Расчет характеристик сигналов и каналов связи

Расчет характеристик сигналов и каналов связи

РЕФЕРАТ

Канал связи, практическая ширина спектра, интервал дискретизации, кодовый сигнал, энергетический спектр, модулированный сигнал, автокорреляционная функция

Цель работы: Рассмотреть основы теории сигналов, произвести расчет различных величин, характеризующих сигналы, изучить теорию передачи информации в канале.

Курсовая работа содержит расчет спектра и энергетических характеристик сигнала, определение интервалов дискретизации и квантования сигнала, расчет разрядности кода, исследование характеристик кодового сигнала, исследование характеристик модулированного сигнала, расчет вероятности ошибки в канале с помехами.

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов вагонов и повышению производительности труда. Эти задачи решаются по двум основным направлениям: техническим перевооружением транспортных средств и совершенствованием системы управления перевозочным процессом.

Значительную роль в деле совершенствования системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью передачи данных.

Управление территориально разобщенными объектами на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации, то есть систем связи, работающих по проводным и радиоканалам. А также по волоконно-оптическим линиям связи.

Совершенствование управления в условиях интенсификации производственных процессов ведет к росту общего объема информации, передаваемой по каналам связи между управляющими органами и управляемыми объектами.

Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью движения. К системам связи предъявляют также требования высокой эффективности при относительной простоте технической реализации и эксплуатации.

Проблема эффективности системы передачи информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономически выгодным образом (с точки зрения затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.

На рисунке показан канал для передачи непрерывных сообщений.

Разберем назначение блоков приведенного канала связи.

П-1, П1 - преобразователи сообщения в сигнал и наоборот - сигнала в сообщение.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название - квантования.

Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышение помехоустойчивости канала.

Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передаче.

Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.

Канал для передачи непрерывных сообщений

Рис. 1

Разберем назначение блоков приведенного канала связи.

П-1, П1 - преобразователи сообщения в сигнал и наоборот - сигнала в сообщение.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название - квантования.

Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышения помехоустойчивости канала.

Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передаче.

Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.

Линия связи - это материальная среда для передачи сигналов (кабель, радио эфир). Именно здесь (в основном) к полезному сигналу добавляется непрогнозируемые помехи. Строя модулятор, демодулятор (модем), необходимо принять меры для борьбы с помехами.

Цифровой преобразователь (ЦАП) служит для восстановления сообщения.

Интерполятор позволяет по сигналу с ЦАП сформировать непрерывный сигнал.

1. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛОВ

.1 Временные функции сигналов

Для расчёта характеристик сигналов были заданы их временные функции (приведены в задании на курсовой проект).

Временной вид сигнала №1(7)

иc. 1.1

где .

Временной вид сигнала №2(9)

Рис. 1.2

Временной вид сигнала №3(8)

Рис. 1.3

1.2 Расчёт спектра сигналов

Спектр сигнала, его частотный состав, является важнейшей характеристикой сигнала. Он определяет требования к узлам аппаратуры связи, помехозащищенность, возможности уплотнения.

Спектральная плотность это характеристика сигнала в частотной области и задаётся прямым преобразованием Фурье (1.3).

, (1.3)

где  - временная функция сигнала,

 - круговая частота, .

 - комплексная величина и может быть представлена в алгебраической или показательной форме:

. (1.4)

Функции  и  вычисляются следующим образом:

; (1.5)

для показательной формы:

. (1.6)

Важным свойством вещественной и мнимой частей спектра является то, что, если функция S(t) - чётная, то мнимая часть , а при нечетности(t) -.

Это следует непосредственно из интегральных форм (1.5).

Для сигнала № 7 (рис. 1.1) формула спектральной плотности будет выглядеть следующим образом:

 (1.7)

где h - амплитуда сигнала, В,

t - длительность сигнала, мс.

График спектральной плотности показан на рис. 1.4.

График спектральной плотности сигнала №1

Рис. 1.4

Спектральная плотность для сигнала изображенного на рисунке 1.2. строится по формуле:

, (1.8)

График спектральной плотности сигнала №2

Рис. 1.5

Спектральная плотность для сигнала изображенного на рисунке 1.3. строится по формуле:

График спектральной плотности сигнала №3

Рис. 1.6

Внешний вид модуля данной функции и изменения фазы также представлен на рис. 1.6. График изменения фазы построен исходя из того, что функция (1.9) создаёт осцилляции, и в месте перехода кривой через ноль фаза меняется на p радиан.

1.3 Расчет энергетической характеристики сигналов

Показатели энергии и мощности сигналов одни из важнейших характеристик, определяющих коэффициент полезного действия передатчика, качество работы приемника системы связи.

Поскольку существуют временное и спектральное представления сигналов, то данные показатели могут быть вычислены двумя способами.

Энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле:

. (1.10)

Бесконечные пределы в интеграле записаны для общего случая и должны быть уточнены для конкретного сигнала.

Если сигнал периодический, то его средняя за период T мощность равна

. (1.11)

Спектральное представление сигнала позволило определить эти же энергетические характеристики по спектрам сигналов. Для этого существуют равенства Парсеваля. Для непериодического сигнала

; (1.12)

для периодического

, (1.13)

где  - постоянная составляющая сигнала, Аn - амплитуда n-ой гармоники.

Значения  в выражениях (1.10, 1.12) означает, что в создании энергии и мощности участвует бесконечный спектр частот. Если же заменить эти бесконечности на конечную величину n и , то по формулам (1.11), (1.13) определится только часть мощности и энергии. Этим подходом можно воспользоваться при ограничении спектров сигналов.

wc - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Один из методов нахождение частоты среза по графику. Для этого в одной системе координат построим графики энергии равные W=Дж, W`(wc), W''=d×W==Дж. Находим значение wс по графику (рис. 1.7). Точка пересечения W`(wc) и W`` соответствует значению wс.

С помощью графиков рис 1.7. находим частоту среза, которая равна wс=176570 рад/с.

График энергии сигнала №1

сигнал спектр дискретизация связь

Рис. 1.7

Частота среза сигнала показанного на рис.1.2 определяется также как и частота среза сигнала показанного на рис.1.1. И она равна wс=188000 рад/с.

График энергии сигнала №2

Рис. 1.8

Частота среза сигнала показанного на рис.1.3 определяется также как и частота среза сигнала показанного на рис.1.1.

И она равна wс=35536 рад/с.

График энергии сигнала №3

Рис. 1.9

Вывод: Дальнейший расчет ведем для сигнала изображенного на

рисунке 1.3., т.к. у этого сигнала частота среза оказалась меньше чем у других. wс=35536 рад/с.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛА ДИСКРИТИЗАЦИИ И РАЗРЯДНОСТИ КОДА

Дальнейший расчет ведем для сигнала заданного экспоненциальное т.к. у этого сигнала частота среза оказалась меньше чем у других.

wс=35536 рад/с.

Интервал дискретизации Dt по времени определяем на основе теоремы Котельникова по неравенству:

Dt £ 1/(2×Fв), (2.1)

где Fв=wс/(2×p) - верхнее значение частоты спектра сигнала.

в=35536/2×p=5.66×103 Гц

Dt=1/5.66×103×4=4.42×10-5 с.

Необходимо, чтобы сигнал был представлен не менее чем четырьмя отсчетами.

д=1/Dt=1/4.42×10-5 =22640Гц.

График дискретизированного по времени сигнала

Рис. 2.1

Следующими этапами преобразования сигнала являются квантование импульсных отсчетов по уровню и кодирование.

Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона Umax принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета. Umax=0.9 В.

Нижняя граница диапазона:

=Umax/K; (2.2)

- заданный коэффициент.=0.9/20=0.045 В;

g=35.

Дальнейший расчет ведем следующим образом.

Известно, что:

кв=D2/12; D - шаг шкалы квантования.

D=Umax/nкв;

кв - число уровней квантования.

Отсюда:

;

При использовании двоичного кодирования:кв = 2m; m - разрядность кодовых комбинаций.

= log nкв;= log 34= 6.

Длительность элементарного кодового импульса t определяется исходя из интервала дискретизации Dt и разрядности кода m. Здесь необходимо ввести защитный интервал, под который отведем половину Dt. В итоге получим выражение:

tи= Dt/(2×m); (2.3)

tи = 4.42×10-5 /12 =3.68×10-6мкс.

Для разработки математической модели цифрового сигнала примем четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов). Числовые константы сигнала определяются по формулам (2.4) и (2.5). Математическое ожидание:

. (2.4)

Дисперсия:

Выбранная кодовая последовательность:

Вероятность нуля:

Вероятность единицы:

Рассчитаем математическое ожидание сигнала по (2.8).

В.

Дисперсия:

 В.

Рассчитаем функцию автокорреляции. При проведении расчетов воспользуемся возможностями программы MathCAD. Поступим следующим образом. Выпишем четыре последовательности кодов, которыми представляется дискретизированный сигнал; это будет последовательность нулей и единиц.

В среде MathCAD. создадим два вектора  и . Далее воспользуемся функцией . После каждого измерения будем сдвигать кодовую последовательность вектора Vy на один знак. Проведём семь расчётов. Результаты занесём в таблицу 2.2

Таблица 2.1 - Функция автокорреляции кодового сигнала

В среде MathCAD по этой таблице сформируем два вектора Vt и Vk:

С помощью функции cspline(Vt, Vk) вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному:

: = cspline (Vt, Vk)

Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую функцию автокорреляции:

kor(t): = interp (VS, Vt, Vk, t).

График функции автокорреляции

Рис. 2.2

Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид:

, (2.6)

Здесь K(t) выше рассчитанная нормированная функция kor(t), верхний предел T - последнее рассчитанное значение t.

Спектр кодированного сигнала показан на рис.2.3.

Спектр кодированного сигнала

Рис. 2.3

3. ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДУЛИРОВАНОГО СИГНАЛА

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линии связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра канала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят от полезного сигнала и от вида сигнала-переносчика.

Распространенным видом аналоговой модуляции является амплитудная (АМ). Под действием полезного сигнала изменяется амплитуда гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала АМ следующая:

 (3.1)

При этом амплитуда сигнала меняется по закону

+A0mU(t)

и глубина этого изменения зависит от коэффициента глубины модуляции m. Под U(t) понимается полезный сигнал представленный рядом Фурье.

Спектр АМ находится из выражения:

 (3.2)

w0 - несущая частота, w0=2pf0, f0=1.2×106 Гц (из задания к курсовому).

w0=7.536×106 .

На рисунке 3.1. представлен график модулированного сигнала

Рисунок 3.1 - Модулированный сигнал

Найдем амплитуды гармоник АМ сигнала an из формул:

 (3.3)/2 = B/2 (3.4)

 (3.5)

 (3.7)

Частоты гармоник верхней боковой полосы wn и нижней боковой полосы w`n найдем по формулам:

wn = w0 + n×W1, w’n = w0 - n×W1. (3.8)

Результаты вычисления амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) АМ сигнала сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 - АЧХ АМ сигнала

График АЧХ АМ сигнала приведен на рисунке 3.2

Рис. 3.2

3.2 Расчет мощности модулированного сигнала

К основным характеристикам модулированных сигналов относятся энергетические показатели и спектральный состав. Первые определяют помехоустойчивость связи, вторые, прежде всего, полосу частот, занимаемую сигналом. Разберем энергетические характеристики.

При АМ вводятся следующие энергетические характеристики.

 B.

Мощность несущего колебания:

 Вт. (3.9)

Средняя мощность за период полезного сигнала:

 Вт. (3.10)

Мощность колебаний боковых составляющих:

Рбок=3.725×10-3 Вт.

4. СОГЛАСОВАНИЕ ИСТОЧНИКА ИНФОРМАЦИИ С КАНАЛОМ СВЯЗИ

.1 Источник информации

Выборки передаваемого сигнала ¾ это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:

, (4.1)

где  ¾ энтропия алфавита источника,  - среднее время генерации одного знака алфавита.

Для введённого источника энтропия определяется при условии равенства вероятностей знаков алфавита, а среднее время равно интервалу между выборками.

Подставим значения в (4.1).

.

4.2 Согласование источника с каналом

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Пропускная способность гауссова канала равна:

. (4.2)

где FД - частота дискретизации, определенная выше. Рп - мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N0 (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала :

. (4.3)

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона , определим РС, обеспечивающую передачу по каналу.

Для определения РС примем пропускную способность канала равную:

.

Выделим из (4.2) Рс.

,Вт. (4.4)

5. РАСЧЁТ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ В КАНАЛЕ С АДДИТИВНЫМ БЕЛЫМ ШУМОМ

.1 Определение вероятности ошибки

Вероятность ошибки P0 зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. Расчёт вероятности ошибки, прежде всего, необходим при оптимальной схеме приёмника, т.е. наилучшей в смысле заданного критерия. В технике связи критерием является критерий Котельникова (оптимального наблюдателя). Согласно его требованиям полная вероятность ошибки должна быть минимальной.

Для реализации такого критерия служит оптимальная решающая схема. При равновероятных и взаимонезависимых сигналах решающая схема поэлементного приёма принимает решение независимо от решения относительно других символов и имеет вид:

 (5.1)

Символ Si над неравенством указывает на то, что решение принимается в пользу сигнала Si. Из второй общей формулы можно получить простые записи с оговоркой тех или иных условий. Будем считать, что отсчёт времени начинается с началом k-го элемента сигнала, что C(t)=mS(t) - приходящий полезный сигнал, и тогда условие правильной регистрации сигнала Si(t) имеет вид:

. (5.2)

где Ei, Ej - энергии i-, j-й реализации сигнала.

Реализовать данное неравенство можно двумя способами.

Первая оптимальная решающая схема получила название корреляционного приёмника. При условии равенства энергий Ei и Ej (такой случай будет, в частности, в двоичном канале с ЧМ и ФМ) и двух сигналах S1, S2:

. (5.3)

Структурная схема оптимального приёмника сигнала с ФМ приведена ниже.

Схема оптимального приёмника

Рис. 5.1

В оптимальном приёмнике, показанном на рис. 5.1, на основании сравнения функций взаимной корреляции принимается решение о наличии сигнала S1 или S0. S0=A0Sin(ω1t+φ0). S1=A0Sin(ω2t+φ0).

В общем случае вероятность ошибки:

. (5.4)

гдe  ¾ функция Лапласа; (5.5)

 - энергия разностного сигнала; (5.6)

- односторонняя плотность мощности белого шума; множитель m характеризует ослабление передаваемых сигналов S1(t) и S2(t).

вероятность ошибки равна нулю.

.

Из проделанных расчетов можно сделать вывод, что принятая приемником информация полностью соответствует переданной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы был произведен расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик, была вычислена практическая ширина спектра каждого сигнала и выбран сигнал с наименьшей шириной спектра. Рассчитана разрядность кода, которым может быть представлен сигнал. Рассчитаны спектральные характеристики кодового сигнала и амрлитудомодулированного сигнала. Рассчитана вероятность ошибки при приеме сообщения при воздействии белого шума.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.     Баженов Н.Н. Характеристики сигналов в каналах связи: методические указания к курсовому проекту по дисциплине "Теория передачи сигнала". Омск, 2001.

2.      Баженов Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи: Методические указания к курсовой работе по дисциплине "Теоретические основы транспортной связи" / Омский инт. инж. ж.-д. транспорта. - Омск, 1990.-24 с.