Движение заряженной частицы в электрическом поле

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра общей и технической физики

Расчетно-графическое задание

Вариант №4

По дисциплине: Физика

Тема: Движение заряженной частицы в электрическом поле

Выполнил: студент гр. АХ-13

/Жуков О.В./

Санкт-Петербург

Формулировка задания

 влетает в плоский конденсатор под углом (= 30 град) к отрицательно заряженной пластине или под углом () к положительно заряженной пластине, на расстоянии = 9 мм., от отрицательно заряженной пластины.

Параметры частицы.

m - масса, q - заряд,  - начальная скорость,  - начальная энергия;

Параметры конденсатора.

D - расстояние между пластинами,  - длина стороны квадратной пластины, Q - заряд пластины, U - разность потенциалов, C - электроемкость, W - энергия электрического поля конденсатора;

Построить зависимость:

зависимость скорости частицы от координаты “x”

а_τ(t) - зависимость тангенциального ускорения частицы от времени полета в конденсаторе,

Рис 1. Исходные параметры частицы.

Краткое теоретическое содержание

. Вычисление параметров частицы

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства - создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Также частица обладает энергией.

Энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т.е

2. Вычисление параметров конденсатора

Конденсатор - это уединенный проводник, состоящий из двух пластинок, разделенных слоем диэлектрика (в данной задаче диэлектриком является воздух, ). Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой принимают величину, пропорциональную заряду Q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками:

Также величина емкости определяется геометрией конденсатора, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. Если площадь обкладки S, а заряд на ней Q, то напряжение, поря между обкладками равна

,

а так как U=Ed, то емкость плоского конденсатора равна:

Энергия заряженного конденсатора выражается через заряд Q, и разность потенциалов между обкладками , воспользовавшись соотношением  можно написать еще два выражения для энергии заряженного конденсатора , соответственно пользуясь данными формулами мы можем найти и другие параметры конденсатора: например

.

. Сила со стороны поля конденсатора

Определим значение силы, действующей на частицы. Зная, что на частицу действуют: сила F_е (со стороны поля конденсатора) и Р (сила тяжести), можно записать следующее уравнение:

где  , т.к F_e = Eq, E=U/d

P = mg (g - ускорение свободного падения, g = 9,8м/с²)

Обе эти силы действуют в направлении оси Y, а в направлении оси ОХ они не действуют, то

, Þ а=. (2-й закон Ньютона)

Основные расчётные формулы:

. Емкость плоского конденсатора:

. Энергия заряженного конденсатора:

. Энергия частицы:

конденсатор ион заряженный частица

Решение

Дано:

|e|=

Конденсатор:

) Расстояние между пластинами:

;

;

;

=0,0110625 м = 11,06 мм.

) Заряд пластины

;

;

) Разность потенциалов

;

;

) Сила со стороны поля конденсатора:

=6,469*10^-14 Н

Сила тяжести:

Значение очень мало, поэтому ей можно пренебречь.

Уравнения движения частицы:

 ax=0; a_y=F/m=1,084*10^-13/46,48·10^-27=0,23*10¹³ м/c²

Частица:

1)      Начальная скорость:

Зависимость V(x):

,

 м/c

V_x=V₀cosα₀=4·10⁵cos20⁰=3,76·10⁵ м/c

V_y(t)=a_yt+V₀sin α₀=0,23·10¹³t+4·10⁵sin20⁰=0,23·10¹³t+1,36·10⁵ м/с(t)=V_xt; t(x)=x/V_x=x/3,76·10⁵ с;

 м/c

=((3,76*10⁵)²+(1,37+

+(0,23 Ì10¹³/3,76·10⁵)*х)²)^1/2 = (3721*10¹⁰*х²+166*10¹⁰* х+14,14*10¹⁰)^1/2

Найдем а_t(t):

;  

Найдем предел t, т.к. 0<t<t_max

t_max=1,465·10^-7 с

Найдем предел x, т.к. 0<x<x_max

l=0,5 м; x_max<l, значит движение частицы заканчивается внутри конденсатора на верхней пластине.

Графики зависимостей:

В результате расчетов мы получили зависимости V(x) и a_t(t):

V(x)= (3721*10¹⁰*х²+166*10¹⁰* х+14,14*10¹⁰)^1/2

a_t(t)=

Используяe Excel, построим график зависимости V(x) и график зависимости a_t(t):

Вывод: В расчетно-графическом задании «Движение заряженной частицы в электрическом поле» рассматривалось движение иона ³¹P⁺в однородном электрическом поле между обкладками заряженного конденсатора. Для его выполнения я ознакомился с устройством и основными характеристиками конденсатора, движением заряженной частицы в однородном магнитном поле, а также движением материальной точки по криволинейной траектории и рассчитал необходимые по заданию параметры частицы и конденсатора:

·     D - расстояние между пластинами: d = 11,06 мм

·        U - разность потенциалов; U = 4,472 кВ

·        - начальная скорость; v₀= 0,703·10¹⁵ м/с

·     Q - заряд пластины; Q = 0,894 мкКл ;

Построенные графики отображают зависимости: V(x) - зависимость скорости частицы «V» от её координаты“x”, a_t(t)- зависимость тангенциального ускорения частицы от времени полета в конденсаторе, при этом учтено, что время полета конечно, т.к. ион заканчивает свое движение на отрицательно заряженной пластине конденсатора. Как видно из графиков эти не линейные они степенные.