Определение параметров вала и балки

Определение параметров вала и балки

1. Расчеты на прочность статически определимых систем растяжения - сжатия

Дано:

2 м, м, 500 кН, ,  МПа, МПа.

Решение:

1.       Рассмотрим равновесие каждого жесткого стержня в отдельности

:    ,         кН.

:         ,

кН.

2.       Подберем из условия прочности сечения стержней

а) для стержня 1: , где . Тогда

м.

Принимаем мм. Уточненная площадь стержня 1

см².

б) для стержня 2: . Тогда  см².

Принимаем двутавр №36 с  см².

3.       Определим изменение длины каждого стержня.

а) удлинение стержня 1

м=1,4 мм.

б) удлинение стержня 2

м=0,63 мм.

.        Найдем перемещение т..

мм, ,        мм.

мм.

2. Геометрические характеристики плоских сечений

Дано:

см

- Прямоугольник 24 см,  см.

- Прямоугольник  см,  см.

- Прямоугольный треугольник  см,  см.

Решение:

1.       Рассмотрим сложную фигуру, состоящую из прямоугольника 1, прямоугольника 2 у которого удалили треугольник 3.

Выбираем вспомогательные оси, совпадающие с центральными осями  прямоугольника 2. Определяем центр тяжести фигуры

см.

см.

см.

 см².

 см².

 см².

см.

см,

см.

2.       Определяем моменты инерции относительно центральных осей

Осевые моменты:

787015 см⁴

см,

см,

 см,

 см⁴

 см⁴

 см⁴

=2675883 см⁴

см,

см,

см.

 см⁴

 см⁴

 см⁴

Центробежный момент:

=256828 см⁴

 см⁴

3.       Определим угол поворота главных осей относительно центральных.

Ось х необходимо повернуть против часовой стрелки на угол  до совмещения с главной осью U.

4.       Рассчитаем моменты инерции сложного сечения относительно главных центральных осей.

 752717 см⁴

 2710181 см⁴

=3462898

Радиусы инерции:

см,

 см.

3. Анализ напряженного состояния

Дано: 100 МПа, -65 МПа, 35 МПа, 0,26, .

Решение:

1.       Определим положение главных площадок и величину действующих на них главных напряжений.

 .

 МПа

107,1 МПа,  72,1МПа.

Из условия      107,1 МПа, , 72,1 МПа.

.        Определим напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, повернутых относительно исходных на угол .

 МПа,

МПа,

МПа.

3.       Определим максимальные касательные напряжения.

 МПа.

4.       Определим главные деформации.

5.       Вычислим относительное изменение объема.

6.       Вычислим эквивалентные напряжения и определим коэффициент запаса прочности.

а) Пластичный материал.

По теории наибольших касательных напряжений

 МПа МПа.

Коэффициент запаса . Прочность детали обеспечена

По теории потенциальной энергии изменения формы

 МПа МПа.

Коэффициент запаса . Прочность детали обеспечена.

б) Хрупкий материал.

По теории наибольших линейных деформаций

 МПа МПа.

Коэффициент запаса . Прочность детали не обеспечена.

По теории Мора

 МПа МПа

.

Коэффициент запаса . Прочность детали не обеспечена.

4. Расчет вала на прочность и жесткость

Дано:

0,3 м, 85 Н∙м, 270 Н∙м, 260 Н∙м, 150 Н∙м/м, 0,6, 1,5, 1,4,  МПа,  град/м.

Решение:

.        Определим из условия равновесия вала крутящий момент

:     ,

 Н∙м.

Рассчитаем значения крутящихся моментов по участкам вала.

В сечение :  , .

 Н∙м,  Н∙м.

В сечение :   Н∙м.

В сечение :   Н∙м.

Наибольший крутящий момент:  Н∙м.

2.       Определим диаметр вала из условия прочности и жесткости.

Условие прочности .

Условие жесткости , .

а) Круглое сплошное сечение

. Тогда м.

. Тогда м.

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров принимаем мм.

МПа.

б) Прямоугольное сечение

, где 0,231.

Тогда  м.

, где 0,196.

Тогда м.

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров принимаем 40 мм, 60 мм.

 МПа,

в) Трубчатое сечение

. Тогда м.

.

Тогда м.

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров принимаем 56 мм.

МПа.

3.       Оценим рациональность сечений с позиции прочности и жесткости.

а) Круглое сечение

с позиции прочности ,

с позиции жесткости .

б) Прямоугольное сечение

с позиции прочности ,

с позиции жесткости .

в) Трубчатое сечение

с позиции прочности ,

с позиции жесткости .

Наиболее рациональным является трубчатое сечение, наименее - прямоугольное.

Отношение весов валов:

Вес вала с трубчатым сечением в 1,14 раз легче вала с круглым сплошным сечением и в 1,52 раза легче вала с прямоугольным сечением.

4.       Рассчитаем значения углов закручивания вала с трубчатым сечением.

 рад,

 рад,  рад.

Эскиз опасного сечения вала и эпюра касательных напряжений

5. Расчет балки на прочность по нормальным напряжениям

Дано:

5,8 м, 1,6 м, 24 кН, 25 кН/м, 12 кН∙м, , ,  МПа.

Решение:

1.       Запишем уравнения статики и определим опорные реакции:

:   ,

 кН∙м.

:       ,

кН.

.        Определим внутренние усилия ,  с помощью метода сечений.

Запишем для каждого выделенного участка балки выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

1.       м.

,  кН,          кН.

,

 кН∙м,    кН∙м.

2.       м.

 кН.

,

 кН∙м,       кН∙м.

3.       м.

,  ,          кН.

,

 кН∙м,      кН∙м.

3.       Дифференциальные зависимости

На первом и третьем участках действует распределенная нагрузка , поэтому поперечная сила должна быть линейной функцией от координаты, а изгибающий момент должен менять по закону квадратной параболы. Второй участок свободен от распределенной нагрузки, поперечная сила постоянна на данном участке, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией.

В сечениях А и D, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами на эпюре  должно скачком меняться значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. Аналогичные скачки имеются и на эпюре в сечениях А и C.

4.       Определим размеры сечения балки из условия прочности.

Наиболее опасным является сечение , в котором изгибающий момент достигает максимального по модулю значения  кН∙м.

Из условия прочности при изгибе  определим максимальную величину момента сопротивления:  , м³.

а) Двутавр

По ГОСТу 8239-89 выбираем двутавр №70 с моментом сопротивления 3840 см³ и площадью сечения 176 см².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

б) Прямоугольное сечение .

,        м=174 мм

Принимаем 180 мм, 360 мм, площадь сечения м².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

в) Квадратное сечение .

,     м=277 мм

Принимаем 280 мм, площадь сечения  м².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

г) Круглое сечение .

,   м=262 мм.

Принимаем 280 мм, площадь сечения

м².

д) Кольцевое сечение .

, м=287 мм.

Принимаем 300 мм площадь сечения

м².

Определяем наибольшее напряжение:  МПа.

5.       Оценим экономичность подобранных сечений.

Двутавр: ,

Прямоугольник: ,

Квадрат: ,

Круг: ,

Кольцо: .

Наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения - двутавр, кольцевое сечение.

8. Определение перемещения в балках

Дано:

2,8 м, 0,5 м, 14 кН/м, 42 кН∙м,  МПа.

Решение:

1.       Запишем уравнения статики и определим опорные реакции:

:   ,

кН.

:   ,

кН

Проверка: :

.

.        Определим внутренние усилия ,  с помощью метода сечений.

Запишем для каждого выделенного участка балки выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

1)      м.

кН.

, ,       кН∙м.

2)      м.

,  кН,                  кН.

,

 кН∙м,          кН∙м,

3)      м.

, ,              кН.

,

 кН∙м,          кН∙м.

.        Опасное сечение , где изгибающий момент принимает максимальное по модулю значение  кН∙м.

Из условия прочности при изгибе  определим максимальную величину момента сопротивления:         ,

м³.

Принимаем двутавр №24 с  см³,  см⁴.

4.       Определим перемещения на конце консоли и посередине пролета методом Мора.

a.       Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₁).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₁ от единичной нагрузки.

м           ,              ,

м           ,     ,

м          ,                  .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения D.

 кН∙м³.

м.

b.      Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₂).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₂ от единичной нагрузки.

м           ,                 ,

м           ,         ,

м          ,                     .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.

кН∙м³.

м.

c.       Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₃).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₃ от единичной нагрузки.

м           ,             ,

м           ,      ,

м          ,                  .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения D.

.

 рад.

d.      Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₄).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₄ от единичной нагрузки.

м           ,             ,

м          ,                     .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.

.

 рад.

5.       Определим перемещение на конце консоли и посередине пролета способом Верещагина

На первом участке:

- треугольник  кН∙м²,

На втором участке эпюры разбиваем на три фигуры:

- дуга  кН∙м²,

треугольник  кН∙м²,

треугольник  кН∙м²,

На третьем участке эпюры разбиваем на три фигуры:

дуга  кН∙м²,

треугольник  кН∙м²,

треугольник  кН∙м².

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₁).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м,  м,  м, м, м,  м.

м.

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₂).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м,  м,  м, м, м,  м.

м.

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₃).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м,  м,  м, м, м,  м.

м.

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₄).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м,  м,  м,  м,  м,  м.

м.

6.       Проверим балку на жесткость в пролете и на консоли

м. Условия прочности выполнены.

м. Условие прочности не выполнено.

Необходимо подобрать другой двутавр.

 см⁴.

Выбираем №33 с 597 см³, 9840 см⁴

9. Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня

сечение вал балка

Дано: 6,2 м, 560 кН.

Решение: 2.

Первое приближение

 см².

см². Принимаем швеллер №27 с 35,2 см², 4160 см⁴.

Момент инерции относительно оси х составного стержня

 см⁴.

Радиус инерции относительно оси х составного стержня

см.

Гибкость относительно оси х для составного стержня

,       

Допускаемое напряжение  79,9 МПа.

Действительное напряжение  79,5 МПа.

Профиль не догружен на .

При ослаблении сечения заклепками на 12% получаем  МПа.

Перегрузка составляет .

Необходимо усилить сечение окончательно приминаем швеллер №30 с 40,5 см², 5810 см⁴, 12 см,  327 см⁴, 2,84 см, 2,52 см.

Найдем расстояние а.

,

Получаем см.

т.к. , то критическое напряжение для стали Ст. 3 можно определить как

 МПа.

Фактический коэффициент запаса