Теория вероятностей

Теория вероятностей

Задача 1

В урне 5 белых и 5 черных шара. Из этой урны последовательно извлечены по одному все шары и разложены в ряд. Какова вероятность того, что все шары чередуются?

Решение

Пусть событие А - шары чередуются. Рассмотрим комбинации шаров как перестановки с повторениями, из которых событию А благоприятствуют 2 комбинации. Тогда искомая вероятность Р(A) = .

Ответ: Р = 0,0079.

Задача 2

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Решение

Пусть событие А - к бензоколонке подъехала машина. Можно сделать два предположения: В1 - машина грузовая, B2 - машина легковая. Вероятность появления грузовой машины равна  а легковой - . Условная вероятность того, что, подъехавшая машина будет грузовой, , а для легковой - . Искомая вероятность того, что к бензоколонке подъехала грузовая машина, по формуле Бейеса равна .

Ответ: Р =

Задача 3

Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания в интервал (1;2).

.

Решение

Найдем дифференциальную функцию распределения f(x) = F’(x).

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле:

М(Х) =

дисперсию D(x) определим по формуле D(x) = D(x) =

Вероятность попадания в интервал равна приращению интегральной функции на заданном интервале: Р(1<X<2) = F(2) - F(1) =

Ответ: М(Х) = 2.

D(X) = 0,5.

P =

Задача 4

Найти вероятность того, что при n испытания событие наступит ровно k раз.

n = 225, р = 0,64; k =158.

Решение

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:  Вычислим определяемое данными задачи значение х:

 По таблице  

Ответ: Р = 0,0658.

Задача 5

Дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытания событие А появиться не менее k1 раз и не более k2 раз. N = 625; p = 0,8; k1 =480; k2 = 500.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,.

; .

Р625 (480;500)=Ф(0) - Ф(- 2) = 0,4772.

Ответ: Р = 0,4772.

Задача 6

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2)дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

Решение

1)      М(Х) = = .

2)      D(X) = М(Х2) - (М(Х))2 =

) .

Ответ: М(Х) = 21,5

Д(Х) = 2,65

Задача 7

Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,6 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

Решение

а = 200, ,  .

Для найдем вероятность попадания в заданный интервал

или 95,44%.

Для   или 78,88%.

,44%. - 78,88% = 16,56%

Ответ: на 16,56%

Задача 8

При выборочном опросе 1000 телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:

Найти: а) вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на 2 года (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о рассматриваемой доле нет.

Решение

Для решения задачи составим расчетную таблицу. В качестве ложного нуля выберем С = 45, h = 10.

.

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине), найдем

б) Учитывая, что Ф(t) = 0,97 и по таблице t = 2,16, найдем предельную ошибку выборки для доли

, ,

Теперь  или 0,391 < P < 0,555.

в) Объем бесповторной выборки

По условию Ф(t) = 0,9879. По таблице t = 2,5 и тогда

Если о доли ничего не известно, полагаем  Тогда

.

Задача 9

По данным задачи 8, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - возраст телезрителей - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что h = 10.

Составим вспомогательную таблицу:

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим вспомогательную таблицу, но так как первая и седьмая группы малочисленные, то объединим их в одну, сложив их частоты.

По таблице критических точек распределения по уровню значимости  и числу степеней свободы k = 6 - 3 = 3 находим критическую точку правосторонней критической области . Так как , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Гистограмма эмпирического распределения телезрителей по возрасту

Нормальная кривая распределения возраста телезрителей

Задача 10

Распределение 5 однотипных малых предприятий по основным фондам, Х (млн. руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции У(тыс. руб.) представлено в таблице:

Необходимо: 1) вычислить групповые средние  и , построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости , оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс. руб.

Решение

1)      Построим корреляционную таблицу, в которую внесем групповые средние:

. Построим эмпирические линии регрессии.

2)      Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С1 = 205, С2 = 1,75, h1 =50, h2 = 0,5.

Составим расчетную таблицу

Найдем  и .

,

Найдем выборочный коэффициент корреляции.

.

Найдем .

.

Найдем : ;

Составим уравнение прямой линии регрессии:  и . , ух = - 0,007х + 3,28.

, ху = 78,8у + 351,9.

Вычислим фактическое значение t - критерия: . По таблице tкр(0,05;48)=2,02.

У(2,5) =

Так как Тфакт > tкр, связь между признаками тесная, но обратная. (График прилагается).

Задача 11

На основании информации таблицы составить оптимальный план производства на максимум общей стоимости.

Решение

Пусть х1, х2, - продукция соответственно 1-го, 2-го видов. Нам необходимо найти максимум целевой функции

F =25х1 + 12х2 при следующей системе ограничений:

Приведем систему неравенств к системе уравнений, введя свободные неотрицательные переменные х3, х4, х5. Выразим их через основные.

Из рассмотрения целевой функции видно, что ее наибольшее увеличение возможно за счет х1, т.к. она входит в выражение функции с наибольшим коэффициентом. Значит, переменную х1 переведем в число основных. Для того, чтобы выяснить, какую переменную перевести в число не основных, найдем: х1 = min= 7, т.е. х5 перейдет в число не основных.

Увеличим значение функции за счет х2.

, значит х4 перейдет в число не основных.

Дальнейшее увеличение функции F невозможно, т.к. все переменные в ней с отрицательными коэффициентами. Значит, критерий оптимальности достигнут. Наибольшая стоимость F = 581 ден. ед., при этом продукции 1-го вида надо выпустить 5 ед., 2-го вида - 38 ед.

Задача 12

Заполнить схему межотраслевого баланса при заданных матрицах коэффициентов прямых материальных затрат и конечной продукции.

,

Решение

Матрица А имеет неотрицательные коэффициенты и удовлетворяет критерию продуктивности: . Поэтому, для любого вектора конечного продукта У можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле Х = (Е - А)-1. Найдем матрицу полных затрат

S = (E - A)-1.

(Е - А) =  ,

значит, матрица (Е - А) невырожденная и имеет обратную матрицу. Построим матрицу (Е - А)/ транспонированную к (Е - А).

(Е - А)/ = . Построим матрицу  присоединенную к (Е - А). Для этого найдем алгебраические дополнения.

(Е - А)-1 =  ,

Х = .

Заполним схему межотраслевого баланса

Задача 13

Найти оптимальный план перевозок

математическое ожидание регрессия

Решение

Данная модель является закрытой. Исходное опорное решение получим по правилу «северо-западного» угла.

Получили опорный вырожденный план. Число занятых клеток равно 5 не удовлетворяет условию m + n - 1 = 7 - 1 = 6. Поэтому в одну из клеток с наименьшим коэффициентом поместим ноль и будем считать клетку занятой.

Определим потенциалы запасов и потребностей и оценки свободных клеток. Составим уравнения:

Пусть  ,   ,  .

Наиболее потенциальной является клетка (1;3). Построим для нее цикл.  В результате смещения  по циклу, получим новый опорный план.

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (3;1).  В результате смещения  по циклу, получим новый опорный план.

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть  тогда

 Строим цикл для клетки (1;4).  В результате смещения  по циклу, получим новый опорный план.

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть  тогда

Оценки свободных клеток неотрицательны, следовательно, полученный план является оптимальным.

Минимальные транспортные издержки для этого плана: .