Построение кривых Безье

Тогда многоугольник , , , определяет кривую Безье ,, соответствующую первой половине исходной кривой, а именно ,. Подобным образом, многоугольник , , , определяет кривую Безье , , соответствующую второй половине исходной кривой, т.е. , . Новые определяющие вершины многоугольника и получаются путем приравнивания радиус-векторов и касательных векторов при , ; , и , ; , . Получаем

,

,

,

.

Решение этих уравнений дает

, ,

, .

2. Описание алгоритмов

.1 Построение кривой по четырем заданным точкам

Вычислить приближенную длину кривой по формуле (1).

Принять шаг параметра , параметр t = 0.

Получить значение следующей точки, принадлежащей кривой, из уравнения (2).

Соединить прямой предыдущую точку с новой. Если t = 1 - закончить, иначе, увеличить t на dt и перейти к шагу 3.

.2 Построение составной кривой

Определить количество точек в массиве. Если оно делится на три с остатком единица, то перейти к шагу 2, иначе закончить.

Взять первые четыре точки массива.

Построить кривую по четырем точкам.

Если достигнут конец массива, то закончить, иначе перейти к шагу 5.

Взять четвертую точку предыдущего сегмента и три следующие за ней точки массива и перейти к шагу 3.

.3 Выбор пользователем точки на составной кривой

Считать координаты курсора в момент щелчка левой кнопкой мыши, сохранив как точку pt.

Взять точки начального сегмента составной кривой

Выполнить пункты 1-3 алгоритма 2.1.

Если t = 1, рассмотрен последний сегмент кривой и разность координат pt и рассчитанной точки, принадлежащей кривой, больше 2, то закончить. Иначе если t = 1, разность координат pt и рассчитанной точки больше 2, но рассмотрен не последний сегмент кривой, то взять точки следующего сегмента и перейти к шагу 3. Иначе если t < 1 и разность координат pt и рассчитанной точки больше 2, то перейти к шагу 5. Иначе если t < 1 и разность координат pt и рассчитанной точки меньше 2, то перейти к шагу 6.

Увеличить t на dt и, получив значение следующей точки, принадлежащей кривой, из уравнения (2), перейти к шагу 4.

Закрасить прямоугольник в окрестности двух пикселей от выбранной точки, принадлежащей кривой.

Вычислить направляющие точки по формулам:

; ,

где P0 - выбранная пользователем точка, P1 - правая точка сегмента кривой, P2 - левая точка.

В массиве определяющих кривую точек сместить все элементы, начиная с третьей точки выбранного сегмента, на 3 позиции вправо и записать в освободившиеся ячейки последовательно C, P0, B.

Построить составную кривую по новому массиву определяющих точек.

3 .Описание структуры ПО 

.1 Структура ПО

Рисунок 3. Структура программы

int CALLBACK WinMain (HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstance, LPSTR lpCmdLine,int nCmdShow) - точка входа в программу. В данной функции приложение выполняет необходимые действия по собственной инициализации, созданию и отображению главного окна.

Параметры: hInstance - дескриптор текущего экземпляра окна;

hPrevInstance - дескриптор предыдущего экземпляра окна;- указатель на командную строку;- показывает состояние окна (режим отображения).CALLBACK MainWindowProc(HWND hwnd, UINT uMsg, WPARAM wParam, LPARAM lParam) - функция, обрабатывающая сообщения, поступающие окну.

Параметры: hwnd - дескриптор окна;- сообщение;и lParam - параметры, задающие дополнительную информацию о сообщении, точное значение зависит от сообщения.

Вызываемые функции: при выборе пользователем пункта «Выход» - DestroyWindow; при поступлении сообщения завершения программы - PostQuitMessage; при движении мыши - OnMouseMove; при сообщении перерисовки окна - DrawTestScene.DestroyWindow(HWND hWnd) - функция разрушающая окно.

Параметр: hWnd - дескриптор окна.PostQuitMessage(int nExitCode) - указывает системе, что поток сделал запрос на то, чтобы завершить свою работу.

Параметр: nExitCode - код завершения прикладной программы.DrawTestScene(DrawingContext* ctx, HWND hwnd, POINT pt) - функция рисования окна. Функция очищает окно, рисует кривую и ее определяющие точки.

Параметры: ctx - контекст рисования;- дескриптор окна;- положение курсора.

Вызываемые функции: для вычисления длины кривой - GetLenght; для последовательного определения координат точек, принадлежащих кривой - BCoord, для вычисления направляющих точек узла, выбранного пользователем, - QUAD.

void OnMouseMove(HWND hwnd, POINT pt, DWORD dwFlags, DrawingContext* ctx) - функция, обрабатывающая изменение мышью положения определяющих точек кривой.

Параметры: hwnd - дескриптор окна;- положение курсора;- параметры перемещения мыши;- контекст рисования.GetLenght(Point* points) - функция возвращает длину кривой.

Параметр: points - массив определяющих точек сегмента кривой.

int BCoord(int x0, int x1, int x2, int x3, double t) - возвращает координаты принадлежащей кривой точки, соответствующей заданному значению параметра.

Параметры: x0, x1, x2, x3 - координата определяющих точек сегмента кривой;

t - параметр кривой.

void QUAD(DrawingContext* ctx, Point* p) - функция вычисляет направляющие точки выбранного пользователем узла и записывает их в массив определяющих точек кривой.

Параметры: ctx - контекст рисования;

p - точка, выбранная пользователем.

4. Контрольный пример

Рисунок 4. Построение кривой с угловым узлом

Рисунок 5. Построение кривой с гладким узлом

Рисунок 6. Режим просмотра полученной кривой

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001. 604 с.

Кривая Безье. Википедия. URL: <http://ru.wikipedia.org/>. 20.12.2012. Загл. с экрана.

Кривые Безье. Применение. URL: