Высшая математика

Высшая математика

Контрольная работа №1

Вариант 5

Задача №1. Даны четыре вектора , , ,  в некотором базисе. Показать, что векторы , ,  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение.

Проверим, образуют ли векторы , ,  базис.

Три вектора образуют базис, если они не лежат в одной плоскости. Найдем смешанное произведение векторов , , .

Поскольку смешенное произведение векторов не равно 0, то векторы , ,  образуют базис.

Найдем координаты вектора  в базисе .

.

Подставляя координаты векторов, получим систему линейных алгебраических уравнений, которую решим по формулам Крамера.

Воспользуемся формулами Крамера:

, , ,

где - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

== 42 + 0 +18 +0 +30 - 28 = 62;

= 42 + 0 - 156 +0 + 30 - 21 = -105;

= 42 +0 +36 +0 + 312 - 56 = 334;

= 312 + 40 -18 +36 - 30 -208 = 132.

Найдем , , .

. Ответ:

Задача №2 Даны вершин пирамиды , , , . Найти:

длину ребра ;

угол между ребрами  и ;

угол между ребром  и гранью ;

площадь грани ;

1) объем пирамиды;

уравнения прямой ;

уравнение плоскости ;

уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань ;

Сделать чертеж.

Решение:

1) Длина d отрезка, проходящего через точки с координатами ,  вычисляется по формуле:

Поставим в формулу координаты точек  и .

Получим

.

2) Угол φ между векторами   находится по формуле:

 =

Найдем координаты векторов  и .

= .

=.

Тогда = =.

 радиан.

) Угол  между прямой  и плоскостью  находится по формуле:

, где  - нормальный вектор плоскости.

Так как  и ,

то вектор  можно найти как векторное произведение векторов  и .

== .

Нормальный вектор плоскости равен (7, 26, -8).

Тогда ==  = .

 радиан.

) Найдем площадь грани  по формуле

Из пункта 3 имеем =.

Тогда = = = .

=  = .

) Объем пирамиды вычислим по формуле

= ,

где  - смешанное произведение векторов , , .

Вычислим .

== =.

Значит, ==.

) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно вектору  имеет вид:

Подставим координаты точки  и вектора , получим:

= =  - канонические уравнения прямой .

) Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору  имеет вид:

.

Нормальный вектор плоскости  имеет координаты (7, 26, -8) (вычислено п. 3).

, откуда  - уравнение плоскости .

) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины  на грань . Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости  -  = (7, 26, -8).

Сделаем чертеж:

Задача №3 Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку

Решение.

Т.к. каждая точка линии является центром окружности, касающейся оси абсцисс, то радиус окружности в произвольной точке линии будет перпендикулярен оси абсцисс. Значит, линия параллельна оси абсцисс.

Тогда уравнение линии имеет вид:

Ответ: .

Задача №4. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами. 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение

Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Умножим первую строку матрицы на -4 и прибавим ко второй.

Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим к третьей.

Далее вторую строку матрицы прибавим к третьей, умноженной на -7.

.

Получили ступенчатую матрицу.  и равен количеству неизвестных, следовательно, система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.

Решим систему методом Гаусса.

Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .

.

(3, 8, 13) - решение системы.

. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме , где

, ,

Решение системы в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу  по формуле

= ,

где - алгебраическое дополнение к элементу.

=  = 3 - 4 + 2 -6 -1 +4 = -2

Обратная матрица имеет вид:

=.

Найдем решение системы.

== =.

(3, 8, 13) - решение системы.

Ответ: (3, 8, 13).

Задача №5. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

линейный алгебраическое уравнение пространство

Решение.

Составим матрицу, из коэффициентов системы.

Поменяем первую и третью строки местами.

Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим ко второй.

Умножим первую строку матрицы на -7 и прибавим к третьей.

Далее вторую строку матрицы умножим на -3 и прибавим к третьей.

Получили трапециевидную матрицу, следовательно, система совместна и не определена.

Очевидно, что ранг матрицы  равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, и две - свободными. Значит, фундаментальная система решений системы содержит 4-2=2 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных неизвестных , тогда переменные  будут свободными.

Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид

 .

Или иначе:

.

Фундаментальная совокупность решений, является базисом линейного пространства решений исходной системы. Следуя общему правилу, полагаем  ; затем -  . В результате приходим к двум частным решениям, которые и составляют фундаментальный набор.

; .

Размерность искомого пространства равна 2.

Все решения данной системы выражаются через фундаментальный набор:

, где  произвольные числа.

Ответ: .

Задача №6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение.

Пусть  есть столбец координат неизвестного собственного вектора, принадлежащего собственному значению . , т.е.

 (1).

Эта система имеет ненулевые решения только при условии равенства нулю её определителя .

Составим характеристическое уравнение.

 =  = ;

, , . - собственные значение матрицы.

При  система 1 примет вид.

,  

Собственный является любой вектор вида: , .

При  система 1 примет вид.

,  

Собственный является любой вектор вида: , .

При  система 1 примет вид.

,  

Собственный является любой вектор вида: , .

Задача№7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

.

Решение.

Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна

.

Собственными числами данной матрицы будут

.

Решим уравнение =0 получим: , .

При  имеем:

,  

Собственным является любой вектор вида: , .

При  имеем:

,  

Собственный является любой вектор вида: , .

Получим собственные векторы

;

Выполним преобразование:

;

;

;

;

;

 - эллипс с полуосями  и .

Задача №8 Построить график функции  преобразованием графика функции .

Решение

Задача №9 Дана функция  на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая  значения через промежуток , начиная от ; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительное полуось абсцисс - с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.

Решение.

Построим кривую . Сведем данные в таблицу:

Построим график функции  по данным таблицы.

Найдем уравнение кривой в прямоугольных координатах.

; ; .

; ; ; ; ; ;

; ;

 ;  - эллипс с центром в точке и большей полуосью , и меньшей полуосью

Задача №10 Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение.

а)=  = =  =

===4.

Чтобы раскрыть неопределенность  поделили числитель и знаменатель на старшею степень.

б) ==

=

= =

 =

== .

Чтобы раскрыть неопределенность  помножили числитель на сопряженное выражение, знаменатель разложили на множители.

в) =  =  =  =

==

=.

При решении примера использовали первый замечательный предел  и его следствие .

) == =

==== =

= =  = = -1. При решении примера был использован второй замечательный предел .

Задача №11 Заданы функция  и два значения аргумента  и . Требуется: 1) установить является ли заданная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений; 2) в случае разрыва найти пределы при приближении к точке слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

Решение.

Найдем область определения функции: . Функция неопределенна при .

Чтобы определить является ли функция непрерывной в заданной точке, воспользуемся критерием непрерывности функции. Для этого для каждой точки найдем односторонние пределы.

Для точки

; ; .

Согласно критерия т.к. , то функция непрерывна в точке .

Для точки

; .

Согласно критерия т.к. , то функция имеет в точке  разрыв второго рода.

Сделаем схематический чертеж функции.

Задача №12 Заданы функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменой. Найти точки разрыва функции, если они существуют сделать чертеж.

Решение.

Область определения функции . На интервалах (-1, 0),
(0, 2), (2, +¥) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках  и , в которых изменяется аналитическое задание функции.

Рассмотрим точку . Найдем односторонние пределы в точке .

, .

Так как , то в точке  имеет непрерывна.

Рассмотрим точку .

, .

Так как , то в точке  имеет разрыв первого рода. Скачек равен .

Строим график функции:

Задача №13 Найти производную  данных функций.

а) ;

===

===

===

= = .

б) ;

= =  =

== .

в) .

 =  =  =

= = .

г) .

Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию: . Применим свойство логарифмов: .

Тогда . Дифференцируем обе части равенства:

; ;

; .

) .

; ;

; ; .

.