Надёжность авиационной техники
Надёжность авиационной техники
1. Задача 1
Выполнить анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ парка ЛА, для чего:
определить вид случайных величин наработки изделий (реализаций);
построить ранжированную временную диаграмму;
выбрать размах и число интервалов временной диаграммы.
Решение
Т.к. исходные данные варианта не содержат сведений о наработке изделий «ВВР 4487T» до цензурирования, необходимо использовать только данные наработок изделий до отказа (таблица П. 2.3). Поэтому в данном случае выполним построение ранжированной временной диаграммы наработок до отказа τi, i=1, ñ; (смотри Приложение 1).
Проведённые крайние сечения ранжированной диаграммы левее минимального значения t=1025 ч. и правее максимального значения t=1088 ч. дают значение размаха ν=1900-1000=900 (ч), полученное значение которого разбиваем на L=9 неравных интервалов Δti с сечениями, соответствующими границам интервалов, из которых первые 6 интервалов с шагом 75 ч, а последние 3 - с шагом 150 ч. Правое крайнее сечение диаграммы будем считать также границей периода эксплуатационных наблюдений Т=1900 ч.
2. Задача 2
Выполнить оценку показателей безотказности параметрическим методом для однократно цензурированной выборки, для чего:
а. Выполнить оценку и построение статистической плотности распределения f*(t) и статистической интенсивности отказов λ*(t);
б. Выполнить оценку параметров распределения для однократно цензурированной выборки: Тср.*; а* и б*; mt* и σt*; (в зависимости от принятого закона распределения наработки до отказа).
в. Выполнить проверку гипотезы о законе распределения для однократно цензурированной выборки;
г. Выполнить оценку показателей безотказности для принятого закона распределения наработки до отказа.
Решение
. Для оценки показателей безопасности параметрическим методом, выполним построение ранжированной временной диаграммы для однократно цензурированной выборки.
. Выполним построение диаграмм плотности вероятности наработки до отказа f*(t) и интенсивности отказов λ*(t);
Искомые величины определим по формулам:
f*(t)=Δn/(Ni·Δt),
λ*(t)=Δn/([Ni-n(t)]·Δt), где:
Δni - число отказавших изделий в интервале Δti;
Ni - число изделий, наблюдаемых в интервале Δti;i(t) - число отказавших изделий до начала i-го интервала;
Ni= N-Σmi - общее число всех реализаций гистограммы, за исключением неполных реализаций. Результаты расчётов представим в виде таблицы 1 и гистограмм.
Таблица 1.
№ п/п123456789ti(ч)107511501225130013751450160017501900Δti(ч)757575757575150150150Δni111321111Nj20191817141211109f*(t) (·10-4)6,6677,0187,40723,52919,04811,1116,0616,6677,407ni(t)01236891011N202020202020202020mi888888888Ni121212121212121212Ni-ni(t)121110964321λ*(t) (·10-4)11,11112,12113,33344,44444,44433,33322,22233,33366,667
По результатам расчётов строим гистограммы f*(t) и λ*(t):
f*(t)(·10-4)23,52919,04811,1116,667 7,0187,4076,0616,6677,407t
Гистограмма плотности вероятности наработки до отказа f*(t)
λ *(t) (·10-4)66,66744,44444,44433,33333,33322,22211,11112,12113,333t
Гистограмма интенсивности отказов λ*(t)
При сравнении полученных гистограмм с теоретическими кривыми f(t) и λ(t) по их виду, предполагаем, что в нашем случае имеется наибольшее сходство с нормальным законом распределения.
Выполним оценку параметров распределения методом максимального правдоподобия.
Т.е. построим функцию правдоподобия L (τ, θ), зависящую от результатов наблюдений выборки из N изделий и параметра θ неизвестного закона распределения F (τ, θ). Найдём оценку θ* при максимальной вероятности наблюдаемого результата Р {τ, θ}→max, т.е. построим L (τ, θ)=П∙Р {τ, θ} и определим max из условия δL (τ, θ)/δθ=0 и соответствующее θ*.
Для предполагаемого закона распределения определим математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение σt, для чего воспользуемся выражениями:
σt=(T-Ť1)/[c∙φ(k) - k] и mt=k∙σt+T, где:
T - период наблюдения, Ť1 - среднее арифметическое выборки наработок до отказа,
Ť 1=Σ ti/n, Ť22=Σ ti2/n, С= Σ(Ni-n)/n∙L,
(здесь L-число интервалов группирования L=9).
Используя метод максимума правдоподобия, воспользуемся двумя уравнениями для определения искомых параметров распределения:
1=(Ť2+Ť12)/(Ť-Ť12) и Y2=(1+ckφ(k) - [cφ(k)]2)/[cφ(k) - k]2,
для чего, определив Y1,
приравняем его значение Y2, т.е. Y1= Y2;
В качестве периода наблюдения выберем значение крайней правой границы размаха временной диаграммы ν=1900-1000=900 (ч), т.е. Т=1900 ч. Для определения Y1 определим значения T1, T2 и С, для чего, подставив значения ti, получим:
Ť1=(1025+1110+1180+1250+1275+1280+1310+1340+1405+1560+1720+1880)/12=1361.25;
Ť22=(10252+11102+11802+12502+12752+12802+13102+13402+14052+15602+17202+18802)/12=(1050625+1232100+1392400+1562500+1625625+1638400+1716100+1795600+1974025+2433600+2958400+3534400)/12=1726961.25, откуда Ť2=1314,139;
Тогда Y1=(1314,139+1361,25