Потенциальная точность измерения параметров сигнала

Потенциальная точность измерения параметров сигнала

Реферат

Потенциальная точность измерения параметров сигнала

1. Потенциальная точность измерения параметров

Потенциальная точность измерения определяется ошибкой оценки параметра  по максимуму корреляционного интеграла . При этом рассмотрим случай большого превышения сигнала над шумом, т.е.:

.

В этом случае максимум функции  расположен вблизи истинного значения . В предельном случае  (например, при отсутствии шумов) оценка по максимуму функции правдоподобия совпадает с истинным значением измеряемого параметра.

В реальных системах  - конечная величина, но обычно достаточно большой величины, так что:

.

Параметр  в этом случае можно считать малым. Тогда, в этом случае, оценку  можно представить в виде ряда по степеням малого параметра:

;

где:  - нулевое приближение оценки измеряемого параметра;  и т.д. - поправки к следующим приближениям, которые необходимо определить. Для простого рассмотрения ограничимся первым приближением, т.е. будем считать, что:

;

Итак, исходные предпосылки: на вход приемника поступает смесь сигнал с шумом: . Причем:  - статистические характеристики шума известны.

Корреляционный интеграл на выходе корреляционного приемника можно представить в виде:

;

где:  и  являются преобразованными "сигналом" и "шумом" на выходе оптимального корреляционного приемника.

Свойства функций  и :

 - нормированная АКФ входного полезного сигнала;  по оцениваемому параметру она симметрична относительно  и зависит только от абсолютного значения разности , причем при :  (свойство АКФ);

 - нормированный случайный процесс, зависящий от параметра . Т.к. среднее значение шума , то и среднее значение .

Итак, если известно соотношение сигнал/шум, то для нахождения оценки необходимо найти поправку . Для этого необходимо правую часть уравнения:

, где: ;

разложим в ряд Тейлора в окрестности точки . Учтем, что в точке максимума  должно выполняться условие: . Ряд Тейлора:

В разложении ряда ограничимся двумя первыми членами:

;

Приравнивая члены с  в первой степени, получим:

;

Отсюда:

;

Статистические характеристики  и определяют ошибку измерения. Абсолютная ошибка:

.

Среднее значение ошибки:

;

Т.к. , то, следовательно, .

Отсюда следует, что оценка параметра  по максимуму функции правдоподобия при больших соотношениях сигнал/шум является несмещенной.

Статистические характеристики величины  определяют ошибки оценки:

;

Так как выше показано, что среднее значение функции , то среднее значение:

;

Следовательно, оценка параметра  по максимуму функции правдоподобия при больших соотношениях сигнал/шум является несмещенной.

Дисперсия оценки равна:

;

Учитывая, что: , соотношение можно переписать в следующем виде:

;

где:  - кривизна.

Таким образом, дисперсия оценки параметра обратно пропорциональна отношению сигнал/шум и кривизне нормированной автокорреляционной функции полезного сигнала по оцениваемому параметру.

Учитывая, что:  - сигнальная составляющая корреляционного интеграла, формулу можно переписать в виде:

.

. Потенциальная точность измерения дальности

Рассмотрим случай импульсного метода измерения дальности. Обычно применяемые на практике сигналы являются узкополосными, т.е. их несущая частота  значительно превосходит ширину спектра сигнала. Для таких сигналов справедливо комплексное представление:

;

где:  - комплексная огибающая, медленно меняющаяся функция по сравнению с высокочастотным заполнением ;  - начальная фаза.

В этом случае модуль АКФ сигнала на выходе СФ можно записать в виде:

;

Рассмотрим случай, когда оцениваемым параметром является временное положение радиоимпульса :

Такой сигнал можно записать в виде:

 при ;

Под  будем понимать момент времени, соответствующий середине радиоимпульса, а под  - начальную фазу в этот момент времени. Запишем выражение для комплексной огибающей:

;

АКФ сигнала на выходе СФ:

;

;

, где: .

Далее, используя преобразование Фурье и равенство Парсеваля применительно ко второй производной корреляционного интеграла, получим:

, откуда: ;

(для гауссова радиоимпульса: )

Из этого соотношения видно, что потенциальная точность (дисперсия ошибки) зависит от отношения сигнал/шум и эффективной ширины спектра сигнала.

Аналогично можно показать, что потенциальная точность измерения частоты:

Т.к. , то это соотношение показывает, что условие достижения предельной точности по частоте и запаздыванию противоречивы. Приведенные формулы получены при условии, что полезный сигнал не флуктуирует по амплитуде и фазе. На практике эти флуктуации всегда существуют. Это снижает практическую точность измерения параметров.

Обычно, применяемые на практике радиосигналы являются узкополосными, т.е. их несущая частота  значительно превосходит ширину спектра. Для таких сигналов удобно использовать условное комплексное представление:

;

где:  - комплексная функция, медленно изменяющаяся по сравнению с высокочастотным гармоническим колебанием частоты ;  - начальная фаза.

В этом случае модуль АКФ сигнала на выходе согласованного фильтра, можно записать в виде:

;

Рассмотрим случай, когда оцениваемым параметром является временное положение  радиоимпульса:

;

Под  будем понимать момент времени, соответствующий середине радиоимпульса, а под  - начальную фазу в этот момент времени. Применительно к колоколообразному импульсу это имеет вид:

Комплексной огибающей сигнала: , соответствует комплексный спектр:

.

Выше было показано, что АКФ сигнала  определяется выражением:

;

А вторая производная имеет вид:

;

Выразим  через параметры комплексного спектра огибающей. Для этого воспользуемся преобразованием Фурье:

;

Учтем, что:

;

Дифференцируя дважды  по , получим:

;

Это выражение с учетом  можно преобразовать к виду:

;

Т.к. по предположению радиоимпульс полностью расположен в интервале , то значение внутреннего интеграла определяется формулой:

;

В результате интегрирования с  - функцией, получим:

;

На основании равенства Парсеваля:

 - полная энергия сигнала;

Принимая во внимание выражение для эффективной ширины спектра:

;

Получим: выражение для дисперсии задержки:

Из этого соотношения видно, что потенциальная точность (дисперсия ошибки) зависит от отношения сигнал/шум и эффективной ширины спектра сигнала.

До сих пор мы говорили об измерении неэнергетического параметра. Если оценивается, например, амплитуда сигнала, то относительная дисперсия амплитуды выражается соотношением:

;

Т.е. определяется соотношением сигнал/шум.

Принимая во внимание приближенное соотношение между эффективной шириной спектра и длительностью импульса , ограниченного по полосе значением , получим:

;

Для гауссова импульса: .

3. Потенциальная точность измерения частоты

Принимаемый полезный сигнал запишем в виде:

; ;

где: оцениваемый параметр  обычно представляет собой смещение частоты из-за эффекта Доплера.

Комплексная огибающая радиосигнала равна:

.

Подставляя это в выражение для корреляционного интеграла, получим:

;

Отсюда находим вторую производную:

;

Подставив в это выражение  из соотношения:

, получаем дисперсию оценки частоты :

;

где:  - эффективная длительность сигнала:

.

Применительно к прямоугольному радиоимпульсу:

;

Это соотношение выражает предельные возможности минимизации ошибок по частоте. Однако, , где: .

Это соотношение ограничивает возможности совместного точного измерения частоты и задержки.

Полученные формулы для дисперсии задержки и частоты получены при условии, что полезный сигнал не флуктуирует по амплитуде и фазе. На практике сигнал за счет различных факторов оказывается флуктуирующим по этим параметрам. Это приводит к расширению спектра сигнала, и, как следствие, к уменьшению точности измерения.

Такие параметры сигнала, как запаздывание, частота, фаза относятся к неэнергетическим параметрам сигнала. Существуют также энергетические параметры, например, амплитуда.

Кратко рассмотрим оценку энергетических параметров.

4. Оценка амплитуды детерминированного сигнала

На вход поступает смесь сигнала и шума: .

В общем случае полезный сигнал  представляет собой радиоимпульс вида:

, ;

где:  и  - законы амплитудной и фазовой модуляции;         несущая частота;  начальная фаза.

Оценку будем производить по методу максимального правдоподобия.

Функция правдоподобия параметра  в данном случае равна:

Уравнение правдоподобия принимает вид:

;

Это уравнение имеет решение, зависящее от :

;

Это решение является оценкой по максимуму функции правдоподобия.

Эта формула вскрывает структуру оптимального приемного и решающего устройства для оценки неизвестной амплитуды. Основной операцией является линейная операция интегрирования смеси сигнала и шума с весом . Эту операцию можно выполнить при помощи соответствующего линейного фильтра или коррелометра.

Найдем смещение оценки амплитуды, считая, что истинное значение амплитуды равно . Имеем:

 - т.е. оценка несмещенная;

Дисперсия оценки определяется выражением:

;

Подставив сюда функцию корреляции белого шума:

, получим:

;

Таким образом, дисперсия оценки амплитуды полностью известного сигнала прямопропорциональна мощности шума на единицу полосы частот и обратнопропорциональна удвоенной энергии сигнала при единичной амплитуде.

В качестве характеристики оценки амплитуды часто рассматривают относительную дисперсию амплитуды:

;

Т.е. относительная дисперсия определяется соотношением сигнал/шум.

5. Потенциальная точность измерения угловых координат

Для определения потенциальной точности измерения угловых координат рассмотрим вращение антенного луча РЛС с постоянной угловой скоростью  в плоскости цели.

Рассмотрим случай излучения непрерывного сигнала. В этом случае сигнал, принимаемый от цели будет иметь вид импульса, огибающая которого изменяется в соответствии с формой диаграммы направленности антенны , а длительность (время облучения цели ) пропорциональна ширине диаграммы направленности антенны .

Сигнал имеет следующий вид:

Т.е. сигнал является зеркальным отражением ДН с точностью до некоторого коэффициента .

В приемнике к сигналу добавляется шум , который как и ранее будем считать гауссовым. Огибающую сигнала на входе приемника можно представить в следующем виде:

;

Огибающая сигнала на выходе оптимального приемника:

;

;

Максимум сигнальной составляющей наступает, когда , где время  отсчитывается от максимума опорного сигнала цели, находящейся в направлении нулевого отсчета цели.

Если бы не было шума, то момент наступления максимума можно было бы зафиксировать сколь угодно точно.

В реальных системах возникает ошибка: .

Потенциальная точность, как и ранее, определяется дисперсией оценки. Для этого используем выражение для дисперсии оценки момента наступления максимума сигнала, т.е. используем потенциальную точность измерения запаздывания:

;

Принимая во внимание, что , а . Умножим обе части на :

;

Учитывая, что эффективная ширина спектра связана с длительностью импульса соотношением: , тогда:

.

Ширина ДН антенны: ;

где:  - эффективный раскрыв антенны с равномерным распределением поля в раскрыве.

Отношение:  - называют относительным эффективным раскрывом (апертурой) антенны.

С учетом этого можно записать выражение для дисперсии:

; ;

где:  - физический раскрыв антенны.

Следовательно, точность измерения угловых координат зависит от соотношения сигнал/шум и ДН антенны. При этом относительный раскрыв антенны (апертура антенны) при изменении угловых координат играет такую же роль, как и ширина спектра сигнала  при изменении дальности. Увеличение относительного раскрыва приводит к повышению точности отсчета и разрешающей способности по угловым координатам.

6. Фильтрация параметра сигнала

Задача фильтрации: в общем случае сигнал  зависит от нескольких параметров , при этом будем полагать, что, либо сам сигнал , либо интересующий нас параметр  - случайный процесс. Предполагаются также априорно известными статистические характеристики сигнала и шума, а также способ комбинирования сигнала и шума , т.е.

;

Располагая этими априорными данными, нужно оптимальным образом решить, какая реализация самого сигнала  или его параметра  содержится в принятом колебании.

Подобные задачи встречаются в частности при оптимальной обработке узкополосных сигналов, например, при выделении информации о фазовой, либо частотной модуляции сигнала.

Наличие шума приводит к тому, что оценка реализации сигнала или его параметра не будет совпадать с истинной реализацией.

Существуют два критерия:

минимум среднеквадратичной погрешности;

максимум апостериорной вероятности.

В зависимости от дополнительных предположений о характере сигнала и шума используют два вида фильтрации: линейную и нелинейную фильтрацию.

Линейная фильтрация: полагают, что сигнал  и шум  являются независимыми, стационарно нормальными случайными процессами с известными корреляционными функциями  и .

Требуется определить систему, которая бы с минимальной погрешностью выделила из шума не информационное сообщение, а сам полезный сигнал, т.е. минимизировало величину:

;

где:  - временной сдвиг, в общем случае всегда существующий.

Ограничимся простыми физическими рассуждениями: если сигнал и шум являются независимыми нормальными случайными процессами, то они могут отличаться только корреляционными функциями, или, иначе, спектральными плотностями. Этот факт используется при осуществлении фильтрации. Нужно стремиться к тому, чтобы по возможности с наименьшими искажениями воспроизвести спектр сигнала и как можно сильнее подавить спектр компоненты мешающего шума. Как известно, это задача частотной селекции, и она может быть решена с помощью надлежащим образом подобранных линейных фильтров.

Имеется оптимальная импульсная характеристика фильтра, дающая минимальную ошибку.

импульсный детерминированный сигнал фильтрация

Следует отметить, что оптимальные линейные фильтры, рассматриваемые в теории фильтрации, отличаются от оптимальных и согласованных фильтров в теории обнаружения, оценки и разрешения.

В рассматриваемом случае необходимо наилучшим образом воспроизвести форму полезного сигнала из аддитивной смеси его с шумом. При согласованной фильтрации задача не в воспроизведении формы сигнала, а в формировании максимально возможного пика на шумовом фоне.

Недостатки линейных фильтров:

охватывает мало практически интересных случаев;

- является оптимальным лишь для выделения не сообщения, а самого сигнала в виде нормального случайного процесса;

Однако, чаще интерес представляет выделение информации из модулированных сообщений, да и сигналы чаще имеют распределение, отличное от нормального. В этом случае используется нелинейная фильтрация.

Задача нелинейной фильтрации параметров сигнала.

1) Перминов И.Г. "Физические основы получения информации". 2006 год.

) Артамонов В.М. "Электроавтоматика судовых и самолетных радиолокационных станций". 1962 год.

) Современная радиолокация. Анализ, расчет и проектирование. Под редакцией Кобзарева Ю.В., М., Сов.радио, 1969г.-704стр.

) Дулевич В.Е. Теоретические основы радиолокации. М., Сов.радио, 1978г. - 608стр.

) Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации. М., Сов.радио, 1970г. - 560стр.