Основи статистики

Основи статистики

1. У результаті вибіркового обстеження обчислювальних центрів на самостійному балансі (вибірка 20%-на, випадкова) по одному з регіонів станом отримано дані, наведені в таблиці

Таблиця 1. Статистичні дані обчислювальних центрів

. Побудувати інтервальний ряд розподілу обстежених обчислювальних центрів за середньосписковою чисельністю працюючих, утворивши п'ять груп з однаковими інтервалами. Визначити частку (відсоток) кожної з груп та коротко проаналізувати структуру центрів щодо чисельності працюючих.

. За даними ряду розподілу обчислити характеристики центру розподілу (середню, моду, медіану) та показники міри і ступеню варіації. Пояснити економічний зміст середньоквадратичного відхилення та коефіцієнта варіації.

. Із рівнем імовірності 0,997 визначити довірчий інтервал для середньоспискової чисельності працюючи на обчислювальних центрах по регіону в цілому.

Розв’язання

. Побудуємо інтервальний ряд розподілу обстежуваних центрів за середньосписковою чисельністю працюючих.

Величину інтервалу обчислюється за формулою:

,

де , - відповідно найменше та найбільше числові значення середньоспискової чисельності працюючих (= 80 осіб, = 30 осіб); m - число передбачених груп (за умовою m=5).

(осіб);

визначаємо межі числових значень групувальної ознаки першої групи ряду розподілу:

+ h = 30+10=40 (осіб), тобто 1 група: 3040 осіб;

для другої - п’ятої груп ряду розподілу межі числових значень групувальної ознаки обчислюємо відповідно:

група: 40 -50 осіб;

3 група: 50 0 осіб;

група: 70 -80 осіб;

          частку обчислювальних центрів, що входять до складу групи розраховуємо за формулою: Ч = f / , де f - кількість обчислювальних центрів, що входять до складу утвореної групи, а  - загальна кількість обстежених обчислювальних центрів.

Таблиця 2. Розподіл обчислювальних центрів за середньосписковою чисельністю працюючих

Висновок. Групування центрів за середньосписковою чисельністю працюючих осіб, показало, що найбільша кількість центрів 9, або 36% від загальної кількості має середньоспискову чисельність працюючих від 50 до 60 осіб.

Найменшу середньспискову чисельність працюючих до 40 осіб мають 6 центрів, або 24% від загальної кількості обмежувальних центрів. Найбільшу кількість працюючих від 70 до 80 осіб мають 3 центри, або 12% від загальної кількості обстежуваних центрів.

. Обчислення характеристик центру розподілу та показників міри та ступеню варіації наведені в робочій розрахунковій таблиці 3.

Таблиця 3. Характеристики центру розподілу та показники міри та ступеню варіації

Для розрахунку середньої кількості осіб, за середньоспискової чисельністю працюючих використаємо середню арифметичну зважену, та кК дані у нас згруповані:

 = ∑(x∙ f) / ∑ f = 1305/2552 (особи)

У середньому 1 центр має середньоспискову чисельність працюючих 52 особи.

Знаходимо характеристики центру розподілу:

Мода

=,

де x₀ - нижня межа модального інтервалу; h - його ширина;- частоти (частки): f_Mo-1 - передмодального інтервалу, f_Mo - модального інтервалу, f_Mo+1 - післямодального інтервалу.

Мода  (50 - 60), оскільки найбільша кількість обчислювальних центрів має чисельність працівників саме в цих межах.

Отже, Mo = 50 + 10 55 (осіб).

Це говорить про те, що найбільша кількість обстежених центрів мають чисельність працівників 55 осіб.

Медіана

Me=,

          де x₀ та h - це нижня межа та ширина медіанного інтервалу; - частота медіанного інтервалу; - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу (накопичені частоти, таблиця 3),  - загальна кількість обстежених обчислювальних центрів. За накопиченою частотою знаходимо групу обчислювальних центрів за середньосписковою чисельністю працюючих (цієї групи має першою виправдати нерівність   0,5). Отже, наша медіана  (50 - 60).

Me = 50+10  51 (особа).

Отже, половина центрів, що були обстежені, мають середньспискову чисельність працюючих до 51 особи, а інша половина більше ніж 51 особу.

Знайдемо показники міри та ступеню варіації.

Визначаємо середнє квадратичне відхилення:

² =  Отже,  (осіб).

Отже, в середньому значення середньоспискової чисельності працюючих по кожному обчислювальному центру відхиляється від середньої кількості працюючих приблизно на 13 осіб.

Так як, коефіцієнт варіації менше 33% (V < 33%), то можна сказати, що досліджувана сукупність обчислювальних центрів за середньосписковою чисельністю працюючих є однорідною і середня середньоспискова чисельність працюючих, що становить 52 особи є типовою і надійною для даної сукупності, а тому може бути використана в якості узагальнюючої характеристики.

3. Визначаємо довірчий інтервал для середньої, це означає - з певним рівнем імовірності відповісти на запитання: в яких межах за своїм числовим значенням міститься та чи інша характеристика генеральної сукупності. Відповісти на це запитання можна на підставі характеристик вибіркової сукупності та граничної помилки вибірки. Ця помилка має випадковий характер, а тому може бути заздалегідь обчислена за спеціальною формулою:

де t - довірчий коефіцієнт, що залежить від рівня ймовірності (Р), з яким гарантується висновок;  - середня помилка вибірки.

За умови без повторного відбору середня помилка вибірки для середньої обчислюється:

= , осіб

Де n - це чисельність вибіркової сукупності (n=25), а тому  - частка вибірки, яка відома з умови задачі (вибірка 20%). Очевидно, що - середній квадрат відхилення (дисперсія) кількісної ознаки, яка обчислюється за даними вибіркової сукупності (=169).

Оскільки за умовою, рівень імовірності Р=0,997, то t=3, а отже гранична помилка вибірки:

Δ = 3 · 2, 33 = 6, 99, для зручності обрахунку округлюємо до 7 осіб

Таким чином, довірчий інтервал = 52 ±7, можна записати:

- 7 52+7

  59

З обрахунків, можна зробити висновок, що в 997 випадках із 1000 середня чисельність працюючих обчислювальних центрів буде не менше 45 осіб і не більше 59 осіб і лише в 3-х випадках з 1000 - значення досліджуваного показника (середньоспискова чисельність працюючих) може вийти за встановлені межі.

2. Наведені нижче дані характеризують результати перевірки консервів на якість

Таблиця 4. Статистичні дані результатів перевірки консервів на якість

Визначити середній відсоток забракованих банок. Обґрунтувати вибір виду середньої.

Розв’язання

За умовою задачі частоти виражені у відсотках, тому скористаємось формулою середньої арифметичної зваженої:

,

де d_j= ·100% - питома вага кожної частини в загальному обсязі всіх частот (у процентах); d₁= ·100 = 33,33 (%);₂= ·100 = 66,67 (%)

х - окремі значення ознаки;

= 9,17 (%).

Отже, середній відсоток забракованих банок від загальної кількості перевірених становить 9,17%.

3. Динаміка продажу населенню будівельних матеріалів характеризується даними

Таблиця 5. Динаміка продажу населенню будівельних матеріалів

Для кожного виду будівельних матеріалів визначте: а) темп приросту продажу за два роки; б) середньорічний абсолютний приріст продажу. Зробіть висновки.

Розв’язання

Результати розрахунків аналітичних показників ряду динаміки наведені у таблиці 6.

Позначаємо рівні ряду динаміки через y₀, y₁, y₂. y₀ - база порівняння. При порівнянні кожного наступного рівня з кожним попереднім отримаємо ланцюгові показники, а при порівнянні кожного наступного з початковим рівнем - базисні.

Знаходимо темп зростання k_t. з формули для обчислення темпу приросту T_t, який показує, на скільки процентів рівень y_t більше (менше) рівня, взятого за базу порівняння.

,

інтервальний варіація середньосписковий

звідси

=  / 100 +1,

отже для 2010 року коефіцієнт росту буде:

= /100 +1= 15/100+1 = 1,15;

= /100 +1 = 16/100+1 = 1,16.

Для 2011 року:

= /100 +1= 10/100+1 = 1,1;

= /100 +1 = 25/100+1 = 1,25.

З формули =  знаходимо обсяг продажу : =  та . Таким чином, для 2010 року:

= цем= 220·1,15 = 253 тис. т;

= пиломат =150·1,16 = 174 тис. кв. м;

Для 2011 року обсяг продажу:

= цем= 253·1,1 = 278,3 тис. т;

= пиломат =174·1,25 = 217,5 тис. кв. м;

Тепер можемо знайти базовий коефіцієнт росту для кожного з років та виду будівельного матеріалу за формулою:  (див. табл. 6).

Далі знаходимо абсолютний приріст (або зменшення) Δ_t - це різниця рівнів динамічного ряду. (Сума ланцюгових абсолютних приростів дорівнює кінцевому базисному).

Базовий абсолютний приріст визначається за формулою: ,

Ланцюговий абсолютний приріст -  (розрахунок в табл. 6).

Базовий темп приросту у 2010-2011 роках знаходимо за формулою:

Т = ( - 1) · 100%

для кожного виду будівельного матеріалу (розрахунок в табл. 6).

Абсолютне значення приросту A% знаходимо за формулою: . Воно показує, чого вартий один процент (розрахунок в табл. 6).

Середній абсолютний приріст розраховується як середня арифметична проста з ланцюгових абсолютних приростів:

,

де n - число ланцюгових абсолютних приростів.

Отже,  тис. т - середньорічний абсолютний приріст продажу цементу.

А середньорічний абсолютний приріст продажу пиломатеріалів:

 тис. кв. м.

Таким чином у 2010-2011 роках порівняно з 2009 роком спостерігається збільшення обсягів продажу як цементу, так і пиломатеріалів населенню. Обсяг продажу цементу в 2010 році збільшився на 33 тис. т, а в 2011 році на 58,3 тис. т порівняно з базовим 2009 роком. Продаж пиломатеріалів збільшився на 24 тис. кв. м в 2010 році і на 67,5 тис. кв. м. в 2011 році.

У 2011 році порівняно з 2010 роком обсяги продажу цементу і пиломатеріалів населенню збільшилися відповідно на 25,3 тис. т (10%) та 43,5 тис. кв. м (25%).

Протягом 2010-2011 років в середньому обсяг продажу цементу збільшився на 29150 т, а середньорічний продаж пиломатеріалів збільшився на 33750 кв. м.

4. Є такі дані про вартість та кількість імпорту товарів

Таблиця 7. Статистичні дані вартості та кількості імпорту товарів

Розрахувати: 1) зведений індекс цін; 2) індекс товарообороту; 3) індекс фізичного обсягу; 4) показати мультиплікативний (взаємозв`язок індексів) та адитивний зв’язки (абсолютні зміни) і зробити висновки.

Для зручності занесемо деякі розрахунки до таблиці 8.

Таблиця 8. Вартість та кількість імпорту товару. Торгові обороти

) Зведений індекс цін знаходимо за формулою:

= ,

де  - вартість імпорту в базисному періоді, тис. дол.

 - вартість імпорту в звітному періоді, тис. дол.

Тоді,

          для товарної групи 1201: =  =  = 1,428;

          для товарної групи 1202: =  =  = 1,6.

) Індекс товарообороту

, де

₀ - кількість імпортованих товарів в базисному періоді, тис. т;

q₁ - кількість імпортованих товарів в звітному, тис. т;

«p₀q₀» і «p₁q₁» - товарооборот, відповідно, базисного і звітного періодів;

тоді  = 1,9862.

) Визначаємо індекс фізичного обсягу імпортованих товарів:

=1,2762

) Індекси пов’язані між собою рівністю:

,

а тому визначимо індекс ціни:

= =1,5564

тоді рівність матиме вигляд:

,9862=1,55641,2762

Абсолютні зміни імпортованих товарів внаслідок зміни ціни становитиме:

=37276 тис. дол.

Абсолютні зміни імпортованих товарів за рахунок збільшення фізичного обсягу імпортованих товарів становитиме:

=(50034+100050) - (50025+100040)=

Абсолютний приріст товарообороту за два періоди становитиме:

= (71434+160050) - (50025+100040) =

=104276 - 52500 = 51776 тис. дол.

Визначені абсолютні прирости зв’язані між собою такою рівністю:

; 51776=37276+14500

Таким чином, у звітному кварталі фізичний обсяг імпорту в середньому зріс на 28%. Приріст товарообороту склав (67000-52500) 14500 тис. дол. Товарооборот імпорту у фактичних цінах зріс на 98%, що в абсолютному вираженні складає (104 276-52500) 51776 тис. дол.

Абсолютна зміна товарообороту за зміною ціни зросла на 37276 тис. дол. США, а за зміною кількості імпортованих товарів 14500 тис. дол.

5. Динаміка витрат праці працівників сільськогосподарського підприємства характеризується такими даними

Таблиця 9. Динаміка витрат праці працівників сільськогосподарського підприємства

Визначити зведені індекси: 1) витрат праці; 2) працемісткості виробництва; 3) фізичного обсягу, використовуючи взаємозв’язок співзалежних індексів. Побудувати адитивну модель (визначити абсолютні зміни) і зробити висновки.

Розв’язання

Для зручності занесемо деякі розрахунки до таблиці 9:

Таблиця 9. Індексні показники по підприємству

1)       Розрахуємо зведений індекс трудомісткості згідно формули:

,

 (тис. люд.-год.).

2)       Зведений індекс продуктивності праці розрахуємо за формулою:

,

 (тис. люд.-год.)

3)       Відносну зміну загальних затрат праці загалом розрахуємо за формулою:

, =111:92=1,21 (тис. люд.-год.)

Абсолютна зміна загальних затрат праці становить:

, =111-92=19 (тис. люд.-год.).

Визначимо взаємозв'язок індексів:

-1,67+20,67=19 (тис. люд.-год.)

Отже, трудомісткість у поточному періоді зменшилась на 1%, що у абсолютному відношенні складає 1,67 тис. люд.-год. Продуктивність праці у поточному періоді зросла на 22%, що у натуральному вимірнику складає 20, 67 тис. люд.-год.

Загалом витрати праці зросли на 21%, що в абсолютному відношенні складає 19 тис. люд.-год.

Список літератури

1. Буданов К.М., Лосева О.В. Практикум по общей теории статистики: Учебное пособие / Пенз. гос. Пед. університет. - Пенза, 2009. - 92 с.

2.       Громыко Г.Л. Теория статистики: Практикум. - 4-е изд. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 240 с.

.         Герасименко С.С., Головач А.В., Єріна Є.М. та ін.; За ред. С.С. Герасименка. - 2-е видання. - К.: КНЕУ, 2000. - 467 с.

4. Галіцка Е.В., Моторина Т.М. Міжнародна статистика. - К.: Київ. ун-т, 2000.

.   Касаева, Т.В. Статистика предприятия: курс лекций / Т.В. Касаева. - Витебск: УО «ВГТУ», 2007. - 151 с.