Конечные сверхразрешимые группы

Конечные сверхразрешимые группы

Содержание

Введение

Глава 1. Вспомогательные определения и утверждения

Глава 2. Конечные сверхразрешимые группы

Глава 3. Примеры

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Теория групп имеет большую и содержательную историю. Возникшая в связи с теорией Галуа и для нужд этой теории, она развивалась сперва в качестве теории конечных групп подстановок (Коши, Жордан, Силов). Довольно скоро обнаружилось, однако, что для большинства вопросов, интересовавших эту теорию, не является существенным тот специальный материал-подстановки,-который использовался для построения групп, и что на самом деле речь идет об изучении свойств одной только алгебраической операции, определенной в множестве, состоящем из конечного числа элементов произвольной природы. Это открытие, представляющееся в настоящее время тривиалным, оказалось в действительности весьма плодотворным и привело к созданию общей теории конечных групп. Правда, переход от групп подстановок к произвольным конечным группам не называл по существу расширения запаса изучаемых объектов, однако он перевел теорию на аксиоматические основы, придав ей стройность и прозрачность и облегчив этим ее дальнейшее развитие.

Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Достаточно хорошо изученным в теории конечных групп является класс всех абелевых групп. Разрешимые группы представляют собой очень широкое обобщение абелевых групп и лишь весьма немногие нетривиальные свойства последних удается распространить на разрешимые группы. Групповым свойством, качественно более сильным, чем разрешимость, является сверхразрешимость.

Целью данной курсовой работы является изучение конечных сверхразрешимых групп.

Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:

) изучить замкнутость класса всех конечных сверхразрешимых групп относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений;

) изучить свойства подгрупп конечной сверхразрешимой группы;

) привести примеры конечных сверхразрешимых групп.

Работа состоит из трех глав. В первой главе содержатся вспомогательные определения и утверждения, используемые в основном тексте курсовой работы. Вторая глава посвящена изучению конечных сверхразрешимых групп. В третьей главе приведены примеры конечных сверхразрешимых групп.

Глава 1. Вспомогательные определения и утверждения

Все используемые в дальнейшем обозначения и определения можно найти в [1-5].

Определение 1.1. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1)     операция определена на G, то есть , для всех .

(2)     операция ассоциативна, то есть , для любых .

(3)     в G существует единичный элемент, то есть такой элемент , что  для всех .

(4)     каждый элемент обладает обратным, то есть для любого  существует такой элемент , что .

Определение 1.2. Абелева группа - группа с коммутативной операцией.

Определение 1.3. Если -конечное множество, являющееся группой, то  называют конечной группой, а число  элементов в  -порядком группы .

Определение 1.4. Подмножество  группы  называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующие обозначение:  Запись  читается так: - подгруппа группы

Определение 1.5. Максимальная подгруппа - такая подгруппа, что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой подгруппой).

Определение 1.6. Пусть  - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе  и обозначается через . Таким образом,

Определение 1.7. Центром группы  называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы  обозначается через  Ясно, что, т.е. центр группысовпадает с центролизатором подмножества  в группе . Кроме того,

Определение 1.8. Зафиксируем элемент  в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом, .

Определение 1.9. Пусть - подмножество группы  и  через обозначим подмножество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы множества . Подмножество  называется подмножеством, сопряженным подмножеству  посредством элемента

Пусть H - подгруппа группы G. Подгруппа  называется подгруппой, сопряженной подгруппе  посредством элемента .

Определение 1.10. Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством  называется нормализатором подмножества  в группе  и обозначается через . Итак,

.

Определение 1.11. Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если  для всех  Запись  читается так: -нормальная подгруппа группы . Равенство  означает, что для любого элемента существует элемент  такой, что .

Лемма 1.1. [1, лемма 6.4.] Пусть Н - нормальная подгруппа группы G. Тогда:

(1)    

(2)    

(3)    

(4)     .

Определение 1.12. Пусть  - группа,  и . Правым смежным классом группы  по подгруппе  называется множество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы подгруппы  Аналогично определяется левый смежный класс

Определение 1.13. Индекс подгруппы - число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы в данной подгруппе.

Определение 1.14. Группа  называется фактор-группой группы  по группе и обозначается через .

Теорема 1.1. [1, теорема 6.10 ]. (Теорема о соответствии) Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Тогда:

(1)     если U - подгруппа группы G и , то  - подгруппа фактор-группы

(2)     каждая подгруппа фактор-группы  имеет вид , где V - подгруппа группы G и ;

(3)     отображение  является биекцией множества S(G,H) на множество S();

(4)     если S(G,H), то N - нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа фактор-группы .

Определение 1.15. Пусть р-простое число. р-Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа р. Конечная группа называется примарной, если она является p-группой для некоторого простого р.

Определение 1.16. Силовской р-подгруппой конечной группы  называют такую р-подгруппу, индекс которой не делится на р.

Определение 1.17. Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Определение 1.18. Две группы  и  называются изоморфными, если существует биекция  такая, что  для всех  Факт изоморфизма записывают так:

Теорема 1.2.[1, теорема 8.4.]. Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Тогда для любой подгруппы A пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе А, а отображение является изоморфизмом групп .

Теорема 1.3. .[1, теорема 8.5.] Если N и H - нормальные подгруппы группы G, причём , то  изоморфна .

Определение 1.19. Положив  в определении изоморфизма, получим изоморфное отображение группы G на себя, которое называют автоморфизмом группы G. Совокупность всех автоморфизмов группы G обозначим через AutG.

Теорема 1.4. Совокупность AutG всех автоморфизмов группы G является группой.

Теорема 1.5. Пусть G - группа и H - её подгруппа. Тогда  и  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов H.

Теoрема 1.6.

(1)     Если  - бесконечная циклическая группа, то  - группа порядка 2.

(2)     Если  - конечная циклическая группа порядка n, то  изоморфна группу всех обратимых элементов полугруппы .

(3)     Группа автоморфизмов циклической группы абелева.

(4)     Группа автоморфизмов группы простого порядка p является циклической группой порядка p-1.

Определение 1.20. Пусть -подгруппа группы  и -автоморфизм группы . Если для всех  то  называют характеристической подгруппой группы  и пишут  В каждой группе  единичная подгруппа и вся группа являются характеристическими подгруппами. Если в группе  не других (отличной от единичной подгруппы и всей группы) характеристических подгрупп, то группа называется характеристически простой.

Лемма 1.2. [1, лемма 9.7]. Каждая подгруппа конечной циклической группы характеристическая.

Лемма 1.3. [1, лемма 9.10]. Пусть  Тогда:

(1) если H char K, K char G, то H char G;

(2) если H char K, то .

Определение 1.21. Цепочка подгрупп

Определение 1.22. Ряд называется нормальным, если  для всех i.

Определение 1.23. Ряд называется субнормальным, если  для всех i.

Определение 1.24. Пусть - субнормальный ряд конечной группы G. Фактор-группы  называются факторами ряда.

Определение 1.25. Числа  - индексы ряда.

Определение 1.26. Нормальный ряд  конечной группы G называется главным, если подгруппа  является максимальной нормальной подгруппой группы G, содержащейся в .

Определение 1.27. Пусть теперь  и  - произвольные группы. На множестве определим операцию (умножение) следующим образом: где . Множество  превращается в группу с единичным элементом , где  - единичный элемент группы , и обратным элементом

Группу  называют прямым произведением групп .

Определение 1.28. Минимальной нормальной подгруппой группы G называют такую нормальную подгруппу N группы G, что  и в N нет нетривиальных нормальных подгрупп группы G.

Лемма 1.4. [1, лемма 13.1]. Пусть  Тогда:

(1)     если то либо , либо

 и

(2)     если N абелева и NH=G для некоторой собственной подгруппы H группы G, то ;

(3)     если  и , то

Определение 1.29. Коммутатором элементов a и b называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Определение 1.30. Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы G, называется коммутантом группы G и обозначается через . Таким образом,.

Определение 1.31. Для любой неединичной группы G можно построить целую цепочку коммутантов

Если существует номер n такой, что , то группа G называется разрешимой.

Лемма 1.5. [1, лемма 21.2.].

(1) Подгруппы и фактор-группы разрешимой группы разрешимы;

(2) Если  и разрешимы, то G разрешима;

(3) Прямое произведение разрешимых групп является разрешимой группой.

Глава 2. Конечные сверхразрешимые группы

сверхразрешимый группа лемма

Определение 2.1. Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Лемма 2.1 [1, Лемма 26.1].

(1)     Каждая подгруппа и каждая фактор-группа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.

(2)     Прямое произведение сверхразрешимых групп является сверхразрешимой группой.

(3)     Сверхразрешимая группа разрешима.

Доказательство:

(1)     Пусть группа G сверхразрешима. Тогда группа G обладает нормальным рядом с циклическими факторами:

 и фактор-группы  циклические для всех i. Пусть  и  Тогда подгруппа U имеет ряд

причём для вех i. Далее

и фактор-группа  циклическая. Итак, ряд <2> нормальный и его факторы циклические. Поэтому подгруппа U сверхразрешима.

Пусть . Рассмотрим ряд

Ясно, что для всех  , поэтому ряд <3> нормальный.

Далее,

поэтому факторы ряда <3> циклические и фактор-группа  сверхразрешима.

(2)     Пусть G и H - сверхразрешимые группы. Тогда группы G и H обладают нормальными рядам

с циклическими факторамиРассмотрим прямое произведение и построим ряд

Этот ряд нормальный и его факторы циклические.

(3) Пусть группа сверхразрешима. Тогда группа обладает нормальным рядом <1> с циклическими факторами. Так как циклическая, то  разрешима. Так как  и  циклические, то они разрешимы, поэтому  разрешима по лемме 1.2. Теперь и  разрешимы, значит и  разрешима по лемме 1.2, и т.д. Через конечное число шагов получаем, что группа  разрешима.

Лемма 2.2 [1, Лемма 26.2]. (1) Если группа G содержит нормальную циклическую подгруппу K и фактор-группа G/K сверхразрешима, то группа G сверхразрешима.

(2) Если фактор-группа G/Z(G) сверхразрешима, то группа G сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Доказательство.

(1)     Так как G/Kсверхразрешима, то имеется нормальный ряд

с циклическими факторами Рассмотрим ряд

 <4>

Так как  то  и ряд <4> нормальный.

Кроме того, факторы циклические дляДалее,  - циклическая группа. Значит ряд <4> нормальный с циклическими факторами и группа  сверхразрешима.

(2)     Пусть . Так как сверхразрешима, то имеется нормальный ряд

с циклическими факторами Поскольку в абелевой группе максимальные подгруппы имеют простые индексы, то группа  обладает рядом

с факторами  простых порядков. Рассмотрим ряд

 <5>

Так как , то Поскольку все подгруппы из центра группы нормальны в группе, то ряд <5> нормальный. Кроме того, факторы

циклические дляа факторы

имеют простые порядки. Значит ряд <5> нормальный с циклическими факторами и группа сверхразрешима.

Лемма 2.3 [1, Лемма 26.3]:

Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда она обладает главным рядом с факторами простых порядков.

Доказательство.

Пусть G сверхразрешима. Тогда она имеет нормальный ряд <1> с циклическими факторами . Так как  и  циклическая, то по лемме 1.2, все подгруппы в  характеристические. Пусть  - подгруппа простого индекса в . Тогда

следовательно  по лемме 1.3, и ряд

нормальный с циклическим фактором  простого порядка. Повторяя эти действия, через конечное число шагов придём к главному ряду с факторами простых порядков.

Обратно, если группа G имеет главный ряд с факторами простых порядков, то этот ряд будет нормальным, а его факторы циклическими. Значит группа G будет сверхразрешимой.

Теорема 2.1. [1, теорема 26.4]. (1) Максимальные подгруппы сверхразрешимой группы имеют простые индексы

(2) В сверхразрешимой группе каждая минимальная нормальная подгруппа имеет простой порядок.

Доказательство.

(1)     Пусть G - сверхразрешимая группа и . По лемме 2.3 группа G имеет главный ряд

 <6>

с факторами простых порядков. Зафиксируем число i такое что , но . Поскольку  и , то  и

Но  и , поэтому либо , либо . Поскольку, , то  и .

(2)     Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть . По лемме 2.3 в группе G существует минимальная нормальная подгруппа K простого порядка. Если , то N=K и утверждение справедливо. Пусть . По лемме 1.4, подгруппа  - минимальная нормальная подгруппа фактор-группы . По индукции  - простое число.

Лемма 2.4 [1, Лемма 26.5]. Если G - сверхразрешимая группа и p-наибольший простой делитель порядка G, то силовская p-подгруппа группы G нормальна.

Доказательство.

Воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть  Тогда - простое число теореме 2.1. Фактор-группа сверхразрешима. По индукции,  т.е.  Если то и  Пусть  тогда . Так как фактор-группа  по теореме 1.6, является циклической группой порядка  то  и  Но теперь, следовательно .

Глава 3. Примеры

Заметим, что можно привести пример конечной неабелевой группы, которая является сверхразрешимой.

Пример 3.1. Группа кватернионов Q сверхразрешима, но не абелева.

Пусть Q=<A,B|A⁴=B⁴=E, A²=B², B^-1AB=A^-1> - группа кватернионов, порожденная матрицами A= и B=.

Элементами группы Q являются матрицы:

, , ,

.

Таким образом, =8=2³. Следовательно, в силу примера 3.1 группа кватернионов Q сверхразрешима.

Однако группа Q не является абелевой.

Действительно,

A×B=× = ≠ = × = B×A.

Согласно пункту (3) леммы 2.2. каждая нильпотентная группа сверхразрешима. Обратное утверждение в общем случае не верно. Приведем соответствующий пример.

Пример 3.2. Симметрическая группа S₃ степени 3 сверхразрешима, но не нильпотентна.

Пусть S₃ - симметрическая группа степени 3. Найдем все ее собственные подгруппы.

Н₁ = <> = <{,},

Н₂ = <> = <{,},

Н₃ = <> = <{,}, ,

Н₄ = <> = <{,, },.

Подгруппа Н₁ не является нормальной подгруппой группы S₃. Действительно, выберем . Пусть . Тогда  и , . Следовательно,  и . Таким образом, для  не существует элемента  такого, что  Значит, по определению

Подгруппа Н₂ не является нормальной подгруппой группы S₃. Действительно, выберем . Пусть . Тогда  и , . Следовательно,  и . Таким образом, для  не существует элемента  такого, что  Значит, по определению

Подгруппа Н₃ не является нормальной подгруппой группы S₃. Действительно, выберем . Пусть . Тогда  и , . Следовательно,  и . Таким образом, для  не существует элемента  такого, что  Значит, по определению

Рассмотрим подгруппу Н₄. Ее порядок . Следовательно, она является силовской 3-подгруппой группы S₃. Поскольку Н₄ - единственная силовская 3-подгруппа группы S₃, то .

Таким образом, группа S₃ обладает нормальным рядом , факторы которого и  имеют порядки 2 и 3 соответственно, значит, являются циклическими группами. Следовательно, по определению, группа S₃ сверхразрешима.

То, что группа S₃ не является нильпотентной, следует из того, что она обладает только одной силовской 3-подгруппой

Заключение

В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты касающиеся вопроса сверхразрешимости конечных групп, обладающих нормальным рядом с циклическими факторами. Рассмотрены и доказаны некоторые свойства сверхразхрешимых групп в виде лемм во второй главе. В главе три приведены и рассмотрены примеры.

Список используемой литературы

1.       Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. - Гомель: УО «ГГУ им. Ф. Скорины», 2003. - 320 с.;

.        Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982. - 288 с.;

.        Холл М. Теория групп. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962. - 468 с.;

.        Курош А. Г. Теория групп. - М.: Наука, 1967. - 648 с.;

.        Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1986. - 564 с.