Математические предложения и методика их изучения
Министерство образования Республики
Беларусь
«Гомельский государственный
университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Математические предложения и методика
их изучения
Исполнитель:
Студентка группы М-31
Селиканова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Процесс доказательства теорем
и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование
общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования
правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения
следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”
В курсе планиметрии
обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как
ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно
решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к
числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений.
Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения
задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование
или доказательство теорем.
Суждение – это такая форма мышления, в
которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или
отсутствие его свойств, связей.
Суждение – это форма связей понятий друг с
другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает;
2) является или истинным, или ложным.
Например: 1) любой параллелограмм есть ромб –
ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм – истинно; 3) “ есть
функция” – суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций;
вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен
непрерывен при всех значениях независимой переменной – истинно.
Каждая наука есть
определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.
Например: "Сумма углов каждого
треугольника равна 180 градусов" – это суждение сформулировано в виде
геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а)
состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических
(всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках
евклидовой геометрии.
Суждения образуются в
мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.
Например: 1. Эта фигура – круг -
суждения выражает результат восприятия.
2. x2=-2 – не имеет действительных корней суждений
опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности,
называемой умозаключением.
Умозаключение – процесс получения нового суждения
– вывода из одного или нескольких данных суждений.
Например:
1) x2=-2 – уравнение;
2) квадрат действительного числа больше
или равен нулю;
3) корень обращает уравнение в верное
числовое равенство.
Из этих трех суждений
получаем новое: уравнение x2=-2 не имеет действительных корней.
В математической логике
используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”.
Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б)
конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.
Математическая логика,
исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности
логических процессов на основе применения математических методов.
Для нее характерна
формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного
содержания предложений.
Например: (все растения красные)´(все собаки – растения) =>(все собаки красные).
Математическое суждение
принято называть предложением.
Например: “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект
мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или
предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и
В”.
Раскрыть логическую структуру
составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений
сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е.
с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”,
“или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”,
обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений
образуются другие. Например:
Элементарные предложения:
дан DАВС; (x)
АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВДДС.
Составные предложения:
1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то
ВДДС – истинное.
2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и
ВДДС – ложное.А
3. Если ДВ=ВС и ВД не
перпендикулярно АС,
то АДДС – истинное.
Логические структуры для
1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не
z, то не y.
Например:
1. Если число целое и положительное, то
оно натуральное;
2. Если число целое и не натуральное, то
оно не положительное.
Аксиома – предложение, принимаемое без
доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений
некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений
(теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без
доказательства.
Постулат – это предложение, в котором
выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять
некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.
Например, понятие а||b определяется двумя постулатами:
1. (a)(b);
2. (a=b)(ab=0).
Теорема – математическое предложение,
истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения),
логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.
Можно отметить два
подхода к пониманию теоремы:
А.В. Погорелов (геометрия
“7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры
устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А
само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка
теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано.
Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что
должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.
Структура теоремы,
предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в)
заключение.
Например, “если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.
Условие: сумма цифр числа
n делится на 3
Заключение: само число
делится на 3.
Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.
Используя логическую
символику, теорема представляется так:
-
импликация (если …, то …).
Имея прямую теорему (), можно образовать новые теоремы:
1. - обратная;
2. -
противоположная;
3. -обратная
противоположной или контрапозитивная.
Эти теоремы обладают
следующими свойствами:
а) () и () -
одновременно истинны или ложны;
б) () и () -
одновременно истинны или ложны.
Высказывание p называется необходимым
условием для q,
если импликация () есть истинное следствие. Например,
чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.
Высказывание p называется достаточным
условием для q,
если импликация () есть истинное следствие. Например,
чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25;
q: кратно 5) Þ(pÞq)
Замечание: Для определения необходимо условие
следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.
Условие р называется необходимым
и достаточным для q,
если истины одновременно обе импликации: (pÞq) и (qÞp),
т.е. имеет место эквивалентность.
Характеристическое
свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества
сходных объектов, позволяет его сконструировать.
Например, характеристическое свойство
арифметической прогрессии:
начиная со второго члена,
все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух
соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)
Пример необходимого и
достаточного условия:
Процесс доказательства
теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих
(использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для
формирования правильного представления о проблематичном характере того или
иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком
основании?”
В курсе планиметрии
обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как
ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно
решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к
числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений.
Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения
задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование
или доказательство теорем.
Например: установить зависимость между
сторонами в треугольнике; или свойства биссектрисы угла при вершине
равнобедренного треугольника эмпирически.
В процессе обучения у
школьников должно быть сформировано следующее понимание термина
“доказательство”:
1)допускаются истинными
некоторые отношения и факты (которые составляют условие теорем);
2)от условия к заключению
строится логическая последовательная цепочка предложений, каждое из них должно
быть обосновано с помощью суждений, выраженных в условии, определений известных
понятий, аксиом или ранее доказанных утверждений;
3)заключение является
последним звеном в цепочке этих логически расположенных предложений.
Например: в курсе математики 5-6 классов этому
способствуют задачи с таким содержанием: “Дополнить приведённое доказательство
математических утверждений, выполняя указанные выше требования, предъявляемые к
математическим доказательствам”.
“Если a:b=c, то a=bc. Доказать”
Условие: a:b=c. Заключение: a=bc.
Предложение
|
обоснование
|
1)a:b=c
2)a=bc
|
1) условие
2) почему?
|
В школьном обучении
некоторые фрагменты математической теории излагаются содержательно
(неформально), поэтому доказательство также содержательны, т.е. в них
используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются.
Среди таких правил можно выделить:
1)правило заключения: P; “если P, то Q” -
вывод: “Q”.
2)правило введения
конъюнкции: P; Q – вывод “P и Q”.
3)правило силлогизма:
“если P, то Q”; “если Q, то R” - вывод “если P, то R”.
4)правило отрицания:
“если A, то B”, “не B” -
вывод “не А”.
5)правило контрапозиции:
“если A, то B” - вывод “если не B, то не A”.
6)правило расширенной
контрапозиции: “если A и B, то C” - вывод “если A и не С, то не B”.
7)Сведение к абсурду –
“если Г, А=>B”, “Г, А=>не B” - вывод “Г=> не А”, где Г –
список посылок.
Правило контрапозиции и
сведение к абсурду широко применяется в косвенных доказательствах, примером
которого может служить доказательство от противного.
Косвенное
доказательство
некоторой теоремы Т состоит в том, что исходит из отрицания Т, называемого
допущением косвенного доказательства и выводят из него ложное заключение
применением правила сведения к абсурду.
Например: если а||с, и b||с, то a||b. Допущение: a||c и b||c, но a не|| b.
Согласно определению параллельных прямых получаем: если a не|| b => $с
(сÎа Ù сÎb),
поэтому по правилу введения конъюнкции: из а||c и b||c. $с (сÎа Ù сÎb) имеем: a||c и b||c и $с (сÎа Ù сÎb). Но
по аксиоме параллельных прямых (из Т) неверно, что: a||c и b||c и $ с
(сÎа Ù сÎb),
т.е. из наших допущений вывели противоречие, которое и доказывает теорему.
Специальные формы
косвенного доказательства:
1)доказательство методом
исключения: надо доказать предложение: “если B, то Q1”, иначе: Г, Р=>Q1: наряду с Q1
рассматриваются все остальные возможности, которые являются: аксиомой,
определением, ранее доказанной теоремой или следствием из них. Затем
доказывается, что каждая из остальных возможностей, кроме Q1, ведёт к противоречию.
Например: если каждая плоскость, пересекающая
прямую а, пересекает и прямую b, то
эти прямые параллельны.
Требуется установить
следование: “Г,Р” ® Q не ||; “Г” и "a (если a´a, a´b) Þ a||b.
Исходим из предложений: Q1:a||b; Q2:a´b; Q3: a-b – скрещиваются.
Допущение Q2:a´b даёт
$a (a´a и ) (достаточно провести
произвольную плоскость α через b, отличную от плоскости определяемой пересекающимися прямыми a и b) или: так как $a (a´a и ) <=> не для всякой плоскости a (если a´a, то a´b),
получаем “если Q2, то ”:
если a´b, то не для всякой a если a´a, то a´b).
Из “если Q2, то ” и “Р” по правилу
отрицания имеем: :.
Аналогично допущение Q3: “a-b скрещиваются” приводит к не любой
плоскости a (если a´a, то a´b) (достаточно через b и какую-нибудь точку прямой a провести плоскость). Получаем из: “если Q3, то ” и “Р” по правилу отрицания :.
Итак, получаем и, т. е. Q2 и Q3 – неверно, поэтому верно Q1: a||b.
2)Метод математической
индукции – специальный метод доказательства, применяемый к предложениям
типа: “"xÎN P(x)”, т.е. к
предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному
числу.
Схематически полная логическое
доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все
посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее
правила вывода.
В практике школьного обучения математики наиболее
часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном
доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые
в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют
использование логики.
Например: Диагонали прямоугольника равны.
Теорему можно доказать:
а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим,
что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками,
(используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой
(используемыми правилами).
Доказательство 1.
“Если четырёхугольник –
прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD – прямоугольник, то AC=BD”.
Точка D симметрична A; B – симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из
ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника
являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны
относительно оси MN. Поэтому AC=BD.
Доказательство 2.
,
т.к. они прямоугольные (), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD – общая сторона. Следовательно, AB=CD.
Методика введения теорем
предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.
1) Для того, чтобы
учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных
задач.
Например: При доказательстве того факта, что
угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями
основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по
готовым чертежам следующие задачи:
1. По данным на рисунке
найти и угол между прямыми BO и OC.
Замечание: угол между
двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.
2. Угол между плоскостями
и равен
, прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.
2) Для подготовки
учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием
многократного доказательства (например, тройная прокрутка).
а) учитель излагает схему
(идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической
беседы, которая может быть или аналитико-синтетический или синтетический.
Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические
этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы
учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:
б) учитель излагает доказательство
теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;
в) повторение
доказательства в полном объеме.
Еще один прием
обучения доказательством – обучение учащихся составленного плана доказательства
теоремы, при котором выполняются следующие этапы:
·
даётся готовый
план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с
помощью плана. Преимущества:
1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач,
которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что
они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все
доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;
·
учащихся учат
составлять план уже изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.
Раскрыть логическую структуру
составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений
сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е.
с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”,
“или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”,
обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений
образуются другие.
2. Н.М. Рогановский «Методика
преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3. Г. Фройденталь «Математика как
педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4. Н.Н. «Математическая лаборатория»,
М., «Просвещение», 1997г.
5. Ю.М. Колягин «Методика
преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6. А.А. Столяр «Логические проблемы
преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.