Изучение содержания, доказательств и применения основных математических теорем

Изучение содержания, доказательств и применения основных математических теорем

Содержание

Введение

.        Теорема Ферма

.        Теорема Ролля

.        Теорема Лагранжа

.        Теорема Коши

.        Правило Лопиталя

Заключение

Библиографический список

Введение

Математика всегда служила человеку инструментом познания. Она является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели (математические).

Математический язык является удобным языком для описания реальных явлений, где бы они ни происходили. Математика будет полезна современному человеку - менеджеру, экономисту, юристу, если ею научиться грамотно и успешно пользоваться в процессе познания.

Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Математика представляет собой стройную и глубокую совокупность знаний о математических структурах, она дает удобные и плодотворные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет функцию языка. Владение математикой дает людям мощные методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Актуальность данной работы изучить содержание, доказательства и применение указанных теорем, связь между ними.

Цели и задачи курсового проекта. Курсовой проект по дисциплине «Математика» входит в программу подготовки студентов по различным специальностям в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта. Цель проектирования - углубление и систематизация теоретических знаний студентов, развитие навыков практического использования методов и приемов научных исследований при решении конкретных проблем. В процессе выполнения курсового проекта ставятся следующие задачи: 1) научиться подбирать и обобщать теоретические материалы литературных источников по темам и конкретным заданиям проекта; 2) самостоятельно определять и обосновывать методы и приемы для выполнения курсового проекта, руководствуясь указаниями, приведенными в учебниках и методических рекомендациях; 3) дать соответствующую трактовку и обоснование используемых математических теорем.

Основная задача изучения математики и написания курсового проекта состоит в приобретении знаний об основных математических теорем, умений применять выдающиеся исследования по различным вопросам математического анализа.

1. Теорема Ферма

В 1630 году французский математик - любитель, юрист по профессии, Пьер Ферма (1601-1665) записал на полях Арифметики Диофанта Александрийского: «невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, больше квадрата, на две степени с тем же показателем» и добавил: «я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы» . После его смерти в бумагах П. Ферма нашли доказательство только для степени, равной 4.

Известно, что П. Ферма в своих математических изысканиях считал ценным лишь вывод, результат поиска. При его жизни не было опубликовано ни одной работы. Однако учёные того времени во многом обязаны Ферма, результаты исследований которого становились известными благодаря переписке и личным встречам. В переписке он нередко формулировал лишь теорему, полагая излишними рассуждения по её доказательству. Поэтому, когда его выводы находили подтверждение, учёным стоило немалого труда найти доказательства. Некоторые из них были доказаны уже после смерти Ферма, а Великая теорема Ферма, как её именуют потомки, в том виде, как она была сформулирована Пьером Ферма, не доказана до сих пор.

Теперь Великая теорема Ферма формулируется так: «для любого натурального числа n>2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z» [2, с. 605-608]. Сравнение этой формулировки с формулировкой Ферма свидетельствует о том, что потомки не только изложили её более корректно, но и существенно упростили. В этом виде доказательства ей, по некоторым сведениям, найдены, но «чудесными» их не называют. Признанное математическим миром доказательство американского математика Эндрю Уайлса при помощи его коллеги Тейлора, использующее теорию Ивасавы (раздел теории чисел), гипотезу Таниямы (аналог Великой теоремы, которая устанавливает связь между двухмерными и четырёхмерными формами), преобразования Фрея (приводящие уравнение Великой теоремы к уравнению эллиптической кривой, которая фигурирует в гипотезе Таниямы) потребовало порядка ста страниц. Наверняка Ферма имел в виду иное доказательство, которое соответствовало математическому аппарату того времени. Известно, что в тот период, когда Ферма сформулировал свою теорему, он занимался исследованиями конических сечений и бесконечно малых величин, дал общий закон дифференцирования и применил это закон к дифференцированию дробных степеней. Поэтому вполне вероятно, что он вывел уравнение, исследуя характеристики усечённого конуса. Математики забыли и упорно не хотят вспоминать о том, что в истоке соотношений, используемых при расчётах значений тригонометрических функций, лежит длина окружности, которая не имеет общей единицы измерения с радиусом. Похоже на то, что Пьер Ферма это помнил, но и его одолели сомнения. Вероятно, поэтому он не опубликовал доказательство Великой теоремы и не упомянул о ней в перечне своих достижений.

Первый вариант доказательства

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z1, выполняется равенство

(1) z12 = x2 + y2

(2) При показателе степени n>2

n = (x2 + y2)n/2 > xn + yn

(3) Очевидно, что в формуле

= xn + yn> y ≥ x или z > x ≥ y

Таким образом, можно констатировать, что равенству

= xn + yn при n>2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

(4) z < z1

Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника

(5) z2 < x2 + y2

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

(6) π/3 < z < π/2

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z

(7) z2 = x2 + y2 - 2xycos z

(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

В результате можно записать

(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника. Рассмотрим, какие значения может принимать тригонометрическая функция угла z.

(10) cos z = (x2 + y2 - z2)/2xy = β, здесь 0 < β < 0,5

Значение угла z есть отношение длины дуги, заключённой между его сторонами, которая описана произвольным радиусом из вершины угла, к радиусу. Длина дуги выражается иррациональным числом. Рациональными числами можно задать лишь интервал значений, в котором находится её длина. Поэтому и значение угла z может быть задано с любой точностью рациональными числами только интервалом значений, в котором находится его величина. Отсюда следует, что угол z нельзя задать рациональным числом. Значения тригонометрической функции этого угла можно вычислить для заданных пределов интервала значений угла. Но значение тригонометрической функции угла нельзя выразить рациональным числом. Поэтому значения длины линии синуса и косинуса также можно выразить рациональными числами только значениями пределов интервала, в котором эти длины находятся.

В вычислениях иногда используется также градусное измерение углов. При этом ставится знак равенства между иррациональным и рациональным числом, например, z = π/2 = 900. Это равенство в теоретическом плане некорректно. Также в теоретическом плане некорректно выражать результаты вычислений длины линий синусов и косинусов рациональными числами. Рациональными числами можно выражать значения только дискретно изменяющихся величин. Значения функций, не имеющих разрывов, во всех случаях выражаются иррациональными числами.

Если предположить, что cos z может принимать рациональные значения, и знак равенства в (9) правомерен, то Великая теорема Ферма опровергнута. Но тогда следует признать неверным доказательство, выполненное Эндрю Уайлсом. Для проверки этого вывода можно найти множество решений остроугольных треугольников в рациональных числах относительно стороны z. При подстановке полученных значений в (3) должно иметь место равенство, но это противоречит результатам многочисленных экспериментов, компьютерных расчётов до чрезвычайно больших значений x, y, z и n.

В современной математике принято при переходе от остроугольного треугольника к прямоугольному треугольнику приравнивать значение 2xycosz нулю. Эти действия допустимы при решении практических задач, но не допустимы в теоретическом анализе, поскольку противоречат (10).

Строго говоря, прямоугольных треугольников не существует вовсе. Но, учитывая, что главное назначение математики заключается в обслуживании прикладных наук, условно можно допустить существование прямоугольных треугольников, заданных с любой необходимой точностью. Это допущение используется как метод решения уравнений, основанный на случайном совпадении вида уравнений разного рода, описывающих соотношения площадей и соотношения сторон треугольника. [9, с. 443-551]

В теоретическом плане теорема Пифагора применима для определения соотношения площадей, там где в уравнении используются значения соизмеримых отрезков. В треугольниках же длины сторон несоизмеримы. Как минимум, одна из сторон имеет иррациональное значение. Именно это и доказывает Великая теорема Ферма, которая по существу есть решение треугольника, записанное в алгебраической форме.

Учитывая сказанное, не существует значения zn, которое удовлетворяло бы равенству (9).

(11) zn ≠ xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2 при n>2

Второй вариант доказательства

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z1 (рис.1), выполняется равенство

(1) z12 = x2 + y2

При показателе степени n>2

(2) z1n = (x2 + y2)n/2 > xn + yn

(3) Очевидно, что в формуле

= xn + yn> y ≥ x или z > x ≥ y

Таким образом, можно констатировать, что равенству

= xn + yn при n>2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

(4) z < z1

Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника

(5) z2 < x2 + y2

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

(6) π/3 < z < π/2

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z

Отсюда алгебраическим преобразованием получаем

(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

В результате можно записать

(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

Треугольник, согласно (5), можно преобразовать в прямоугольный треугольник со сторонами zn, xn и yn умножением длины каждой из сторон на коэффициенты zn-1, xn-1 и yn-1 соответственно . Его решение будет иметь вид

(10) z2n = x2n + y2n

Если стороны этого треугольника уменьшить до величин zn/2, xn/2 и yn/2, то по обратной аналогии с (2) получим разомкнутый прямоугольный треугольник, в решении которого

(11) zn < xn + yn

Но это значение zn нами уже получено алгебраическим преобразованием, (9).

Великая теорема Ферма опровергнута, если одновременно выполняются условия (9) и (11), то есть

(12) zn < xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Очевидно, что (12) противоречит (9). Условие опровержения Великой теоремы Ферма не выполнено, следовательно, эта теорема верна.

Расширение Великой теоремы Ферма.

Приняв за основу первый вариант доказательства, рассмотрим выражение (11)

≠ xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2 в области значений n≤2.

При n=2 остроугольный треугольник преобразуется в прямоугольный треугольник.

В области значений 1<n<2 мы имеем тупоугольный треугольник, у которого угол, противолежащий стороне z, z>π/2. В этой области Великая теорема Ферма будет иметь вид

(1) zn ≠ xn + yn при 1<n<2

При показателе степени n<2

(2) z1n = (x2 + y2)n/2 < xn + yn

(3) Очевидно, что в формуле

= xn + yn> y ≥ x или z > x ≥ y

Таким образом, можно констатировать, что равенству

= xn + yn при n<2

соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона

(4) z > z1

Конец гипотенузы такого разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У этого разомкнутого прямоугольного треугольника

(5) z2 > x2 + y2

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также тупоугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём

(6) π/2 < z < π

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного тупоугольного треугольника относительно стороны z

(7) z2 = x2 + y2 - 2xycos z

Отсюда

(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

В результате можно записать

(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

Доказательство неравенства

(10) zn ≠ xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z)n/2 при 1<n<2

по существу ничем не отличается от первого и второго варианта доказательства Великой теоремы Ферма.

Таким образом, Великую теорему Ферма в расширенном виде можно, с учётом принятого допущения о существовании прямоугольных треугольников, можно сформулировать:

Для любого вещественного числа 1<n≠2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в вещественных, ненулевых числах x, y, z, если оно не может быть преобразовано упрощением в уравнение, не отвечающее данным условиям.

2. Теорема Ролля

Ролль, Мишель - французский математик (1652-1719). По прибытии в Париж, в возрасте 23 лет, он в начале добывал себе средства к существованию перепиской. Его математические сведения, обнаружившиеся, между прочим, в решении трудной задачи, предложенной Озанамом, открыли ему двери академии. В 1685 г. он сделался ее членом. Академическая деятельность Роля. ознаменовалась горячими и бурными нападками на дифференциальное исчисление и на анализ Декарта. Р. в 1701 г. выступил с резкими возражениями как против логических оснований дифференциального исчисления, так и против достигнутых Декартом результатов. Вариньон разоблачил нагромождение ошибок, совершенных Р., и дал в своем опровержении истинное понятие о дифференциалах. В 1702 г. в журнал "Journal des Savans" Pолль выступил с новой статьей против дифференциального исчисления. Защитником последнего на этот раз явился Сорен, действовавший так же успешно, как и его предшественник. В 1705 г. и академия признала Ролль неправым, с чем позднее согласился и сам Ролль. Затем возник спор между Ролль и аббатом де Гюа по поводу нападок первого на анализ Декарта. Полемические сочинения Ролль полны ошибок и отличаются темнотой изложения. Из его сочинений, относящихся к дифференциальному исчислению и напечатанных в мемуарах парижской академии, укажем следующие: "Remarques sur les lignes géométriques" (1702 и 1703), "Du nouv. système de l'infini (1703), "De l'inverse des tangentes" (1705), "Observations sur les tangentes" (1705). ( превод с франц.: "Замечания о геометрических линиях" (1702 и 1703), "новая система бесконечности (1703), "обратная касательной" (1705), "Замечания по касательной" (1705)). Несмотря на пренебрежение, с которым относились и относятся к спору Ролля о дифференциальном исчислении, он все-таки заставил Лейбница и его сторонников отнестись к логическим основаниям предмета с большей внимательностью, чем это обыкновенно делается в отношении новых учений. Занимаясь решением неопределенных уравнений 1-ой степени в целых и положительных числах, Ролль нашел для него метод, стоящий значительно выше данного его предшественником Баше де Мезириаком. Еще важнее работы Ролля по предмету численного решения уравнений и особенно найденный им для определения пределов, заключающих корень уравнения, метод каскадов. Известна его теорема: "между двумя, следующими друг за другом, корнями уравнения f'(z) =0 может заключаться не более одного корня уравнения f(z)=0". Изложение всех этих исследований Ролля находится в его "Traité d'Algèbre" и в "Sur les effections géométriques" (Париж, 1690). В "Traité d'Algèbre" обращают на себя внимание: глава о разыскании общего наибольшего делителя двух многочленов, составляющих уравнения, и теорема о числе значений корня n -ой степени. Все эти исследования Р., несмотря на свою важность, частью были не замечены современниками, а частью забыты.

Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении. [2, с. 400]

Начнем рассмотрение теоремы.

Теорема 1.1. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка ,  обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума  и максимума  (рис. 1.1).

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае  для любого .

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой .

Так как рассматриваемое значение  является максимальным, то для него справедливо, что  для  и .

Рассмотрим пределы

 для

и

 для .

математика теорема ферма лагранж

Так как оба предела равны производной функции  в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности  и  следует, что , что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка  функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось  в двух точках ,  или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между  и  касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках  у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции  (рис. 1.2):

Рис. 1.2

Данная функция непрерывна на отрезке  и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

3. Теорема Лагранжа

Жозеф Луи Лагранж (Lagrange) (25.1.1736, Турин, - 10.4.1813, Париж), французский математик и механик, член Парижской АН (1772). Родился в семье обедневшего чиновника. Самостоятельно изучал математику. В 19 лет Лагранж уже стал профессором в артиллерийской школе Турина. В 1759 году избран членом Берлинской АН, а в 1766-1787 годах был её президентом. В 1787 году Лагранж переехал в Париж; с 1795 года профессор Нормальной школы, с 1797 года - Политехнической школы.

Наиболее важные труды Лагранжа относятся к вариационному исчислению, к аналитической и теоретической механике. Опираясь на результаты, полученные Эйлером, он разработал основные понятия вариационного исчисления и предложил общий аналитический метод (метод вариаций) для решения вариационных задач. В классическом трактате "Аналитическая механика" (1788; русский перевод, т. 1-2, 2 изд., 1950) Лагранж в основу всей статики положил "общую формулу", являющуюся принципом возможных перемещений, а в основу всей динамики - "общую формулу", являющуюся сочетанием принципа возможных перемещений с принципом Д'Аламбера (принцип Д'Аламбера - Лагранжа). Из "общей формулы" динамики может быть получена, как частный случай, "общая формула" статики. Лагранж ввёл обобщённые координаты и придал уравнениям движения форму, называемую его именем (уравнения Лагранжа).

Лагранж стремился установить "простые" и "всеобщие" принципы механики. При этом исходил из характерных для прогрессивных учёных 18 века представлений, что только такие принципы могут быть истинными, соответствующими объективной реальности.

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу.

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой

.

Доказательство. Рассмотрим график функции  (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки  и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

Рис. 2.1

 и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление  в точках  и  показывает, что . Значит, функция  на отрезке  удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке  производная , то есть

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка  существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при  теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.

4. Теорема Коши

Огюстен Луи Коши (Cauchy) (21.8. 1789, Париж, - 23.5.1857, Со), французский математик, член Парижской АН (1816). Окончил Политехническую школу (1807) и Школу мостов и дорог (1810) в Париже. В 1810-13 годах работал инженером в г. Шербур. В 1816-30 годах преподавал в Политехнической школе и Коллеж де Франс. С 1848 года в Парижском университете и в Коллеж де Франс.

Работы Коши относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики. Его курсы анализа ("Курс анализа", 1821, "Резюме лекций по исчислению бесконечно малых", 1823, "Лекции по приложениям анализа к геометрии", т. 1-2, 1826-1828), основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени.

В них он дал определение понятия непрерывности функции, чёткое построение теории сходящихся рядов (теорема Коши - Адамара), определение интеграла как предела сумм и др. Коши систематически развивал основы теории аналитических функций комплексного переменного (уравнения Коши-Римана), дал выражение аналитической функции в виде интеграла (интеграл Коши), разложение функции в степенной ряд (теорема Коши), разработал теорию вычетов.

В области теории дифференциальных уравнений Коши принадлежат: постановка т. н. задачи Коши, основные теоремы существования решений и метод интегрирования уравнений с частными производными 1-го порядка (метод Коши - метод характеристических полос). В работах по теории упругости он рассматривал тело как сплошную среду и оперировал напряжением и деформацией, относимой к каждой точке.

В работах по оптике Коши дал математическую разработку теории Френеля и теории дисперсии. [7, с. 109] Коши принадлежат также исследования по геометрии (о многогранниках), по теории чисел, алгебре и т. д. По политическим убеждениям Коши - ультрароялист, сторонник Бурбонов (после Революции 1830 года - в эмиграции до 1838 года), клерикал.

Рассмотрим, наконец, четвертую теорему о среднем, принадлежащей Коши, которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции  и  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем  не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой

.

Доказательство. Так как  во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках  и  дает: . Значит, функция  удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Вычислим производную :

.

Из условия  следует, что

 и ,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

5. Правило Лопиталя

Гийом Франсуа Лопиталь (фр. Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, 1661-1704) - французский математик, автор первого учебника по математическому анализу.

Сын богатых родителей, маркиз Лопиталь поступил сперва в военную службу, но по слабости зрения вскоре оставил ее и посвятил себя наукам. Состоял членом Парижской академии наук, участник ученого кружка Мальбранша. Был женат на Мари-Шарлотт де Ромий де ла Шенелэ (фр. Marie-Charlotte de Romilley de la Chesnelaye), тоже занимавшейся математикой.

В 1690-х годах занял видное место в школе Лейбница, с новым методом которого его познакомил Иоганн Бернулли в 1692 во время своего пребывания в Париже в поместье Лопиталя.

Главная заслуга Лопиталя заключается в первом систематическом изложении математического анализа, данное им в сочинении «Анализ бесконечно малых» (фр. Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, 1696). В этой книге собраны и приведены в стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных повременных изданиях, а также приводится Правило Лопиталя. В предисловии Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Современников, однако, сильно озадачило то, что Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком.

Другое известное сочинение Лопиталя, «Traité analytique des sections coniques», напечатано в 1707 г. Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в том числе о кривой наименьшего времени ската (см. Брахистохрона), о кривой, по которой должен двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий в равновесии подъемный мост. Решение этих задач помогло ему стать в один ряд с Ньютоном, Лейбницем и Якобом Бернулли. [1, с. 240]

На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя.

Теорема. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала  и при  совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть

.

Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при  выполняется равенство . Возьмем точку . Так как функции  и  удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке :

,

где . Так как , то

.

Перейдем в данном равенстве к пределу:

.

Но если , то и , находящееся между точками  и , будет стремится к , значит

.

Отсюда, если , то и , то есть

,

что и требовалось доказать.

Если при  , то снова получается неопределенность вида  и правило Лопиталя можно применять снова, то есть

Доказательство правила Лопиталя для случая  проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.

При раскрытии неопределенностей типа , , , ,  правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду  или .

Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда . Наибольший практический интерес здесь представляют функции , , . Для этого найдем пределы их отношений:

) , значит,  растет быстрее, чем ;

) , значит,  растет быстрее, чем ;

) , значит,  растет быстрее, чем .

Заключение

Для успешной деятельности специалист с высшим образованием должен уметь максимально продуктивно использовать имеющуюся у него информацию о рассматриваем объекте или явлении. Кроме всегда имеющих непреходящую ценность знаний, интуиции и опыта, специалист должен хорошо ориентироваться в математическом аппарате, математическом моделировании, компьютерных технологиях. Важность владения методами математики обусловлена еще и тем, что современная информационная техника переработки информации базируется на математике. Изучая дисциплину «Математика», мы овладеваем языком математики и получаем основные сведения о тех ее разделах, на которые в дальнейшем опираются предусмотренные учебным планом различные специальные дисциплины, приобретаем знания об основных математических моделях, учимся применять основные математические методы, получаем навыки применения их в практической работе.

Можно сделать следующие выводы. Действительно, в процессе изучения приведённых теорем у меня сформировались навыки самостоятельного определения и обоснования доказательств и выводов для выполнения курсового проекта.

И так изучая материал по доказательствам теорем я лучше стала понимать роль математики в оценке количественных и пространственных взаимоотношений объектов реального мира. И я считаю, что математика крайне необходима любому грамотному специалисту современного уровня.

Библиографический список

1.      Баврин И.И. Курс высшей математики: Учебник для студентов пед. институтов… - М.: Просвещение, 1992. - 240 с.;

2.      Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.;

.        Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., М.Н.Высшая математика для экономистов: учебник для вузов/ Фридман под редакцией проф. Н.Ш. Кремера.-2-е. изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2000г.;

.        Краснов М. Л., Вся высшая математика т.1 изд.2. Едиториал УРСС, 2003- 328 с.;

.        Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.;

.        Математическая энциклопедия. М.СЭ.1985.т.5, - 605-608 с.;

.        Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002 - 109 с.;

.        Постников М. М. «Теорема Ферма», М., 1978;

.        Эндрю Уайлсом Модульные овальные кривые и последняя теорема Фермэта, Летопись Математики 1995, - 443-551с.;

Сеть интернет: http://hijos.ru/