Критерий сходимости Коши
Введение
сравнение ряд критерий
математический
В данной работе рассмотрены следующие источники:
Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу.
- М.: Высш. шк., 1999, 347-366с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального
исчисления. Том 2. - М.: Лань,2002 ,11-32c.
Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по
математическому анализу. - М.: Высш. шк. 1966. 342с.
Харди Г. Х. Курс чистой математики. - М.: Гос.
изд. иностр. лит.1949. 341 с.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
Том 2. - М.: Высш. шк.,1988.25-27с.
В первом источнике подробно расписана вся тема,
но нет определения знакопеременных рядов и геометрического смысла интегрального
признака. Во втором источнике можно найти основные теоремы и определения, а
также определение знакопеременного ряда и геометрический смысл интегрального
признака, которые и представлены в работе. Геометрический смысл можно найти в
пятом источнике, но в нем скудно раскрыты аспекты рассматриваемой темы. Третий
источник дает лишь поверхностное представление о числовых рядах, рассматривая
основные определения и теоремы. В четвертом источнике очень мало можно найти
нужной информации, но можно рассмотреть признак сравнения рядов.
Исходя из анализа представленной литературы,
основой для написания работы я посчитала целесообразнее использовать материал
из первого источника, так как в нем более подробно и удобнее изложен материал.
Сходимость и сумма числового ряда
Определение 1. Пусть {} -
произвольная числовая последовательность. Числовым рядом или просто рядом
называется формальная бесконечная сумма S вида
.
Обычно используется следующая
сокращенная запись:
,
Или просто .
Рассмотрим новую последовательность
{},
задаваемое равенством
.
Определение 2. Последовательность {} называется
последовательностью частичных (или частных) сумм ряда , а ее n-й член
называется n-й частичной
суммой этого ряда.
Определение 3. Если
последовательностью {} частичных
сумм ряда сходится к
числу , т.е. если , то ряд называется
сходящимися (к ), а число - его
суммой. В это случае пишут
.
Если же последовательность {} не имеет
предела, то говорят, что ряд расходиться.
В основном нас будут интересовать
сходящиеся ряды.
Определение 4. Если ряд сходится к
числу , то
последовательность называется
остаточным членом или остатком ряда.
Заметим, что так как при , то при .
Несколько модифицируем введенные
определения и обозначения. Если в числовой последовательности {} отбросить
несколько начальных членов, например, в количестве , то
оставшиеся члены в
совокупности можно снова рассматривать как некую новую последовательность {},
задаваемую равенством .
Рассматривая {} как общий
член ряда для его
частичных сумм получим
равенство
.
Кроме того, ряд как
формальную бесконечную сумму можно записать в виде
.
Таким образом, бесконечную сумму тоже можно
рассматривать как ряд [1], [2], [3], [5].
Далее будем рассматривать также
формальные ряды вида , где ns -
какая-либо последовательность натуральных чисел, и исследовать их на
сходимость.
Утверждение 1. Остаточный член rn ряда можно
представить в виде ряда в том
смысле, что:
. его сумма равна rn , когда
исходный ряд сходится
. это представление
принимается как формальное равенство, когда оба равенства расходятся;
. другие случаи не имеют
места.
Доказательство начнем с п.3. При для
частичных сумм ряда и sk+n ряда имеет место
равенство .
Ясно, что при фиксированном n сходимость
и расходимость последовательностей {} и {sk+n } имеют
место одновременно, что и означает справедливость утверждения п.3.
В случае 1, т.е. когда оба ряда
сходятся, можно перейти к пределу при в равенстве . Тогда
получим
;
тем самым утверждение п. 1 доказано
[1].
Относительно утверждения п. 2
следует заметить, что формальное равенство
Можно рассматривать как определение
одной из возможных операций над формальными числовыми рядами. Приведении
подобных операций необходимо только требовать, чтобы правые и левые части
равенств переходили бы в равенство между числами в случае наличия сходимости
хотя бы для одной из частей равенства, что действительно имеет место в нашем
случае. Доказательство закончено.
Утверждение 2. Отбрасывание любого
конечного числа членов в бесконечной сумме или прибавление к ней любого
конечного числа новых слагаемых не влияет на сходимость ряда.
Доказательство. Рассмотрим случай
отбрасывания слагаемых, так как второй случай разбирается аналогично. Итак,
пусть мы отбросили члены ряда с номерами . Оставшиеся
слагаемые переномеруем в порядке возрастания их прежних номеров. Общий член
получившейся таким образом последовательности обозначим . Тогда при
любом имеем
.
Отсюда следует, что
последовательности частичных сумм этих рядов и сходятся и расходятся одновременно.
Утверждение доказано.[1].
Утверждение 3. Если и , то
Утверждение 4. Если и , то .
Доказательство утверждений 3 и 4
есть прямое следствие определения суммы ряда и арифметических свойств
сходящихся последовательностей {} и {} как частичных сумм рядов и .
Доказательство закончено.
Утверждение 5. (необходимый признак
сходимости ряда). Если ряд сходится, то при . Другими
словами, {} есть
бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Имеем . Отсюда при
получим , что и
требовалось доказать.[1], [2], [5].
Примеры.
. Ряд сходится, и его сумма равна 1.
Действительно, имеем
при , т.е. .[1].
. Сумма членов бесконечной
геометрической прогрессии вида
, при .
В случае имеем , и ряд
расходится. При справедливо
равенство
.
Известно, что при и {} расходится
при .
Таким образом, указанный ряд
сходится к сумме при и
расходится при , .[1].
.Гармонический ряд расходится,
а ряд сходится
при .
Применим теорему 2. При всех и имеем
.
Таким образом условия теоремы 2
будут выполнены, если положить и при любом в качестве и взять числа
. Тем самым
расходимость ряда установлена. Для доказательства сходимости ряда по теореме
Вейерштрасса достаточно доказать ограниченность его частичных сумм , поскольку
они монотонно возрастают. Рассмотрим какое-либо с условием . Тогда
справедлива следующая оценка
Таким образом, частичные суммы {} ограничены
в совокупности, что и означает сходимость искомого ряда.[1].
Теорема 1 (критерий Коши). Для
сходимости ряда необходимо
и достаточно, чтобы для любого существовал номер такой, что
при всяком натуральном и всех имело место
равенство
.
Доказательство. Утверждение теоремы
равносильно критерию Коши для сходимости {} частичных сумм ряда, что согласно
определению и есть сходимость его самого. Теорема доказана.[1], [2], [5].
Теорему 1 можно переформулировать
таким образом, чтобы иметь критерий расходимости ряда в прямом
виде.
Теорема 2 (критерий Коши для
расходимости ряда). Для расходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
существовало хотя бы одно с условием,
что для любого номер найдутся
натуральные и , для
которых справедливо равенство
.[1].
Знакопостоянные ряды
Определение 5. Всякое выражение вида
называется
отрезком ряда.[1].
Определение 6. Знакопеременными
называются ряды, члены которых имеют то положительный, то отрицательный знаки[2].
Определение 7. Ряд называется
рядом с неотрицательными членами, если при всех n имеем .[1], [2].
Теорема 2. Для сходимости ряда , где при всех n, необходима
и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм.
Доказательство. Пусть - n-я частичная
сумма ряда . Поскольку , имеем, что
{} не
убывает. Теперь требуемый результат вытекает из критерия Вейерштрасса для
сходимости монотонной последовательности. Доказательство закончено.[1].
Пример. Пусть и не убывает
и положительна. Тогда ряд расходится,
а ряд сходится.
Действительно, для частичных сумм и этих рядов
имеем
[1].
Сравнение рядов
Теорема 3 (признак сравнения). Пусть
и - два ряда
с неотрицательными членами и пусть, начиная с некоторого , для всех имеем . Тогда:
. сходимость ряда влечет за
собой сходимость ряда ;
. из расходимости ряда следует
расходимость ряда .
Доказательство. Без нарушения
сходимости можно отбросить первые членов каждого ряда. При всех полагаем
.
Тогда для любого имеем . В случае
1. последовательность {}
ограничена, следовательно, и {} тоже ограничена и ряд сходится. В
случае 2. последовательность , поэтому , т. е. ряд расходится.
Теорема доказана.[1], [4], [5].
Замечание. Говорят, что ряд мажорирует
ряд , а
последний, в свою очередь, его минорирует.
Теорема 4 (обобщенный признак
сравнения). Если в условии теоремы 3 неравенство заменить
неравенством , то ее
утверждение также будет иметь место.
Доказательств. Поскольку
отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на его сходимость, с
самого начала можно считать, что . Перемножая все неравенства из
условия теоремы до номера включительно,
приходим к неравенствам вида
, .
Применяя теорему 3, получаем
требуемый результат относительно рядов и , а так как умножение всех членов
ряда на одно и то же число, отличное от нуля, не влияет на сходимость, теорема
доказана.[1].
Признаки сходимости Даламбера, Коши,
интегральный признак сходимости
Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть
для членов ряда ,начиная с
некоторого номера , выполнены
условия:
. ;
. , где .
Тогда ряд сходится.
Если же при всех вместо
неравенства 2 имеем , то ряд расходится.
Доказательство. Сравним ряд со
сходящимся рядом , где . При имеем
.
Поэтому первое утверждение теоремы 5
вытекает из теоремы 4.
Во втором случае надо положить для всех . Тогда
ввиду расходимости ряда и
неравенств
из той же теоремы 4 следует
расходимость ряда . Теорема
доказана.[1], [2], [5].
Теорема 6 (признак Даламбера в
предельной форме). Рассмотрим ряд с условием для всех . Положим
, .
Тогда при всех ряд сходится, а
при -
расходится.
Доказательство. Рассмотрим сначала
первый случай. Положим . Тогда . Поскольку , при
некотором имеем
.
Следовательно, ряд сходится в
силу первого утверждения теоремы 5.
Рассмотрим теперь второй случай.
Положим . Тогда
имеем . Поскольку , при
некотором имеем
оценку
.
Тем самым ряд расходится
по второму утверждению теоремы 5. Теорема доказана. [1].
Замечание. При вопрос о
сходимости ряда в теоремах
5 и 6 остается открытым. Для примера можно указать на ряды и , один из
которых сходится, а другой - расходится, но в обоих случаях имеем . Для
исследования сходимости подобных рядов требуются более «тонкие» признаки,
которые будут рассмотрены позже.
Несколько тонкий признак дает
следующая теорема.
Теорема 7 (признак Коши). Если для
членов ряда с условием , начиная с
некоторого номера , имеет
место неравенство , где число и
фиксировано, то ряд сходится.
Если же для бесконечно многих имеем , то этот
ряд расходится.
Доказательство. Рассмотрим сначала
первый случай. Последовательно имеем , , и так как , то ряд сходится по
признаку сравнения вместе с рядом .
Во втором случае для бесконечного
количества значений имеем , . Это
значит, что и ряд расходится,
поскольку условие необходимого признака сходимости ряда ( при ) не
выполняется. Теорема доказана.[1], [2], [5].
Теорема 8 (признак Коши в предельной
форме). Пусть
,
где при всех .
Тогда при ряд сходится, а
при -
расходится.
Доказательство. Положим сначала и допустим,
что . Тогда при
некотором имеем
.
Поэтому по первому случаю признака
Коши ряд сходится.
Если же , то при
всех имеем
оценку
.
Это означает существование бесконечного
множества значений , для
которых справедливо неравенство . Следовательно, ряд расходится
по второму случаю признака Коши. Теорема доказана.[1].
Признак Коши, как и признак
Даламбера, является довольно грубым. Он, например, тоже не позволят решить
вопрос о сходимости рядов и .
Теорема 9 (интегральный признак Коши
- Маклорена). Пусть функция определена на промежутке и убывает на
нем. Тогда:
. если при всех и
несобственный интеграл сходится,
то ряд тоже
сходится;
. если при всех и
несобственный интеграл расходится,
то расходится и ряд .
Доказательство. Как и выше, без
ограничения общности будем считать, что . Далее, поскольку монотонно
убывает, при всяком натуральном и имеем
.
Интегрируя это неравенство по
указанному промежутку, получим
При всяком просуммируем
эти неравенства по от 1 до . Получим
.
Далее каждый из двух случаев будем
рассматривать отдельно.
. В этом случае интеграл сходится,
поэтому при всех для
частичных сумм ряда имеет место
единообразная оценка вида , и
поскольку для всех
натуральных , ряд сходится, а
вместе с ним сходится и мажорируемый им ряд , что и требовалось доказать.
. Поскольку в этом случае
интеграл расходится,
при . Но так как
,
то и при . А это означает, что ряд расходится
вместе с рядом , для
которого первый ряд по условию является минорантой. Теорема доказана.[1], [2].
Геометрическая интерпретация
интегрального признака
Рис.
Интегральный признак допускает
простое геометрическое истолкование. Если изобразить функцию кривой
(рис. 1), то интеграл выражать
площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью и двумя ординатами; интеграл же , в
некотором смысле, можно рассматривать для площади всей бесконечно
простирающейся направо фигуры под кривой. С другой же стороны, члены ряда выражают
величины ординат в точках или, что то
же, площади прямоугольников с основаниями 1 и с высотами, равными упомянутым
ординатам.
Таким образом, сумма ряда есть не что
иное, как сумма площадей, выходящих прямоугольников, и лишь первым членом
отличается от суммы площадей входящих прямоугольников. Это делает наглядным
установленный выше результат: если площадь криволинейной фигуры конечна, то и
подавно конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры. И предположенный
ряд сходится; если же площадь криволинейной фигуры бесконечна, то бесконечна и
площадь содержащей ее ступенчатой фигуры, так что в этом случае ряд расходится
[2], [5].
Литература
.Архипов
Г. И. Лекции по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999, 347-366с.
.Фихтенгольц
Г. М. Курс дифференциального исчисления. Том 2. - М.: Лань,2002 ,11-32c.
.Запорожец
Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высш. шк.
1966. 342с.
.Харди
Г. Х. Курс чистой математики. - М.: Гос. изд. иностр. лит.1949. 341 с.
.Кудрявцев
Л. Д. Курс математического анализа. Том 2. - М.: Высш. шк.,1988.25-27с.