Составление схемы вала

Составление схемы вала

Задание

Дано:

. Ступенчатый вал с зубчатыми колесами І и ІІ передает постоянный момент.

. Максимальное значение окружного усилия, действующего в зацеплении шестерни 1, F_t1=6 кН.

. Поперечные размеры вала d, мм: d₁=40, d₂=50, d₃=60, d₄=50, d₅=45.

. Длины участка вала l, мм: l₁=40, l₂=110, l₃=180, l₄=75, l₅=68.

. Радиусы закруглений (галтелей): r₁/d₁=0,05, r₂/d₂=0,05, r₄/d₄=0,02, r₅/d₅=0,02.

. Диаметры зубчатых колес, мм: d_w1=3,8·d₂=3,8·50=190, d_w2=5,4·40=216.

. Направление усилий в зацеплении зубчатых колес φ₁=45°, φ₂=60°.

. Характеристики прочности материала: материал - углеродиста сталь, σ_в=560 МПа, σ_-1=260 МПа, τ_т=200 МПа.

. Допускаемый угол закручивания [θ]=2° на метр длины.

. Угловая скорость вала ω=15 рад/с.

. Эквивалентные моменты инерции для зубчатых колес: J_m1=60 кгм, J_m2=15 кгм.

. Поверхность вала - гладкая полировка.

Требуется:

определить запас усталостной прочности для наиболее опасного из указанных в заданных сечений;

провести проверку вала на жесткость;

рассмотреть крутильные колебания вала и учесть их влияние на коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям.

Рис. 1. Исходные данные для расчета

1. Составление расчетной схемы вала

Для косозубых колес в зубчатом зацеплении возникает три составляющих усилия:

окружное F_t1=6,0 кН,                                F_t2=F_t1=6=5,28 кН,

радиальное F_r1=0,4·F_t1= 2,40 кН,                       F_r2=0,4·F_t2=2,11 кН,

осевое F_x1=0,25·F_t1= 1,5 кН,                     F_x2=0,25·F_t2= 1,32 кН.

Рис. 2. Расчетная схема вала

2. Приведение сил, действующих на зубчатые колеса, к геометрической оси вала

₁=F_x1=1,75 кН;

Y₁=F_t1·cosφ₁ - F_r1·sinφ₁= 6·0,707 - 2,4·0,707 = 2,55 кН;₁=F_r1·cosφ₁+F_t1·sinφ₁= 2,4·0,707 + 6·0,707 = 5,94 кН;

M_x1=F_t1·=6·=0,57 кНм;     _y1=F_x1··cosφ₁=1,5··0,707=0,10 кНм;         _z1=F_x1··sinφ₁=1,5··0,707=0,10 кНм;     ₂=F_x2=1,32 кН;     ₂=F_t2·sinφ₂ - F_r2·cosφ₂ = 3,51 кН;      ₂= F_t2·cosφ₂+ F_r2·sinφ₂ = 4,47 кН;_x2=F_t2·=6·=0,57 кНм;   _y2=F_x2··sinφ₂ = 0,12 кНм;

M_z2=F_x2··cosφ₂ = 0,07 кНм.

3. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Эпюра растяжение-сжатие

Зубчатые колеса посажены на вал с гарантированным натягом и закрепляются гайкой от осевого смещения под действием осевой силы F_x.

Растягивающие усилия на валу принимаем равными F_x'= 5F_x.

Нормальная сила на участках вала будет:_I=F'_x2=6,6 кН (рассматриваем равновесие левой отсеченной части вала);

_II=F'_x2+X₂=6,6+1,32=7,92 кН;_III=F'_x2+X₂ - F'_x2=6,6+1,32-6,6=1,32 кН;_VI=F'_x1 =7,5 кН (рассматриваем равновесие правой отсеченной части вала);_V=F'_x1+X₁ = 7,5+1,5 =9,0 кН;_IV=F'_x1+X₁ - F'_x1 = 7,5+1,5-7,5 =1,5 кН.

По полученным значением строим эпюру N.

Рис. 3. Эпюра N (кН).

Эпюра крутящих моментов (М_К).

Крутящий момент на валу постоянен и равен М_К=M_X1=M_X2=0,57 кНм.

Рис. 4. Эпюра М_К (кНм).

Прямой изгиб в плоскости xy

Рис. 5. Эпюра Q_y, M_z.

Для построения эпюр Q_y и M_z определяем сначала реакции опор А_y и B_y.

отсюда  кН,

отсюда

Проверяем:

Строим эпюры Q_y и M_z.

Прямой изгиб в плоскости xz.

Для построения эпюр Q_z и M_y определяем сначала реакции опор А_y и B_y.

отсюда

Рис. 6. Эпюра Q_z, M_y.

отсюда

Проверяем:

Строим эпюры Q_y и M_z.

4. Определение в сечениях (1-1) … (6-6) продольной силы, результирующих изгибающих моментов и учет основных факторов, влияющих на предел выносливости материала при переменном изгибе.

Крутящий момент на валу постоянный М_к=0,57 кНм.

 кНм.

В сечении действуют концентраторы в виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на вал. Кроме этого необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала - углеродистая сталь, поверхность вала - гладкая полировка.

Эффективные коэффициенты концентрации составляют:

для концентратора в виде шпоночного паза k_σ= 1,86 [1, рис. 13], масштабный коэффициент ε_σ=0,9 [1, рис. 9], k_σ/ε_σ=2,07;

для концентратора в виде посадки с натягом k_σ/ε_σ=3,0 [1, табл. 1].

Выбираем для дальнейших расчетов их двух отношений большее k_σ/ε_σ=3,0.

Сечение 2-2.=7,92 кН;            M_z= -0,02 кНм;              M_y=0,153 кНм;

 кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_σ= 1+ζ(k₀^σ-1),

где k₀^σ= 1,8 [1, рис. 10],         ζ= 0,8 [1, рис. 12]. Тогда k_σ= 1+0,8 (1,8-1)=1,64.

Масштабный коэффициент ε_σ=0,87 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_σ/ε_σ= 1,64/0,87 =1,88;

Сечение 3-3.=1,5 кН;              M_z= 0,09 кНм;               M_y=0,44 кНм;

 кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_σ= 1+ζ(k₀^σ-1),

где k₀^σ= 1,8 [1, рис. 10],         ζ= 0,85 [1, рис. 12]. Тогда k_σ= 1+0,85 (1,8-1)=1,68.

Масштабный коэффициент ε_σ=0,82 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_σ/ε_σ= 1,68/0,82 =2,05;

Сечение 4-4.=9,0 кН;              M_z=-0,17 кНм;               M_y=0,609 кНм;

 кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_σ= 1+ζ(k₀^σ-1),

где k₀^σ= 2,3 [1, рис. 10],         ζ= 0,8 [1, рис. 12]. Тогда k_σ= 1+0,8 (2,3-1)=2,04.

Масштабный коэффициент ε_σ=0,82 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_σ/ε_σ= 2,04/0,82 =2,49;

Сечение 5-5.              

N=9,0 кН;            M_z=-0,20 кНм;               M_y=0,627 кНм;

 кНм.

В сечении действуют концентраторы в виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на вал. Кроме этого необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала - углеродистая сталь, поверхность вала - гладкая полировка.

Эффективные коэффициенты концентрации составляют:

для концентратора в виде шпоночного паза k_σ= 1,86 [1, рис. 13], масштабный коэффициент ε_σ=0,9 [1, рис. 9], k_σ/ε_σ=2,07;

для концентратора в виде посадки с натягом k_σ/ε_σ=3,26 [1, табл. 1].

Выбираем для дальнейших расчетов их двух отношений большее k_σ/ε_σ=3,26.

Сечение 6-6.=7,5;                   M_z= -0,04 кНм;              M_y=0,237 кНм;

 кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_σ= 1+ζ(k₀^σ-1),

где k₀^σ= 2,3 [1, рис. 10],         ζ= 0,62 [1, рис. 12]. Тогда k_σ= 1+0,62 (2,3-1)=1,81.

Масштабный коэффициент ε_σ=0,87 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_σ/ε_σ= 1,81/0,87 =2,08;

Полученные значения внутренних силовых факторов и коэффициентов k_σ и ε_σ сведем в таблицу 1.

Таблица 1. Значения внутренних силовых факторов и коэффициентов kσ и εσ

5. Определение запаса усталостной прочности вала

Проверочный расчет валов состоит в определении коэффициентов запаса прочности n по формуле Гафа и Полларда.

,

где  и  - коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

Коэффициенты запаса прочности по нормальным напряжениям (определяем по формуле:

;

где σ_-1=2,6·10⁸ Па - предел выносливости для симметричного цикла;

σ_в=5,6·10⁸ Па - временное сопротивление материала на растяжение;

ε_n - коэффициент, учитывающий состояние поверхности (для полированного вала ε_n=1);

σ_а=M/W=32M/πd³ - амплитуда цикла;

σ_m=N/F=4N/πd² - среднее напряжение цикла;

Коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям определяем по пределу текучести как:

n_T=τ_T/τ_m*,

где τ_m* = М_к/W_p= 16М_к/πd^3;

τ_T = 200 МПа - предел текучести.

При определении касательных напряжений учитываем возникновение местных напряжений в сечениях 1-1…6-6. Вследствие этого значения τ_m, увеличиваем на величину коэффициента k^t, значения которого для сечений, в которых концентраторы - шпоночные канавки - берем из табл. 5.1 [1]; для сечений, концентраторы в которых - галтели - выбираем по рис. 14 [1] для заданных отношений r/d.

τ_m= τ_m* · k^t, n_T=τ_T/τ_m.

Полученные значения коэффициентов запаса ,  и n для заданных сечений сводим в таблицу 2.

Таблица 2. Значения коэффициентов запаса n_σ, n_τ и n для заданных сечений

Из приведенных в таблице значений видно, что наиболее опасным сечением является сечение 5, где коэффициент запаса усталостной прочности наименьший и равняется n=1,37.

6. Проверка жесткости вала

Условие жесткости вала:

,

где  - допускаемый угол закручивания,

 - относительный угол закручивания.

Принимаем =2°/м.

Полный угол закручивания:

,

где J_p= πd⁴ /32 - полярный момент инерции поперечного сечения;

l_i - длина i-го участка вала.

Таблица 3. Значения J_p, l_i

Таким образом,

5,48·10^-3 рад,

φ = 5,48·10^-3·180/π =0,31°.

Полная длина вала L=47,25 см, поэтому относительный угол закручивания на метр длины вала Θ=0,31·100/47,25=0,665° ≤ [Θ]. Условие жесткости обеспечено.

7. Расчет крутильных колебаний

Коэффициент податливости рассчитаем как

,

9,6·10^-6.

Круговая частота колебаний

 рад/с.

частота колебаний

 Гц.

Максимальное значение угла взаимного поворота колес при крутильных колебаниях:

 рад.

С учетом колебаний угол закручивания вала равен:

 рад.

Касательные напряжения с учетом крутильных колебаний:

.

В наиболее нагруженном сечении вала 5-5 τ_{m max}=53,44 МПа

 МПа.

Определяем коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям с учетом крутильных колебаний вала:

.

Ранее коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям составлял . Таким образом, учет крутильных колебаний приведет к снижению коэффициента запаса прочности  на

%.

Список литературы

вал зубчатый прочность ось

1. Методические указания к курсовой работе.

2.       А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин. Сопротивление материалов. М., Изд. ФИЗМАЛИТ, 2002 г.

.        А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов. М., В.Ш., 2003 г.