Группы матриц
Курсовая работа
Группы матриц
Введение
Теория групп имеет большую и
содержательную историю. Возникшая в связи с теорией Галуа и для нужд этой
теории, она развивалась сперва в качестве теории конечных групп подстановок
(Коши, Жордан, Силов).
В дальнейшем
работа в общей теории групп становилась все более бурной и разносторонней и к
настоящему времени эта часть математики превратилась в широкую и богатую
содержанием науку, занимающую одно из первых мест в современной алгебре.
Понятно, что это развитие общей теории групп не могло игнорировать успехи, уже
достигнутые в теории конечных групп. Наоборот, многое при этом развитии
возникало из соответствующих частей теории конечных групп, причем руководящим было
стремление заменить конечность группы теми естественными ограничениями, при
которых данная теорема или данная теория еще остаются справедливыми и за
пределами которых они теряют силу. Очень часто, впрочем, вопрос, простой и
окончательно решенный в случае конечных групп, превращался в широко развитую и
далекую от завершения теорию; такова, например, теория абелевых групп, одна из
важнейших частей современной теории групп. Вместе с тем, возникли и некоторые
новые отделы, существенным образом связанные с рассмотрением бесконечных
групп--теория свободных групп, теория свободных произведений. Наконец, в
некоторых случаях - прежде всего в вопросе о задании группы определяющими
соотношениями - впервые удалось достигнуть четкости и строгости, недоступных
теории групп на предшествующем этапе ее развития.
Теория групп
далека еще от завершения. Многочисленность стоящих перед нею конкретных
проблем, а также наличие направлений, по которым работа началась лишь в самое
последнее время, позволяют считать, что общая теория групп еще не прошла через
вершину своего развития. Вполне своевременно, тем не менее, систематизировать
уже накопившийся богатый материал и этим дать широким кругам математиков
представление об основных направлениях современной теории групп, о ее методах,
о ее крупнейших достижениях и, наконец, о стоящих перед нею очередных проблемах
и о путях, по которым ее необходимо в ближайшее время развивать.
Целью курсовой
работы является изучение имеющейся литературы по теме «Группы матриц»,
систематизация имеющегося материала. Для достижения данной цели были поставлены
следующие задачи:
1. проанализировать
научную, учебную и методическую литературу по данной теме;
2. систематизировать
теоретические сведения по этой теме.
1.
Группы
1.1
Понятие
группы и примеры
Одним из частных случаев алгебр
являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях.
Алгебра G
= (G, *, ’ ) типа (2,1)
называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):
(1) бинарная операция 
ассоциативна,
т. е. для любых элементов a, b, c из G a(b*c) = (a*b)*c ;
(2) в G имеется
правый нейтральный элемент относительно операции *, то есть такой элемент е,
что a * e = a для всякого
элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G a * a’ = e.
Таким образом, группа - это непустое
множество с двумя операциями на нем - бинарной операцией * и унарной операцией
’, причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным
элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному
элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет
правый симметричный ему элемент относительно бинарной операции группы *.
Группа G = (G, *, ’)
называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы *
коммутативна, т. е. для любых a, b из G a * b = b a
Порядком группы G = (G,,’)
называется число элементов основного множества G группы,
если G конечно.
Если G -
бесконечное множество, то группу G называют группой бесконечного
порядка.
Алгебра G =(G, 
, -1 ) типа
(2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:
(1) бинарная операция •
ассоциативна, то есть для любых элементов a, b, c из G верно
равенство a(bc)=(ab)c;
(2) в G имеется
правая единица, то есть такой элемент e, что ae=a для всякого
элемента a из G;
(3) для любого элемента a из G выполняется
равенство aa-1 =e.
Понятие натуральной степени an элемента a
мультипликативной группы (G,,-1 )
определяется следующим образом:
a 0 = e, a n
= aa … a для n
N\{0}.
При аддитивной записи бинарную
операцию группы называют сложением и пишут a+ b вместо ab называя
элемент a+b суммой
элементов a и b. Элемент,
симметричный элементу a, обозначают (-a) и называют
противоположным элементу a. Нейтральный элемент относительно
сложения обозначают символом 0 или 0 G и называют
нулевым элементом или нулем группы. При аддитивной записи определение группы
формулируется следующим образом.
Алгебра G=(G, +, ’) типа
(2,1) называется группой, если её главные операции удовлетворяют условиям:
(1) бинарная операция +
ассоциативна, то есть для любых элементов a, b, c из G имеем a+(b+c)=(a+b)+c ;
(2) в G имеется
правый нуль, то есть такой элемент 0, что a+0=a для всякого
элемента a из G;
(3) для любого элемента a из G a+(-a)=0.
Свойства группы.
Ниже используется мультипликативная
форма записи операций группы.
. Для любого элемента a группы a-1 a = e то есть
правый обратный к a элемент является также левым
обратным.
. Для каждого элемента a группы
элемент a-1 является
единственным обратным элементом. Каждый элемент a группы
имеет единственный правый и единственный левый обратный элемент, причем оба они
совпадают с a-1
. Для любого элемента a группы ea = a, то есть
правая единица является также и левой единицей.
. Элемент е группы является
единственным единичным элементом группы. Он же является единственным левым и
единственным правым единичным элементом группы.
. Для любых элементов a, b группы
каждое из уравнений ax = b, и ya = b
относительно переменных x и y имеет в
группе единственное решение.
(закон сокращения). Для любых
элементов a, b, c группы из ac = bc следует a = b и из ca = cb следует a = b.
. Для любых элементов a, b, c группы из ab = a следует b = e и из ca = a следует c=e.
. В группе элемент a есть
обратный к a-1 , то есть
(a-1)-1 = a.
. Для любых элементов a, b группы из ab = e следует,
что b=a-1 и a=b-1
Это свойство непосредственно
вытекает из определения обратного элемента и свойства -2.
Примеры групп.
. Пусть Q - множество
всех рациональных чисел с обычным сложением н унарной операцией - операцией
перехода от числа a к противоположному числу (-a). Алгебра Q = (Q, +, -) типа
(2, 1) является группой. Она называется аддитивной группой рациональных чисел.
. Пусть Q* -
множество всех отличных от нуля рациональных чисел с обычным умножением и
унарной операцией -1 - операцией перехода от числа а к обратному числу a-1. Алгебра Q = (Q*, 
,-1 )
является группой. Эта группа называется мультипликативной группой рациональных
чисел.
.Пусть R -множество
всех действительных чисел с обычным сложением и унарной операцией -, ставящей в
соответствие каждому действительному числу r
противоположное чисел - r. Алгебра R* = (R, +, -)
является группой. Она называется аддитивной группой действительных чисел.
.Пусть R* -
множество всех отличных от нуля действительных чисел с обычным умножением и
унарной операцией -1 ставящей в соответствие каждому отличному от нуля числу r обратное
число r--1 .
Алгебра R* = (R*, , -1)
является группой. Эта группа называется мультипликативной группой
действительных чисел.
1.2
Подгруппы
Пусть G = (G, , -1 ) -
группа.
Подгруппой группы G называется
любая подалгебра этой группы.
Более подробно в соответствии с
определением подалгебры определение подгруппы можно сформулировать следующим
образом.
Алгебра H =(H, 
, -1 ) типа
(2, 1) называется подгруппой группы G = (G,,-1), если H 
G и
тождественное отображение множества H в G является
мономорфизмом алгебры H в G то есть выполняются
условия:
1) a
b
= ab для любых
a, b из
H;
) a-1 = a-1 для
любого a из H.
Запись H 
G означает,
что алгебра Н является подгруппой группы G.
Если Н G то из
определения подгруппы следует, что множество Н замкнуто в группе G значит
применение любой главной операции группы G к элементам
из Н приводит снова к элементу из Н. Кроме того, в силу условий (1) и (2) каждая
главная операция алгебры Н является ограничением соответствующей главной
операции группы У множеством Н.
Теорема 1.1. Любая подгруппа группы
является группой. Нейтральный элемент группы является нейтральным элементом
любой ее подгруппы.
Доказательство. Пусть Н = (Н,
, -1 ) - подгруппа мультипликативной
группы
G = (G, , -1 ) и е -
нейтральный элемент группы G.
Бинарная операция
алгебры Н
ассоциативна, так как в силу (1) для любых a, b, c из H имеем
a(bc)
= a(bc)
= (ab)c
= (ab) c.
Элемент e принадлежит
H, так как в
силу (1) и (2) для любого a из H имеем
e = aa-1 = aa-1 H. В силу (1)
для любого a из H верны
равенства ae = ae = a, то есть e является
правым нейтральным элементом относительно операции
В силу (2) для любого a из H получаем aa-1 = aa-1 = e, то есть aa1=e.
Следовательно, алгебра H является группой и e - ее
нейтральный элемент.
Пусть G = (G, , -1 ) -
мультипликативная группа и A -непустое подмножество множества G, замкнутое
относительно главных операций группы G. Пустьи -1 -
ограничения главных операций группы G множеством,
то есть
a b для
любых
a, b из
A; =a-1 для
любого
a из
A;
(3) A
=(A, , -1 )
является подгруппой группы G .Таким
образом, подгруппа А группы G однозначно
определяется непустым подмножеством А, замкнутым в G. Поэтому
вместо записи (3) пишут: «подгруппа А = (А, , -1 )» или
говорят: «множество А является подгруппой группы G
относительно операций • и -1».
Теорема 1.2. Бинарное отношение («быть
подгруппой») на множестве подгрупп данной группы рефлексивно, транзитивно и
антисимметрично и, следовательно, является отношением нестрогого порядка.
Теорема 1.3. Пересечение
произвольной (непустой) совокупности подгрупп группы G является
подгруппой группы G.
Группа называется циклической, если
она порождается одним элементом (одноэлементным множеством).
Примеры. 1. Пусть R+=(R, +, - ) -
аддитивная группа действительных чисел. Множество Q
рациональных чисел есть подмножество множества R замкнутое
относительно главных операций группы R+
.Следовательно, алгебра Q =(Q, +, - )
аддитивная группа рациональных чисел, является подгруппой группы R .
2. Пусть R* = (R*, , -1 ) -
мультипликативная группа действительных чисел. Множество Q* отличных
от нуля рациональных чисел есть подмножество множества R замкнутое
относительно главных операций группы R+.
Следовательно, алгебра
Q* = (Q*, , -1 )
мультипликативная группа рациональных чисел, является подгруппой группы R*.
Пусть G = (G, , -1 ) и H = (H, 
, -1 ) -
мультипликативные группы.
Говорят, что отображение h множества G в H - сохраняет
главные операции группы G если
выполняются условия:
(1) h(ab) =
h(a)h(b) для любых
a, b из
G;
(2)h(a-1 ) = (h(a))-1 для
любого a из G.
Гомоморфизмом группы G в группу H называется
отображение множества G в (на) Н, сохраняющее главные
операции группы G. Гомоморфизм группы G на H называется
эпиморфизмом.
Гомоморфизм h группы G на группу H называется
изоморфизмом, если h является инъективным отображением
множества G на H. Группы G и Н
называются изоморфными, если существует изоморфизм группы G на Н.
Запись G
Н означает,
что группы G и Н
изоморфны.
Гомоморфизм h группы G в группу H называется
мономорфизмом или вложением, если h является
инъективным отображением множества G в H.
Гомоморфизм группы G в себя
называется эндоморфизмом группы G. Изоморфизм
группы G на себя
называется автоморфизмом группы G.
Так, например, автоморфизмом
является тождественное отображение группы на себя.
Теорема 1.4. Если отображение h группы G = (G, , -1 ) в
группу H = (H,,-1 )
сохраняет бинарную операцию группы G ,то есть h(ab) = h(a)h(b) для любых a, b из G, то h переводит
единицу группы G в единицу группы H и является
гомоморфизмом.
Доказательство. Пусть e
- единица группы G
и e’ = h(e).
В силу (1)
h(ee) = h(e)h(e) = h(e), то есть e’e’=e’. Отсюда,
по свойству 7, следует, что e’ является единицей группы H.
Пусть a - любой
элемент группы G . В силу (1) из aa-1 = e следует h(a)h(a-1 ) = e’ По
свойству 9, отсюда вытекает, что (2) h(a -1 ) = (h(a))-1 для
любого a из G.
На основании (1) и (2)
заключаем, что h является
гомоморфизмом группы G
в H.
Теорема 1.5. Отношение
изоморфизма на каком-нибудь множестве групп рефлексивно, транзитивно и
симметрично, то есть является отношением эквивалентности.
Примеры. 1. Пусть Q*
- множество всех рациональных чисел, отличных от нуля, и
Q* = (Q*, , -1)
-мультипликативная группа рациональных чисел. Пусть Q+ -
множество всех положительных рациональных чисел и Q+ = (Q+, , -1 ) -
мультипликативная группа положительных рациональных чисел. Отображение h множества Q* на Q+,
определяемое формулой h(a) = |a| для
каждого a из Q*, где |а| -
абсолютное значение числа a, сохраняет главные операции группы Q*.В самом
деле, для любых a, b из Q* верны
равенства |ab| = |a| |b| и |a -1 | = |a| -1
.Следовательно, отображение h является гомоморфизмом группы Q* на Q* .
. Пусть R+ -
множество всех положительных действительных чисел и R+=(R+, , -1 ) -
мультипликативная группа положительных действительных чисел. Пусть R - множество
всех действительных чисел и R = (R, +, - ) -
аддитивная группа действительных чисел. Рассмотрим отображение f: R+ 
R,
определяемое формулой
f(x)
= log x
.Функция f есть инъективное
отображение множества R+
на R, сохраняющее
главные операции группы R+.
В самом деле, для любых х, у из R+
log(xy) = logx +
logy, log(x-1) = - logx.
Следовательно, f
является изоморфизмом группы R+
на группу R.
. Пусть g
- отображение множества R
на R+ определяемое
формулой
g(x)
= 2x . Отображение g
есть инъективное отображение R
на R+ и сохраняет
главные операции аддитивной группы R
=(R, +, - ), так как 2x+у
= 2х2у и 2-х = (2х)-1. Следовательно, g
является изоморфизмом аддитивной группы R
на мультипликативную группу
R = (R, , -1)
2.
Группы матриц
2.1 Полная
линейная группа
Полная линейная 
и
специальная линейная 
группы степени и над полем 
, что 
и
факторгруппа 
изоморфна мультипликативной группе
поля .
Матрица, у которой ниже главной
диагонали все элементы нули, а на диагонали все элементы единицы, называют
верхней унитреугольной матрицей. Множество всех верхних унитреугольных матриц
обозначают через 
. Очевидно, что является
группой.
Напомним, что характеристика
конечного поля всегда простое число и если - конечное
поле характеристики р, то число элементов в поле равно 
, где 
-некоторое
натуральное число, т.е. 
. Известно, что любые два конечных
поля равных порядков изоморфны между собой.
Пусть поле конечно и 
Если 
- другое
поле порядка 
, то поле изоморфно
полю . Этот факт доказывается в теории
полей. Но отсюда следует, что группы и 
изоморфны и
вместо можно писать 
.
Аналогично, вместо будем писать 
Заметим, что если 
-элементарная
абелева 
-группа порядка 
, записанная
аддитивно, то можно рассматривать векторное пространство 
над полем 
классов
вычетов по простому модулю , в котором аддитивной группой
является группа 
а умножение на элементы из поля определяется
по правилу:
, для любых 
и
При этом, очевидно,
.
Таким образом, доказана
Теорема 2.1. Элементарная абелева -группа
порядка изоморфна аддитивной группе
векторного пространства размерности 
над полем из элементов,
а группа автоморфизмов 
изоморфна полной линейной группе
Теорема 2.2.
(1) 
;
(2) 
;
(3) 
.
Доказательство. (1) Пусть - конечное
поле порядка
,
где - простое
число. Из элементов этого поля составляются строки невырожденных 
-матриц. В
каждой строке элементов. Поэтому число
всевозможных строк над полем равно 
. Подсчитаем
теперь число всевозможных невырожденных -матриц над
полем . Известно, что матрица является
невырожденной тогда и только тогда, когда никакая строка этой матрицы не
является линейной комбинацией остальных строк. Первая строка невырожденной
матрицы может быть любой, кроме нулевой. Поэтому для первой строки существует 
возможностей.
Вторая строка может быть любой, непропорциональной первой строке. Коэффициентов
пропорциональности столько, сколько элементов в поле , т.е. . Поэтому
для второй строки существует 
-возможностей.
Третья строка невырожденной матрицы не должна быть линейной комбинацией первых
двух строк. Очевидно, что число строк, являющихся линейной комбинацией двух
строк, равно 
Поэтому для третьей строки
существует 
возможностей. И т.д. Наконец,
последняя -я строка не должна быть линейной
комбинацией первых (п-1) строк. Поэтому для последней строки существует 
возможностей.
Таким образом, число невырожденных матриц равно
.
Это число равно порядку группы 
.
(2) Так как 
и 
,
То
.(3)
В верхней унитреугольной матрице
выше главной диагонали 
мест. Поэтому
.
Теорема 2.3. Группа 
является
силовской -подгруппой группы 
и группы 
.
Доказательство. Пусть 
, где - просто число
и 
. Так как
и
,
причем
не делится 
, то 
-силовская - подгруппа
группы .
Так как 
и
,
то силовская -подгруппа
группы 
.
Обратим внимание, что в следующей
теореме поле произвольное.
Теорема 2.4. (1) центр группы состоит из
скалярных матриц.
(2) центр группы 
состоит из
скалярных матриц с единичным определителем.
Доказательство. (1) Через 
обозначим
при 
единичную матрицу, а при 
- матрицу,
которая получается из единичной добавлением единицы на пересечении 
-й строки и 
-го столбца.
Так как 
=1, то 
. Пусть 
-произвольная
матрица, перестановочная с каждой матрицей . Так как
,
а
,
то из равенства 
получаем,
что
,
а 
. Таким
образом, при i,j=1,…,n получаем,
что B- скалярная
матрица. Таким образом, если матрица В перестановочна с каждой матрицей ,то В -
скалярная матрица.
Если 
- скалярная
матрица, 
, то 
для любой
матрицы 
, поэтому 
.
Обратно, если матрица 
, то она
перестановочна с каждой матрицей из , в
частности, с каждой матрицей 
. Поэтому
матрица В будет скалярной. Таким образом, 
(2) Из определения центра получаем,
что
.
Обратно, если 
, то матрица
В перестановочна со всеми матрицами из , в
частности, с каждой матрицей . Поэтому В
- скалярная матрица и . Отсюда следует, что
поэтому
.
Следствие 2.1.
(1)
;
(2) 
.
Доказательство. (1) Так как 
состоит из
скалярных матриц, то число таких матриц равно числу ненулевых элементов поля Р,
поэтому это число равно 
(2) 
состоит из
скалярных матриц 
, для которых 
. Так как
мультипликативная группа поля Р циклическая, то число решений уравнения равно
наибольшему общему делителю n и
Факторгруппу 
называют
проектинной полной (общей) линейной группой и обозначают через 
.
Факторгруппу 
называют проективной специальной
линейной группой и обозначают через 
.
Следствие 2.2.
(1) 
;
(2) 
, где 
.
Доказательство. Оба утверждения
вытекают из теорем 2.2 и следствия 2.2.
Для 
получаем
Следствие 2.3.
(1) 
;
(2) 
;
(3) 
;
(4) 
Теорема 2.5.
(1) 
.
В частности,
.
(2) При 
группа 
содержит
нормальную подгруппу индекса 2, изоморфную 
.
Доказательство. (1) Ясно, что обе
подгруппы 
и 
нормальны в
. По теореме 15.4 
. Но если 
, то 
-скалярная
матрица с единичным определителем, т. е. 
. Так как 
и 
- нечетное
число, то по теореме Лагранжа в мультипликативной группе поля Р нет элементов
порядка 2. Поэтому 
и D-единичная
матрица. Таким образом, 
,
в частности,
.
Так как 
, то все
требования прямого произведения выполняются и .Отсюда в
частности, следует, что 
.
(2) Пусть и 
. Ясно, что
К- нормальная подгруппа группы 
. По
следствию 15.5 
. Поэтому,
,
т.е. индекс К в группе равен 2.
Кроме того, 
содержит подгруппу 
которая имеет индекс 2.
2.2
Классические группы малых размерностей
.2.1 Общее определения
Курс
линейной алгебры и геометрии снабжает нас новыми образцами групп, которые
заслуживают того, чтобы остановиться на них чуть подробнее. Выделение в группах
преобразований аффинных, евклидовых и эрмитовых пространств подгрупп,
оставляющих на месте фиксированную точку (например, начало координат), приводит
к так называемым классическим группам GL(n),
SL(n),
О (n), SO
(n), U(n),
SU(n).
Отметим, что их истинное место - среди так называемых групп Ли. Следовало бы
добавить по крайней мере еще симплектическую группу Sp(n).
При небольших п говорят о классических группах малых размерностей. Желая
избежать большой зависимости от геометрии, напомним, что выбор
ортонормированного базиса в пространстве приводит к эквивалентному матричному
определению ортогональной и унитарной групп:
O(n)=
,
SO(n)=
,
U(n)=
,
U(n)=
.
Здесь 
=
- матрица,
получающаяся из А =
транспонированием и заменой
коэффициентов 
комплексно-сопряженными числами 
. Группы SL(n), SO(n),SU(n) носят
название специальных (линейных, ортогональных и унитарных). В частности,
O(1)={
1}, SO={1},
U(1)={
}, SU={1},
SO(2)=
U(1).
Изоморфизм между группами SO(2) и U(l) задается
естественным соответствием
Так как геометрическим изображением
комплексных чисел 
, 
, является
окружность S1 единичного
радиуса в R2, то
говорят еще, что группа SO(2) и окружность S1
топологически эквивалентны. Точный смысл этой терминологии разъясняется в курсе
геометрии.
Замечательная и гораздо менее
очевидная связь существует между группами SU(2), SO(3).
Остановимся предварительно на геометрическом изображении группы SU(2), которое
приведет нас впоследствии к геометрическому изображению группы SO(3).
2.2.2
Параметризация групп SU(2), SO(3)
По известной
теореме Эйлера каждый элемент группы SO(3)
собственных вращений трехмерного евклидова пространства R3
является вращением вокруг некоторой неподвижной оси.
, 
(1)
Отмечают вращениям вокруг осей Oz и Ox
соответственно на углы 
и 
. Используя
параметризацию вращений углами Эйлера , , 
(
, 
, 
),
геометрический смысл которых нас пока не интересует, любую матрицу АSO(3) можно
записать в виде
,(2)
где 
, 
, 
- указанные
выше матрицы (1).
Пусть, далее,
(2).
Имеем
, 
.
Так как gU(2)
, то 
и 
. Таким
образом, любая матрица g из SU(2) имеет
вид
, 
.(3)
Обратно, если g-матрица
вида (3), то, очевидно, gSU(2). Значит,
каждый элемент группы SU(2) однозначно определяется
парой комплексных чисел 
, 
, таких, что
. Если положить 
, 
с 
, 
, то условие
, переписывается в виде
,
дает основание говорить, что группа SU(2)
топологически эквивалентна (гомеоморфна) сфере 
в
четырехмерном вещественном пространстве 
.
Обратим внимание на унитарные
матрицы
, 
.(4)
Как доказывается в курсе линейной
алгебры, для унитарной матрицы g вида (3) существует унитарная
матрица u такая, что
с 
, определяем
из квадратного уравнения
.
Отметим также, что любой матрице (3)
при 
можно придать вид
,(6)
где , , 
.
Достаточно положить
, 
, 
, 
,
используя то обстоятельство, что
каждое комплексное число z задается двумя вещественными
параметрами 
и arg z (Arg z-главное
значение аргумента arg z).
2.2.3 Эпиморфизм SU(2)SO(3).
Поставим в соответствие каждому
вектору 
трехмерного евклидова пространства 
с нормой 
комплексную
матрицу второго порядка
.(7)
Пространство 
матрица
вида (7) состоит из всех эрмитовых матриц с нулевым следом (
, 
), причем
соответствие между векторами 
и матрицами
является, очевидно, взаимно
однозначными. В частности, базисным векторам 
соответствуют
базисные матрицы 
:
, 
, 
;(8)
, 
.
Заметим, что каждую линейному
оператору 
на с матрицей
А в базисе (8) будет отвечать вполне определенный линейный оператор 
на с той же
матрицей А в базисе 
, поскольку 
, 
. Так как
никакие другие базисы в дальнейшем не используются, то мы будем иногда
отождествлять операторы и соответствующие им матрицы.
Пусть теперь g - фиксированный
элемент группы SU(2)
Рассмотрим отображение
. (9)
Так как следы подобных матриц
совпадают, то 
. Кроме того, 
, поэтому
и, следовательно, 
:
,
где 
. Из
определяющих равенств (7) и (9) видно, что
.
Стало быть, отображение 
(соответственно
) - линейный оператор на (соответственно
).
Покажем, что 
-
ортогональный оператор. В самом деле,
,
т. е. сохраняет
норму, а следовательно, и скалярное произведение. Пока не ясно, меняет ли ориентацию
пространства , что зависит от знака 
. Мы знаем
лишь, что 
.
Как следует из определения,
причем 
- единичная
ортогональная матрица порядка 3 для
SU(2).
Значит, соответствие 
(или 
) является
гомоморфизмом SU(2) в О(3).
Ядро 
состоит из унитарных матриц g, для
которых 
. Другими словами,
,
где 
- базис (8)
пространства . Прямая проверка показывает, что
, 
, 
.
Построим теперь на образы унитарных
матриц (4) при гомоморфизме 
.Проведем вычисления для 
в базисе
(8):
,
,
.
Значит 
вращение
трехмерного евклидова пространства на угол вокруг оси 
(или 
). Если и u выбрать
таким, чтобы выполнялось соотношение (5), то, поскольку -
гомоморфизм, будем иметь
и 
.
Это показывает, что на самом деле -
гомоморфизм SU(2) в SO(3).
Аналогичным образом проверяется, что
-вращение на угол вокруг оси 
. Теперь для
любой матрицы 
SO(3) имеем
.
Стало быть, образ Im содержит
всю группу SO(3), и нами
доказана
Теорема 2.6: Группа SO(3) является
гомоморфным образом группы SU(2) при гомоморфизме с ядром 
. Каждое
вращение из SO(3) отвечает
ровно двум унитарным операторам g и - g из SU(2).
2.2.4
Представления групп SU(2) и SO(3)
Частью
«физического» мышления являются конкретные образы, связанные с представлениями
группы SO(3).
Действие SO(3),
отражающее симметрию многих физических задач, с математической точки интересно,
в частности, тем, что оно индуцирует действие на пространстве решений уравнения
, 
-
дифференциальный оператор Лапласа
Всякий элемент группы SO(3) является
произведением нескольких операторов , вида (1).
Но не действует на z, а -на x. Поэтому
инвариантность уравнения относительно и вытекает из
тех выкладок, которые были проведены в двумерном случае. Мы приходим к
заключению, что уравнение инвариантно всей группы SO(3) или, что
то же самое,
, 
SO(3),
где 
- функция,
определенная соотношением
.(10)
По условию для ортогонального
преобразования 
с матрицей 
столбец
новых переменных имеет вид
.
Согласно (10),
.
Стало быть,
,
т. е. линейные операторы , 
SO(3),
действует на функциях так, что отображение 
является
представлением группы SO(3). Этот весьма естественный
способ построения представления (фактически примененный при симметрических
функций с действующей группой 
), годится в
принципе для широкого класса групп и относится к типичным методам
функционального анализа. Нужно лишь, исходя из конкретных условий, выбрать
надлежащее пространство функций и затем разложить его на неприводимые
инвариантные подпространства.
В случае группы SO(3), когда
все неприводимые представления конечномерны (общий факт для компактных групп),
за функции берутся однородные многочлены
фиксированной степени m (m=1,2,3,...).
Они образуют пространство 
размерности 
. Так как 
, то условие
эквивалентно 
линейным
условиям на коэффициенты 
. Решения 
уравнения называется
однородными гармоническими многочленами (гармоническими полиномами) степени т.
Ввиду линейности оператора 
они образуют подпространство Нт
размерности - =2т+1 (у нас
, но на самом деле имеет место
равенство). Согласно вышесказанному Нт инвариантно относительно действия 
группы SO(3).
Оказывается, справедлива теорема о том, что пространство Нт представления 
неприводимо
над С и любое неприводимое над С представление группы SO (3)
эквивалентно одному из представлений (,Нт)
нечетной размерности 2т+1. Вместо того чтобы доказывать эту теорему, мы,
ограничившись сказанным, обратимся к группе SU(2), где
несколько легче получить семейство неприводимых представлений. Ввиду наличия
естественного эпиморфизма SU(2)SO(3) с ядром
из матриц ±Е всякое представление 
группы SO(3) можно
считать также представлением SU(2), удовлетворяющим так
называемому условию четности: 
. При этом,
разумеется, будет также выполняться равенство 
для всех SU(2).
Обратно, при выполнении условия четности предъявление группы SU(2) является
одновременно представлением группы SO(3).
Физический смысл имеют и «двузначные» представления SO(3), т. е.
представления группы SU(2), не удовлетворяющие
условию четности. К их числу относится, например, обычное двумерное (спинорные)
представление.
Отметим еще, что любое неприводимое
представление группы SO(3), отличное от единичного,
является точным, как это прямо вытекает из простоты SO(3).
Теорема 2.7.: Пусть 
-
пространство однородных многочленов степени п от двух комплексных переменных с
действием 
на нем группы SU(2),
определенным по правилу
для каждого элемента
, 
.
Доказательство: Предположим, что
многочлен
содержится в некотором инвариантном
подпространстве UVn. Тогда
также
,
где 
- элемент из
SU(2) вида
(4). Так как - произвольное вещественное число из
интервала (0,2
), то можно составить линейную
систему с определителем Вандермонда, из которой следует, что
(11)
для любого одночлена с коэффициентом
. Но если 
для
какого-то k, то и
.
Взяв g с , мы придем
в силу (11) к включению 
, которое в свою очередь дает нам
.
Так как 
, то 
, s=0,1,...,n. Стало
быть, 
, и неприводимость 
доказана.
Далее
,
так что при n=2m выполнено
условие четности и 
можно считать неприводимым
представлением размерности 2n+1.
На самом деле 
эквивалентно
представлению 
группы SO(3) на
пространстве однородных гармонических многочленов степени m, но мы на
этом не останавливаемся, как и не пытаемся (хотя это возможно) выбрать в Vn такой
базис, чтобы представление стало унитарным. Отметим только,
заимствуя терминологию из тензорного анализа, что представление группы SU(2)
реализуется также в классе ковариантных симметрических тензоров ранга п. Полную
и достаточно прозрачную теорию представлений компактных групп, включая SU(2) и SO(3), обычно
развивают в рамках инфинитезимального метода, опирающегося на соответствие
между группами и алгебрами Ли.
Заключение
В представленной
курсовой работе было рассмотрено понятие «группы». Данное
понятие широко используется в курсе высшей алгебры. Для достижения поставленной
цели была отобрана соответствующая литература.
Задачи, поставлены при
написании работы, решены:
1. подобрана и изучена
научная, учебная и методическая литература по теме исследования;
2. систематизированы
теоретические сведения по теме.
Литература
математика
группа матрица
1. Ван
дер Вандер, Алгебра. - М.: Наука, 1976. - 648с.
2. Каргаполов,
А.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.-288с.
. Кострикин,
А.И. Введение в алгебру.-М.: Наука, 1977.-495с.
. Дик,
Т. Группы преобразований и теория представлений. - М.: Мир, 1982. - 227с.
. Виберг,
Э.Б. Линейное представление групп. - М.: Наука, 1985. - 144с.
. Беллман,
Р. Введение втеорию матриц. М.: Наука, 1978. - 351с.
. Борут,
А., Рончка, Р. Теория представлений групп и ее приложения. Тома 1-2. М.: Мир,
1980.
. Вейль,
Г. Классические группы, их инварианты и представления.-М.: Госиздан, 1947. -
48с.