Расчет вероятности событий
Задание 1
Предположим, что 5% всех мужчин и
0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником.
Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое
число).
Решение
Будем считать гипотезами
Н1 выбор мужчины, Н2 выбор женщины. Так как
по условию задачи все гипотезы равновозможные, то 
Условная
вероятность А при реализации каждой гипотезы по условию задачи:
Р (А/Н1)
= 0,05; Р (А/Н2) = 0,25.
По формуле полной
вероятности:
Р(А)
= р(Н1)×р (А/Н1)
+ р(Н2)×р (А/Н2).
Р(А)
= 0,5×0,05
+ 0,5×0,25
= 0,15
Вероятность того, что
дальтоник мужчина вычислим по формуле Байеса.
»
0,167
Ответ: 0,167
Задание 2
Бросается две уравновешенные
игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?
Решение
Воспользуемся классической формулой
для вычисления вероятности:
где m - число благоприятных событию А случаев;
n
- число всех случаев.
Обозначим событие А
- на костях выпадут различные числа, рассмотрим противоположное событие 
-
выпадут одинаковые числа.
n
= 6×6
= 36
m = 6
Ответ:
Задание 3
Пусть в каждом цикле обзора
радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть
обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с
какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.
Решение
Обозначим событие А
- цель будет обнаружена за 3 цикла, рассмотрим противоположное событие -
цель будет не будет обнаружена за 3 цикла.
= (1 - 0,5)3
= 0,125
= 1 - 0,125 = 0,875
Ответ: 0,875
Задание 4
Пусть вероятность того, что денежный
автомат при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,95. Оценить
вероятность того, что при 2 000 опусканиях монет количество случаев правильной
работы автомата будет заключено в границах от 1 860 до 1 940 (включительно).
Решение
Воспользуемся интегральной теоремой
Лапласа:
Справедлива формула: Pn(k1, k2) » Ф(х2) - Ф(х1).
где 
n
= 2000 р = 0,95 q
= 0,05 k1 = 1860 k2
= 1940
=Ф (4,1) - Ф (-4,1) = Ф
(4,1) + Ф (4,1) =2×Ф (4,1) » 2×0,5 = 1
Функция Лапласа является нечетной
Ф(-х) = - Ф(х).
Ответ: 1
Задание 5
вероятность распределение функция
гипотеза
Найти функцию распределения числа
попаданий в цель, если стрелком произведено шесть выстрелов, а вероятность
попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией, вычислить
вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти
раз.
Решение
Случайная величина Х - чи
сло попаданий в цель может принимать
значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Формула Бернулли
n = 6 p=0,2 q= 0,8
×1×0,262144
= 0,262144
×0,2×0,32768
= 0,393216
×0,04×0,4096
= 0,24576
×0,008×0,512
= 0,08192
×0,0016×0,64
= 0,01536
×0,00032×0,8
= 0,01536
×0,000064×0,1
= 0,000064
Проверка: 0,262144 +
0,393216 + 0,24576 + 0,08192 + 0,01536 + 0,01536 + 0,000064 = 1
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
6
|
|
pi
|
0,262144
|
0,393216
|
0,24576
|
0,08192
|
0,01536
|
0,01536
|
0,000064
|
Найдем функцию
распределения F(x) по формуле 
Пользуясь этой функцией,
вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не
меньше пяти раз.
Наверное, имелось ввиду:
Пользуясь этой функцией, вычислить
вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не больше пяти
раз.
Р (a £ Х < b) = F(b) - F(a)
Р (1 £ Х
< 5) = F(5) - F(1) = 0,9984 - 0,262144 = 0,736256
Задание 6
Деталь проходит три операции
обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой
операции, равна 0,02; после второй - 0,03; после третьей - 0,02. Найти
вероятность того, что деталь будет бракованной после трех операций,
предполагая, что появление брака на отдельных операциях независимые события.
Решение
Обозначим событие А
- деталь будет бракованной после трех операций, рассмотрим противоположное
событие -
деталь окажется годной, т.е. не бракованной после трех операций.
= (1 - 0,02)×(1
- 0,03)×(1
- 0,02) = 0,98×0,97×0,98 » 0,932
= 1 - 0,932 = 0,068
Ответ: 0,875
Задание 7
Какова вероятность того, что наудачу
поставленная точка в данном круге (радиус 2 см) окажется внутри вписанного в
него квадрата.
Решение
Пусть радиус круга равен R, сторона квадрата а,
тогда по теореме Пифагора^
а2 + а2 =
(2R)2.
Площадь квадрата Sквадрата = а2 = 2R2.
Площадь круга Sкруга = pR2.
Ответ:
Задание 8
Найти вероятность того, что из 500
посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть оценивается вероятностью 0,75.
Решение
Не взойдет 130 семян означает, что
взойдет 500 - 130 = 370 семян.
Справедлива формула:
Pk,n» 
где
n
= 500 р = 0,75 q
= 0,25 k =
370
P370,
500 » 
Функция j(х)
- четная, т.е. j(-х) = j(х).
Ответ: 0,036
Задание 9
В классе имеется 12 компьютеров.
Вероятность того, что компьютер будет занят студентами в течение дня, равна
0,8. Найти вероятность нормальной работы компьютерного класса в ближайший день,
если для этого необходимо, чтобы были заняты хотя бы пять компьютеров.
Решение
Формула Бернулли
n = 12 k = от 5 до 12 p=0,8 q= 0,2
= 0,0033
= 0,0155
= 0,0532
= 0,1329
= 0,2362
= 0,2835
= 0,2062
= 0,0687
Р(А)
= Р12(5) + Р12(6) + Р12(7)
+ Р12(8) + Р12(9) + Р12(10)
+ Р12(11) + Р12(12) = 0,0033 + 0,0155 +
0,0532 + 0,1329 + 0,2362 + 0,2835+ 0,2062+ 0,0687 = 0,9994
Ответ: 0,9994
Задание 10
Вероятность выигрыша по одному
билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть
билетов, выиграет хотя бы по одному билету.
Решение
Обозначим событие А
- выиграет хотя бы по одному билету, рассмотрим противоположное событие 
-
не выиграет ни по одному билету
Ответ: 0,603
Литература
1. Вентцель, Е.С.
Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А.
Овчаров. - М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.
2. Ермаков, В.И.
Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. - М.:
ИНФРА, 2007. - 656 с.
. Ермаков, В.И.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. -
М.: ИНФРА, 2007. - 575 с.*
. Кремер, Н.Ш.
Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. -
М.: ЮРАЙТ, 2010. - 432 с.
. Кремер, Н.Ш.
Высшая математика для экономистов: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. -
М.:, ЮНИТИ-ДАНА 2007 - 479 с.
6. Миллер, Б.М.
Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. -
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.