Прямые и плоскости в координатах

Прямые и плоскости в координатах

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В КООРДИНАТАХ

Е. ПОТОСКУЕВ

г. Тольятти

Введение

В данной статье ведется разговор о применении координатного метода при изучении стереометрии в 10-11-х классах, о его роли в повышении и развитии математической культуры учащихся общеобразовательной и профильной школы - будущих студентов вузов физико-математической и естественнонаучной направленности.

Заметим, что решение многих стереометрических задач координатным методом значительно проще их решения средствами элементарной геометрии, при этом можно обойтись без дополнительных построений, которые становятся необходимыми при иных методах решения. Кроме того, применение координатного метода при решении геометрических задач способствует поиску интересных обобщений, которые могут возникнуть при анализе полученных решений.

В данной статье показывается, как с помощью координатного метода можно эффективно решать многие метрические задачи стереометрии, в том числе задачи, которые предлагаются и, по всей вероятности, будут предлагаться в ЕГЭ.

Для решения задач на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, на вычисление расстояний и углов между ними используется следующий учебный материал:

Ах + Ву + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости, где вектор  является вектором ее нормали;

А(х - х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0 - уравнении плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору  

x = x₀ + a₁t, y = y₀ + a₂t, z = z₀ + a₃t - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) параллельно вектору  

Также используются формулы:

)  - длина вектора

)  - длина вектора  или расстояние между точками A(x₁; y₁; z₁) и B( x₂; y₂; z₂);

)  - расстояние от точки М(х₀; у₀; z₀) до плоскости b: Ах + Вy + Cz + D = 0;

)  - скалярное произведение векторов  

) x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0 Û  - признак перпендикулярности векторов  и

) угол j между векторами  и  находится с помощью формулы

Расстояния в пространстве

Расстояние от точки до прямой

Координатным методом эту задачу можно решать таким образом. Составить уравнение плоскости a, проходящей через точку А перпендикулярно данной прямой m. Затем решить систему, состоящую из этого уравнения и уравнений прямой m. Решением этой системы являются координаты точки K = a ∩ m. Тогда расстояние между точками А и K равно искомому расстоянию от точки А до прямой m. Продемонстрируем сказанное на решении следующей задачи.

Задача. Найдите расстояние от точки А(7; 9; 7) до прямой m, заданной уравнениями: x = 2 + 4t, y = 1 + 3t, z = 2t.

Решение. Так как a  m, то направляющий вектор  прямой m является вектором нормали для плоскости a, проходящей через точку А(7; 9; 7). Значит, уравнение этой плоскости имеет вид:

(х - 7) + 3(у - 9) + 2(z - 7) = 0 Û 4х + 3у + 2z - 69 = 0.

Далее находим координаты точки K = a ∩ m, решая систему уравнений

После подстановки в первое уравнение системы вместо x, y, z их выражения через t получаем: 4(2 + 4t) + 3(1 + 3t) +2 ∙ 2t = 69, откуда  Найдем координаты точки K: х = 2 + 4 ∙ 2 = 10; у = 1 + 3 ∙ 2 = 7; z = 2 ∙ 2 = 4. Значит,  - искомое расстояние от точки А до прямой m.

Ответ:

Задача 1. А…D₁ - единичный куб. Найдите расстояние:

а) от точки А₁ до прямой В₁D;

б) от точки В до прямой А₁С;

в) от точки А₁ до прямой D₁В;

г) от точки С до прямой D₁В.

Решение. а) Введем систему координат Охуz так, что В(1; 1; 0), А₁(1; 0; 1), С₁(0; 1; 1), D(0; 0; 0), В₁(1; 1; 1).

С помощью теоремы о трех перпендикулярах докажем, что В₁D  (А₁ВС₁). Обозначим Т = В₁D ∩ (А₁ВС₁) и найдем координаты точки Т.

Вектор  является направляющим для прямой В₁D и вектором нормали для плоскости А₁ВС₁. Поэтому прямая В₁D может быть задана системой параметрических уравнений х = t, y = t, z = t, а плоскость А₁ВС₁ - уравнением:

(х - 1) + (у - 1) + (z - 0) = 0  х + y + z - 2 = 0.

Решая систему, составленную из уравнений прямой В₁D и плоскости А₁ВС₁, находим:

t + t + t - 2 = 0 Þ

откуда точка Т имеет координаты  Тогда

Это означает, что       

Аналогично решаются другие задачи.

Ответ: а)  б)  в)  г)

Задача 2. A…F₁ - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой СD₁.

Решение. Составим уравнение плоскости b, проходящей через точку В перпендикулярно прямой СD₁.

Во введенной системе координат точки В, С и D₁ имеют координаты:

 С(0; 1; 0),

В качестве вектора нормали плоскости b примем вектор  

Тогда плоскость b задается уравнением:

 Û

Обозначим Т = b Ж СD₁, тогда ВТ = r(В; D₁; C). Координаты точки Т найдем, решив систему, составленную из уравнений плоскости b и прямой CD₁:

 t Î R.

Получаем:

 Û 8t - 1 = 0 Û

Отсюда координаты точки T:    Тогда

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что D(1; 0; 0), C₁(0; 0; 1), B(0; 1; 0), C(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние до прямой AC₁ от точки:

а) A₁; б) B₁; в) C.

4. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А, В, F, F₁ имеют координаты:   F(0; -1; 0), F₁(0; -1; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите расстояние от вершины В до прямой:

Ответы: 3. а)  б)  в)  4. а)  б)  в)  г)

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки М(х₀; у₀; z₀) до плоскости b: Ах + Вy + Cz + D = 0, находится по формуле

Задача 5. Куб A…D₁ в системе координат Oxyz расположен так, что A(1; 0; 0), B₁(1; 1; 1), C(0; 1; 0), D(0; 0; 0). Постройте изображение этого куба и координатным методом найдите отношение, в котором плоскость А₁ВС₁ делит диагональ В₁D куба, считая от вершины В₁.

Решение. На рисунке изображен данный куб относительно системы координат Охуz. Остальные вершины куба имеют координаты: B(1; 1; 0), B₁(1; 1; 1), А₁(1; 0; 1), С₁(0; 1; 1), D₁(0; 0; 1). Теперь рассмотрим решение задачи.

Обозначим b = (A₁BС₁). Плоскость А₁ВС₁ задается уравнением х + y + z - 2 = 0 (см. задачу 1). Тогда

Значит,

Можно иначе решить эту задачу.

Пусть Т = b ∩ В₁D. Решая систему уравнений

 t Î R,

составленную из уравнений прямой СD₁ и плоскости b, находим:  (см. задачу 1).

Тогда

 поэтому

Ответ: 1 : 2.

Задача 6. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В, C, D, C₁ имеют координаты:  С(0; 1; 0),  С₁(0; 1; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите расстояние до плоскости AF₁D от точек:

а) F; б) В₁.

Решение. а) Если плоскость b: ах + by + cz + d = 0, проходит через данную точку М(х₀; у₀; z₀), то верно равенство ах₀ + by₀ + cz₀ + d = 0. Воспользуемся этим утверждением при составлении уравнения плоскости b = (AF₁D).

Пусть ах + by + cz + d = 0 - искомое уравнение плоскости b. На рисунке изображена данная призма относительно системы координат Охуz. В этой системе координат имеем:  F(0; -1; 0), F₁(0; -1; 1),  

Плоскость b = (AF₁D) проходит через начало координат, значит, d = 0. Далее имеем:

 Þ

Решая систему из уравнений, находим:  Полагая  получаем: b = c = 3, и уравнение плоскости b имеет вид:

 Û

Теперь находим искомые расстояния r(F; b) и r(В₁; b):

Замечание. При нахождении расстояния от точки до плоскости координатным методом не требуются аргументированные обоснования построения перпендикуляра из данной точки на данную плоскость. Но если FK B (AF₁D) («виртуально»), K Î (AF₁D) (см. рис. 4), то FK = r (F; b). На этом рисунке перпендикуляр из вершины В₁ на плоскость AF₁D не изображен.

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что C(1; 0; 0), B₁(0; 0; 1), A(0; 1; 0), B(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние до плоскости А₁BC₁ от точки:

а) B₁; б) C; в) D_1; г) D.

8. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины В, C, D, C₁ имеют координаты:  С(0; 1; 0),  С₁(0; 1; 1). Постройте эту призму и координатным методом найдите:

а) расстояние от вершины А₁ до плоскости ВСС₁;

б) от вершин А₁ и D₁ до плоскости АС₁Е₁;

в) от вершин В и F₁ до плоскости АВ₁D.

Ответы: 7. а)  б)  в)  г)  8. а)  б)  в)  и            

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Используем следующий факт: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точкой одной прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

Задача 9. Единичный куб A…D₁ изображен в системе координат Oxyz. Найдите расстояние между прямыми, где М - середина ребра АВ:

а) AB₁ и A₁C₁; б) BD₁ и B₁C; в) BD и В₁М.

Решение. Из рисунка 5 следует: точка D(0; 0; 0) - начало координат, точки A(1; 0; 0) и C(0; 1; 0) - на осях Ох и Оу соответственно; остальные вершины имеют координаты: B(1; 1; 0), А₁(1; 0; 1), С₁(0; 1; 1), D₁(0; 0; 1), В₁(1; 1; 1).

а) Найдем расстояние r(АВ₁; А₁С₁). Для этого составим уравнение плоскости a, проходящей через прямую АВ₁ параллельно прямой А₁С₁.

Векторы  и  - направляющие для прямых AB₁ и A₁C₁ соответственно. Тогда эти прямые задаются соответственно уравнениями:

 t Î R и  t Î R.

Вектор  - вектор нормали плоскости a - перпендикулярен векторам  и  Найдем координаты этого вектора. Имеем:

 Þ Þ Þ a = b = -c.

Пусть, не нарушая общности, c = -1, тогда a = b = 1. Имеем:  Получаем уравнение плоскости a (Î a) в виде:

∙ (х - 1) + 1 ∙ (y - 0) - 1 ∙ (z - 0) = 0 Û x + y - z - 1 = 0.

Теперь находим:

Аналогично находятся расстояния

 и

Задача 10. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, изображена в системе координат Oxyz. Найдите расстояние между прямыми:

а) B₁C и A₁B; б) B₁C и BЕ₁.

Решение. а) Найдем расстояние между прямыми B₁C и A₁B.

Во введенной системе координат Оxyz имеем:

Для нахождения искомого расстояния составим уравнение плоскости a, проходящей через прямую B₁C параллельно прямой A₁B.

Вектор  - вектор нормали плоскости a - перпендикулярен направляющим векторам  и  прямых B₁C и A₁B. Найдем его координаты.

Имеем:

 Þ  Þ  Þ  

Полагая  получаем  и плоскость a ( Î a) имеет уравнение:

 Û  

Теперь находим:

б) Для нахождения расстояния r(BE₁; B₁C) составим уравнение плоскости b, проходящей через прямую B₁C параллельно прямой BЕ₁.

Во введенной системе координат точка E (см. рис.) имеет координаты  а вектор  - координаты

Вектор  - вектор нормали плоскости b - перпендикулярен направляющим векторам  и  прямых B₁C и BЕ₁ соответственно. Найдем его координаты. Имеем:

 Þ  Þ Þ Þ  

Полагая  получаем:  Тогда плоскость b, проходящая через точку C(0; 1; 0) перпендикулярно вектору  имеет уравнение:

 Û  

Теперь находим:

Ответ:  б)  

В заключение этого раздела рассмотрим решение следующей задачи геометрическим методом и методом координат.

Задача 11. Точка K - середина ребра ВС куба A…D₁, ребро которого равно 8. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник АСМ, где М - точка прямой С₁K?

Решение. а) Геометрический метод. Площадь треугольника АСМ с постоянным основанием АС достигает минимального значения при минимальной высоте МР (Р Î AC), проведенной из точки М Î KС₁ на АС. Это означает, что отрезок МР - кратчайшее расстояние между прямыми АС и С₁K, то есть МР - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АС и С₁K (см. рис.).

Найдем длину МР. Для этого проведем плоскость a = (BDD₁). Она перпендикулярна прямой АС (почему?) и плоскости АСС₁ (почему?), причем (BDD₁) ∩ АС = О = АС ∩ ВD, (BDD₁) ∩ (АСС₁) = ОО₁, где ОО₁  (АВС) (почему?).

Спроектируем на плоскость a прямую С₁K, для чего проведем прямую KТ  АС,  Î ВD. Получаем: О₁Т - ортогональная проекция прямой С₁K на плоскость a. Тогда r(AС; С₁K) = ρ(О; О₁Т) = ОН, где ОН - высота прямоугольного треугольника ОО₁Т.

Тогда  Так как KТ  АС, K - середина ВС, то Т - середина ОВ (по теореме Фалеса), откуда  Учитывая, что ОО₁ = АА₁ = 8, находим

Значит,  

Проведем НМ  АС, М Î KС₁ и МР  ОН, Р Î АС. Тогда МР = ОН, МР  АС, значит, МР - высота треугольника АСМ. Тогда минимальная площадь треугольника АСМ равна

Ответ:

б) Координатный метод. Пусть треугольник АСМ - искомый, то есть имеет наименьшую площадь; длина его высоты МР равна длине общего перпендикуляра скрещивающихся прямых АС и С₁K и равна расстоянию от любой точки прямой АС до плоскости a, проходящей через прямую С₁K параллельно прямой АС. Для нахождения этого расстояния составим уравнение плоскости a.

Введем систему координат (см. рис.).

Имеем: А(8; 0; 0), С(0; 8; 0), K(4; 8; 0), С₁(0; 8; 8).

Вектор  - вектор нормали плоскости a - перпендикулярен направляющим векторам   прямых АC и С₁K соответственно.

Найдем его координаты. Имеем:

Þ Þ Þ  

Полагая с = 1, получаем:  Тогда плоскость  определяется своим вектором нормали  и точкой С₁. Ее уравнение имеет вид:

(х - 0) + 2(у - 8) + (z - 8) = 0 Û 2х + 2у + z - 24= 0.

Значит,

Учитывая, что  находим (в кв. ед.):

Ответ:  кв. ед.

Замечание. Анализируя сравнительные решения этой задачи синтетическим (геометрическим) и координатным методами, можно увидеть простоту ее решения координатным методом.

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1; 0), A(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите расстояние между прямыми, где М - середина ребра АD:

а) A₁C₁ и B₁С; б) АС₁ и B₁C; в) BD и А₁M.

13. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А₁, B, C, B₁ имеют координаты:   C(0; 1; 0),  Постройте эту призму и найдите координатным методом расстояние между прямыми:

а) А₁В и С₁D; б) А₁В и Е₁F; в) А₁В и АF₁; г) А₁В и В₁D.      

Ответы: 12. а)  б)  в)  13. а)  б)  в)  г)

Углы в пространстве

Угол между двумя прямыми

стереометрия пространство прямая плоскость

Если прямые a и b, имеющие направляющие векторы соответственно  и  проходят соответственно через точки M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂), то эти прямые задаются параметрическими уравнениями соответственно:

а: x = x₁ + a₁t, y = y₁ + a₂t, z = z₁ + a₃t,

b: x = x₂ + b₁t, y = y₂ + b₂t, z = z₂ + b₃t, t  R.

Обозначив j = F (a; b),  получим либо j = y , либо j + y = 180°. Учитывая, что j Î [0; 90°], получаем cos j = | cos y |. Это означает, что косинус угла между прямыми можно найди с помощью формулы  или в координатном виде:

Задача 14. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что В(0; 0; 1), A(1; 0; 1), C(0; 1; 1), D₁(1; 1; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите угол между прямыми:

а) A₁B и AC; б) D₁B и B₁C; в) AC₁ и D₁B.

Решение. На рисунке изображен данный куб в системе координат Охуz: точка B₁(0; 0; 0) - начало координат, точки A₁(1; 0; 0) и C₁(0; 1; 0) лежат на осях Ох и Оу соответственно. Точки A₁, D, C₁, B₁ имеют координаты: A₁(1; 0; 0), D(1; 1; 1), C₁(0; 1; 0), B₁(0; 0; 0).

а) Найдем угол j = F (A₁B; AC).

Направляющими векторами прямых A₁B и AC являются векторы и  соответственно. Тогда:

в) Обозначим a = ∠ (AC₁; D₁B).

Направляющими векторами прямых AC₁ и D₁B являются векторы  и  соответственно. Тогда:

 Þ

Аналогично находится угол между прямыми D₁B и B₁C.

Ответ: а) 60°; б) 90°; в)  

Задача 15. A…F₁ - правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми ВA₁ и СВ₁.

Решение. Найдем F (ВA₁; СВ₁) = j.

Введем систему координат Охуz, где   C(0; 1; 0),  и   Находим:

 Þ  

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что D(1; 0; 0), C₁(0; 0; 1), B(0; 1; 0), C(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите угол между прямыми:

а) A₁B и AC; б) D₁B и B₁C; в) AC₁ и D₁B.

17. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины A, F , F₁, B₁ имеют координаты:  F(0; -1; 0), F₁(0; -1; 1),  Постройте эту призму и координатным методом найдите величину угла между прямыми:

а) AB₁ и CF₁; б) АВ и СD₁; в) AF₁ и A₁B.

Ответы: 16. а) 60°; б) 90°; в)  17. а)  б)  в)

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой l :  и плоскостью a: Ax + By + Cz + D = 0, можно найти, используя угол между направляющим вектором  прямой l и вектором нормали  плоскости a (см. рис.):

Задача 18. Куб A…D₁ расположен в системе координат Oxyz так, что его вершины D, А₁, С₁, D₁ имеют координаты: D(0; 0; 0), А₁(1; 0; 1), С₁(0; 1; 1), D₁(0; 0; 1). Постройте изображение этого куба и координатным методом найдите синус угла между прямой и плоскостью:

а) D₁C₁ и A₁BD; б) A₁B и AB₁C; в) B₁D₁ и AB₁C; г) A₁B и BC₁D.

Решение. а) Найдем sin j, где j = ∠ (D₁C₁; (A₁BD)).

В системе координат Oxyz (см. рис.) вершины куба имеют координаты: A(1; 0; 0), B₁(1; 1; 1), C(0; 1; 0), B(1; 1; 0). В качестве направляющего вектора прямой D₁C₁ примем вектор , в качестве вектора нормали плоскости a = (A₁BD) -вектор  перпендикулярный векторам  и  

Найдем координаты вектора  Имеем:

 Þ  Þ  Þ a = -b = -c.

Полагая a = 1, получим: b = c = -1, то есть , и

Замечание. Можно доказать, что АС₁  (A₁BD). Тогда в качестве вектора нормали для плоскости A₁BD можно принять вектор

Аналогично решаются и другие задачи.

Ответ: а)  б)  в)  г)  

Задача 19. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВD₁ и плоскостью BF₁С.

Сначала рассмотрим решение этой задачи геометрическим методом, аргументируя шаги построений и доказательства утверждений, возникающих в процессе ее решения.

Решение. Геометрический метод. Обозначим: ∠ (ВD₁; (BF₁С))= a. На рисунке построены точки Q = ВС ∩ ЕD, K = E₁F₁ ∩ C₁D₁, принадлежащие плоскости BF₁С, и точка R = DD₁ ∩ E₁Q = (BF₁С) ∩ DD₁. Треугольник E₁D₁K - правильный, так как ∠ KE₁D₁ = ∠ KD₁E₁ = 60° (почему?); его стороны равны 1(почему?).

Пусть точка Т - середина E₁K, тогда D₁Т  E₁K (как медиана правильного треугольника E₁D₁K, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах RT  E₁K, значит, E₁K  (RD₁Т) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и плоскости BF₁С и RD₁Т перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Это означает, что перпендикуляр D₁О, проведенный из D₁ на плоскость BF₁С, расположен в плоскости RD₁Т, причем О Î RТ = (BF₁С) ∩ (RD₁Т). Поэтому прямая ОВ - проекция ВD₁ на плоскость BF₁С и ∠ ОВD₁ = ∠ (ВD₁; (BF₁С)) = a. Найдем величину этого угла.

Отрезок D₁О - высота прямоугольного треугольника RD₁Т с катетами  и RD₁= 0,5D₁D = 0,5 (точка R - середина ребра DD₁). Значит,

В прямоугольном треугольнике ВD₁D находим:

Тогда в прямоугольном треугольнике ОВD₁ с катетом  и гипотенузой ВD₁ = 2 находим:

Теперь рассмотрим решение этой задачи координатным методом.    

Координатный метод. Обозначим ∠ (ВD₁; (BF₁С)) = a.

Во введенной системе координат (см. рис.) точки B, С, F₁, D₁ имеют координаты:  С(0; 1; 0), F₁(0; -1; 1),  

Направляющим вектором прямой D₁B является

Найдем координаты вектора нормали плоскости b = (BF₁С), для чего составим ее уравнение.

Пусть ах + by + cz + d = 0 - искомое уравнение плоскости b = (BF₁С). Имеем:

 Þ

Решением последней системы является:  b = 3, c = 6, d = -3. То есть вектор нормали плоскости b имеет координаты Тогда

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что C(1; 0; 0), B₁(0; 0; 1), A(0; 1; 0), B(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите синус угла между прямой и плоскостью:

а) BC и (AB₁D₁); б) A₁B и (AB₁C); в) B₁D₁ и (AB₁C); г) A₁B и (BC₁D).

21. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины B, С, D, D₁ имеют координаты:  С(0; 1; 0),   Постройте эту призму и координатным методом найдите синус угла между:

а) прямой В₁Е и плоскостью BС₁С;

б) прямой АВ и плоскостью BF₁С;

в) прямой ВD₁ и плоскостью BF₁С;

г) прямой А₁В и плоскостью ВВ₁С.

Ответы: 20. а)  б)  в)  г)  21. а)  б)  в)  г) 

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями a и b, заданными уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и А₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 соответственно, удобно связать с углом между их векторами нормали  и  (см. рис.). Именно,

Задача 22. В системе координат Oxyz куб A…D₁ расположен так, что A(1; 0; 0), B(0; 0; 0), C(0; 1; 0), D₁(1; 1; 1). Постройте этот куб. Найдите угол между плоскостями:

а) AB₁C и ABC₁; б) AB₁C и A₁BC₁; в) D₁AC и B₁AC.

Решение. а) Из условия следует, что точка B(0; 0; 0) - начало координат, точки A(1; 0; 0) и C(0; 1; 0) - лежат на осях Ох и Оу соответственно. Тогда точки В₁, А₁, С₁, D приобретают координаты: B₁(0; 0; 1), A₁(1; 0; 1), C₁(0; 1; 1), D(1; 1; 0). На рисунке изображен куб относительно системы координат Охуz.

Найдем угол y между плоскостями a = (AB₁C) и b = (ABC₁). Пусть плоскость a = (AB₁C) имеет уравнение:

аx + by + cz + d = 0.

Так как плоскость  проходит через точки A, B и C₁, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению этой плоскости, поэтому числа a, b, c и d являются решением системы уравнений:

 Û  

Полагая d = -1, получаем уравнение плоскости

a = (AB₁C): х + у + z - 1= 0.

Значит, вектор  нормали этой плоскости имеет координаты  

В качестве вектора нормали плоскости b = (ABС₁) примем вектор  перпендикулярный векторам  и  

Найдем координаты вектора  Имеем:

Þ Þ Þ  

Полагая c₁ = -1, получаем:  Тогда:

 Þ  Þ a B b = y = 90°.

Аналогично находятся углы между плоскостями в пунктах «б» и «в».

Ответ: а) 90°; б)  в)

. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостями А₁ВС и АВ₁F.

Сначала рассмотрим решение этой задачи геометрическим методом, аргументируя шаги построений и доказательства утверждений, возникающих в процессе ее решения.

Решение. Обозначим: ∠ ((А₁ВС); (АВ₁F)) = b; Р = В₁Е₁ ∩ А₁D₁; K = АВ₁ ∩ А₁В. Тогда (А₁ВС) ∩ (АВ₁F) = KР - ребро двугранного угла, образованного плоскостями А₁ВС и АВ₁F (см. рис.). Найдем sin b.

Имеем: точка Р - середина диагоналей В₁Е₁ и А₁D₁, равных 2, поэтому А₁Р = В₁Р =1.

Аналогично, точка K - середина диагоналей А₁В и АВ₁, равных  поэтому  Тогда треугольники А₁РK и В₁РK равны, следовательно, А₁Т = В₁Т, где А₁Т и В₁Т - высоты этих треугольников, проведенные к их общей стороне РK. Это означает, что F ((А₁ВС); (АВ₁F)) = F А₁ТВ₁= b. Найдем sin b.

Замечаем, что отрезок РK - средняя линия треугольника АВ₁Е₁, поэтому РK = 0,5АЕ₁.

В прямоугольном треугольнике АЕ₁Е с катетами  и Е₁Е =1 находим:

значит, РK = 1.

Если KТ = х, то РТ = 1 - х, тогда на основании А₁K² - KТ² = А₁Р² - РТ² получаем: 0,5 - х² = 1 - (1 - 2х + х²), откуда х = 0,25 = ТK. Значит,

Далее, пусть точка H - середина А₁В₁. Тогда в равнобедренном треугольнике А₁В₁Т:  при этом

  Тогда

Теперь рассмотрим решение этой же задачи координатным способом.

Обозначим ∠ (a; b) = j. Найдем координаты векторов нормалей плоскостей a = (А₁ВС) и b = (АВ₁F).

Во введенной системе координат Oxyz (см. рис.) точки А₁, В, С, А, В₁, F имеют координаты:

  С(0; 1; 0),   F(0; -1; 0).

Вектор  нормали плоскости a перпендикулярен векторам  и  Координаты вектора  найдем из условия его перпендикулярности векторам  и  Имеем:

 Û  Û

Полагая  получим: b = c = 3. Таким образом,

Аналогично, вектор  нормали плоскости b перпендикулярен векторам  и  Поэтому координаты а₁, b₁ и c₁ найдем, решая систему уравнений:

 Û

Полагая  получим: b₁ = -3, c₁ = 3. Таким образом,  Тогда:

 Þ

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

. В системе координат Oxyz расположен куб A…D₁ так, что A₁(1; 0; 0), B(1; 1; 1), D(0; 1; 0), D₁(0; 0; 0). Постройте этот куб. Координатным методом найдите угол между плоскостями:

а) (AB₁C) и (ABC₁); б) (AB₁C) и (A₁BC₁); в) (D₁AC) и (B₁AC).

25. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1, расположена в системе координат Oxyz так, что центр ее основания совпадает с началом координат, а вершины А₁, B, C, D имеют координаты:   C(0; 1; 0),  Постройте эту призму и координатным методом найдите синус угла между плоскостью ABC и плоскостями:

а) (BС₁F); б) (FВ₁D₁); в) (ВС₁D); г) (А₁СЕ₁); д) (ВFD₁).

Ответы: 24. а) 90°; б)  в)  25. а)  б)  в)  г)  д)

Литература

1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2011.

2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2011.

. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: уч. пособие. - М.: Дрофа, 2008. - (Элективные курсы).