять шаг h=0.275.

ВЫВОД

В ходе данной лабораторной работы были проведены процедуры сглаживания -  линейного по трем и пяти точкам и нелинейного по семи точкам, а также сглаживание с использованием функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH. Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что сглаживание по трем и пяти точкам, а также функция SUPSMOOTH дают самые гладкие графики, в то время как нелинейное сглаживание по семи точкам, и функция MEDSMOOTH дают более приближенные к оригинальным значения.

В результате выполнения численного дифференцирования для данных, с использованием формул численного дифференцирования, основанных на второй формуле Гаусса и на формуле Бесселя. Были вычислены коэффициенты обусловленности (6000 для формулы Гаусса и 10000 для формулы Бесселя), сравнив полученные значения,  был сделан вывод о том, что задача плохо обусловлена для обоих методов численного дифференцирования.

Также было определено оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения: . Сравнив полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента (h=0.005) в табличном представлении функции, был сделан вывод, что при проведении последующих измерений значений функции следует увеличить шаг для лучшей обусловленности задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.   Учебно-методические пособие «Методы решения задач вычислительной математики» для изучения дисциплины «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки «Компьютерная инженерия» дневной и заочной форм обучения. / Сост. Е.В. Козлова. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2009.

2.      Методические указания к выполнению лабораторной работы №2 «Приближение функций» по дисциплине «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки «Компьютерная инженерия» дневной формы обучения /Сост. Е.В. Козлова. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2014.- 16с.