Составление расчетной схемы вала
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЗАДАНИЕ
. Составление расчетной схемы вала
. Приведение сил, действующих на
зубчатые колеса, к геометрической оси вала
. Построение эпюр внутренних силовых
факторов
.1 Эпюра растяжение-сжатие
.2 Эпюра крутящих моментов (МК)
.3 Прямой изгиб в плоскости xy
.4 Прямой изгиб в плоскости xz
. Определение в сечениях (1-1) …
(6-6) продольной силы, результирующих изгибающих моментов и учет основных
факторов, влияющих на предел выносливости материала при переменном изгибе.
. Определение запаса усталостной
прочности вала
. Проверка жесткости вала
. Расчет крутильных колебаний
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ЗАДАНИЕ
Дано:
. Ступенчатый вал с зубчатыми колесами І и ІІ
передает постоянный момент.
. Максимальное значение окружного усилия,
действующего в зацеплении шестерни 1, Ft1=6 кН.
. Поперечные размеры вала d, мм: d1=40, d2=50,
d3=60, d4=50, d5=45.
. Длины участка вала l, мм: l1=40, l2=110,
l3=180, l4=75, l5=68.
. Радиусы закруглений (галтелей): r1/d1=0,05,
r2/d2=0,05, r4/d4=0,02, r5/d5=0,02.
. Диаметры зубчатых колес, мм:
dw1=3,8·d2=3,8·50=190, dw2=5,4·40=216.
. Направление усилий в зацеплении зубчатых колес
φ1=45°,
φ2=60°.
. Характеристики прочности материала: материал -
углеродиста сталь, σв=560 МПа, σ-1=260
МПа, τт=200
МПа.
. Допускаемый угол закручивания [θ]=2°
на
метр длины.
. Угловая скорость вала ω=15
рад/с.
. Эквивалентные моменты инерции для зубчатых
колес: Jm1=60 кгм, Jm2=15 кгм.
. Поверхность вала - гладкая полировка.
Требуется:
определить запас усталостной прочности для
наиболее опасного из указанных в заданных сечений;
провести проверку вала на жесткость;
рассмотреть крутильные колебания вала и учесть
их влияние на коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям.
Рис.1. Исходные данные для расчета
1. Составление
расчетной схемы вала
Для косозубых колес в зубчатом зацеплении
возникает три составляющих усилия:
окружное Ft1=6,0 кН, Ft2=Ft1=6=5,28 кН,
радиальное Fr1=0,4·Ft1= 2,40 кН, Fr2=0,4·Ft2=2,11
кН,
осевое Fx1=0,25·Ft1= 1,5 кН, Fx2=0,25·Ft2=
1,32 кН.
Рис.2. Расчетная схема вала
2. Приведение сил, действующих на зубчатые
колеса, к геометрической оси вала
=Fx1=1,75 кН;
Y1=Ft1·cosφ1-
Fr1·sinφ1=
6·0,707 - 2,4·0,707 = 2,55 кН;
Z1=Fr1·cosφ1+Ft1·sinφ1=
2,4·0,707 + 6·0,707 = 5,94 кН;
Mx1=Ft1·=6·=0,57 кНм; =Fx1··cosφ1=1,5··0,707=0,10 кНм; =Fx1··sinφ1=1,5··0,707=0,10 кНм; =Fx2=1,32
кН; =Ft2·sinφ2-
Fr2·cosφ2
= 3,51 кН; =
Ft2·cosφ2+
Fr2·sinφ2
= 4,47 кН;=Ft2·=6·=0,57 кНм; =Fx2··sinφ2
= 0,12 кНм;
Mz2=Fx2··cosφ2 = 0,07
кНм.
3.
Построение эпюр внутренних силовых факторов
.1 Эпюра
растяжение-сжатие
Зубчатые колеса посажены на вал с
гарантированным натягом и закрепляются гайкой от осевого смещения под действием
осевой силы Fx.
Растягивающие усилия на валу
принимаем равными Fx'= 5Fx.
Нормальная сила на участках вала
будет:
=F'x2=6,6 кН (рассматриваем
равновесие левой отсеченной части вала);=F'x2+X2=6,6+1,32=7,92 кН;=F'x2+X2-
F'x2=6,6+1,32-6,6=1,32 кН;=F'x1 =7,5 кН (рассматриваем равновесие правой
отсеченной части вала);=F'x1+X1 = 7,5+1,5 =9,0 кН;=F'x1+X1- F'x1 = 7,5+1,5-7,5
=1,5 кН.
По полученным значением строим эпюру
N.
Рис.3. Эпюра N (кН).
3.2 Эпюра крутящих
моментов (МК)
Крутящий момент на валу постоянен и равен МК=MX1=MX2=0,57
кНм.
Рис.4. Эпюра МК (кНм).
3.3 Прямой изгиб в
плоскости xy
Рис.5. Эпюра Qy,
Mz.
Для построения эпюр Qy и Mz определяем сначала
реакции опор Аy и By.
отсюда
кН,
Отсюда
колесо зубчатый вал сила
Строим эпюры Qy и Mz.
3.4 Прямой
изгиб в плоскости xz
Для построения эпюр Qz и My
определяем сначала реакции опор Аy и By.
отсюда
Рис.6. Эпюра Qz,
My.
Отсюда
Проверяем:
Строим эпюры Qy и Mz.
4.
Определение в сечениях (1-1) … (6-6) продольной силы, результирующих изгибающих
моментов и учет основных факторов, влияющих на предел выносливости материала
при переменном изгибе
Крутящий момент на валу постоянный
Мк=0,57 кНм.
Сечение 1-1.=7,92 кН; Mz=-0,07
кНм; My=0,097 кНм;
кНм.
В сечении действуют концентраторы в
виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на вал. Кроме этого
необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала - углеродистая сталь,
поверхность вала - гладкая полировка.
Эффективные коэффициенты
концентрации составляют:
для концентратора в виде шпоночного
паза kσ= 1,86 [1,
рис.13], масштабный коэффициент εσ=0,9 [1,
рис.9], kσ/εσ=2,07;
для концентратора в виде посадки с
натягом kσ/εσ=3,0 [1,
табл.1].
Выбираем для дальнейших расчетов их
двух отношений большее kσ/εσ=3,0.
Сечение 2-2.=7,92 кН; Mz=
-0,02 кНм; My=0,153 кНм;
кНм.
В сечении действует концентратор в
виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ= 1,8 [1,
рис.10],
ζ= 0,8
[1, рис.12]. Тогда kσ=
1+0,8(1,8-1)=1,64.
Масштабный коэффициент εσ=0,87 [1,
рис.9],
эффективный коэффициент концентрации
kσ/εσ= 1,64/0,87
=1,88;
Сечение 3-3.=1,5 кН; Mz=
0,09 кНм; My=0,44 кНм;
кНм.
В сечении действует концентратор в
виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ= 1,8 [1,
рис.10], ζ=
0,85
[1, рис.12]. Тогда kσ=
1+0,85(1,8-1)=1,68.
Масштабный коэффициент εσ=0,82 [1,
рис.9],
эффективный коэффициент концентрации
kσ/εσ= 1,68/0,82
=2,05;
Сечение 4-4.=9,0 кН; Mz=-0,17
кНм; My=0,609 кНм;
кНм.
В сечении действует концентратор в
виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ= 2,3 [1,
рис.10], ζ=
0,8
[1, рис.12]. Тогда kσ=
1+0,8(2,3-1)=2,04.
Масштабный коэффициент εσ=0,82 [1,
рис.9],
эффективный коэффициент концентрации
kσ/εσ= 2,04/0,82
=2,49;
Сечение 5-5.
N=9,0 кН; Mz=-0,20 кНм; My=0,627
кНм;
кНм.
В сечении действуют концентраторы в
виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на вал. Кроме этого
необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала - углеродистая сталь,
поверхность вала - гладкая полировка.
Эффективные коэффициенты
концентрации составляют:
для концентратора в виде шпоночного
паза kσ= 1,86 [1,
рис.13], масштабный коэффициент εσ=0,9 [1,
рис.9], kσ/εσ=2,07;
для концентратора в виде посадки с
натягом kσ/εσ=3,26 [1, табл.1].
Выбираем для дальнейших расчетов их
двух отношений большее kσ/εσ=3,26.
Сечение 6-6.=7,5; Mz=
-0,04 кНм; My=0,237 кНм;
кНм.
В сечении действует концентратор в
виде галтели, kσ=
1+ζ(k0σ-1),
где k0σ= 2,3 [1,
рис.10], ζ=
0,62
[1, рис.12]. Тогда kσ=
1+0,62(2,3-1)=1,81.
Масштабный коэффициент εσ=0,87 [1,
рис.9],
эффективный коэффициент концентрации
kσ/εσ= 1,81/0,87
=2,08;
Полученные значения внутренних
силовых факторов и коэффициентов kσ и εσ сведем в
таблицу 1.
Значения внутренних силовых факторов
и коэффициентов kσ
и
εσ
Таблица 1
№
сечения
|
N , кН
|
М,
кНм
|
Мк,
кНм
|
Тип
концентратора
|
Эффективный
коэффициент концентрации kσ
|
Масштабный
коэффициент εσ
|
kσ/εσ
|
1
|
7,92
|
0,12
|
0,57
|
1,86
|
0,9
|
2,07
|
|
7,92
|
0,12
|
0,57
|
посадка
с натягом
|
|
3,0
|
2
|
7,92
|
0,154
|
0,57
|
галтель
|
1,64
|
0,87
|
1,88
|
3
|
1,5
|
0,45
|
0,57
|
галтель
|
1,68
|
0,82
|
2,05
|
4
|
9,0
|
0,63
|
0,57
|
галтель
|
2,04
|
0,82
|
2,49
|
5
|
9,0
|
0,66
|
0,57
|
шпоночный
паз
|
1,86
|
0,9
|
2,07
|
|
9,0
|
0,66
|
0,57
|
посадка
с натягом
|
|
3,26
|
6
|
7,5
|
0,24
|
0,57
|
галтель
|
1,81
|
0,87
|
2,08
|
5. Определение запаса
усталостной прочности вала
Проверочный расчет валов состоит в определении
коэффициентов запаса прочности n
по формуле Гафа и Полларда.
,
где и - коэффициенты запаса прочности по
нормальным и касательным напряжениям.
Коэффициенты запаса прочности по
нормальным напряжениям (определяем по формуле:
;
где σ-1=2,6·108
Па - предел выносливости для симметричного цикла;
σв=5,6·108 Па - временное
сопротивление материала на растяжение;
εn -
коэффициент, учитывающий состояние поверхности (для полированного вала εn=1);
σа=M/W=32M/πd3 -
амплитуда цикла;
σm=N/F=4N/πd2 - среднее
напряжение цикла;
Коэффициент запаса прочности по касательным
напряжениям определяем по пределу текучести как:
=τT/τm*,
где τm*
= Мк/Wp= 16Мк/πd3
;
τT
= 200
МПа
- предел текучести.
При определении касательных напряжений учитываем
возникновение местных напряжений в сечениях 1-1...6-6. Вследствие этого
значения τm,
увеличиваем на величину коэффициента kt,
значения которого для сечений, в которых концентраторы - шпоночные канавки -
берем из табл. 5.1 [1]; для сечений, концентраторы в которых - галтели -
выбираем по рис.14 [1] для заданных отношений r/d.
τm=
τm* · kt, nT=τT/τm.
Значения коэффициентов запаса nσ, nτ и n для
заданных сечений
Таблица 2
Из приведенных в таблице значений
видно, что наиболее опасным сечением является сечение 5, где коэффициент запаса
усталостной прочности наименьший и равняется n=1,37.
6. Проверка
жесткости вала
Условие жесткости вала:
,
где - допускаемый угол закручивания,
- относительный угол закручивания.
Принимаем =2°/м.
Полный угол закручивания:
,
где Jp= πd4 /32 -
полярный момент инерции поперечного сечения;
li - длина
i-го участка вала.
Значения Jp,
li
Таблица 3
Таким образом,
5,48·10-3 рад,
или
φ = 5,48·10-3·180/π
=0,31°.
Полная длина вала L=47,25 см,
поэтому относительный угол закручивания на метр длины вала Θ=0,31·100/47,25=0,665° ≤
[Θ].
Условие жесткости обеспечено.
7. Расчет крутильных
колебаний
Коэффициент податливости рассчитаем как
,
9,6·10-6.
Круговая частота колебаний
рад/с.
частота колебаний
Гц.
Максимальное значение угла взаимного
поворота колес при крутильных колебаниях:
рад.
С учетом колебаний угол закручивания
вала равен:
рад.
Касательные напряжения с учетом
крутильных колебаний:
.
В наиболее нагруженном сечении вала
5-5 τm max=53,44
МПа
МПа.
Определяем коэффициент запаса
прочности по касательным напряжениям с учетом крутильных колебаний вала:
.
Ранее коэффициент запаса прочности
по касательным напряжениям составлял . Таким образом, учет крутильных
колебаний приведет к снижению коэффициента запаса прочности на
%.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Методические
указания к курсовой работе.
2. А.Г.
Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин. Сопротивление материалов. М., Изд.
ФИЗМАЛИТ, 2002 г.
. А.В.
Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов. М., В.Ш.,
2003 г.