Математическая статистика
Задание 1.
Объединение множеств. Привести примеры
Решение:
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий
математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его
нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и
приводя примеры множеств: множество - набор, совокупность, собрание каких-либо
объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим
свойством.
Объединением АВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех
элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
Символическая запись этого определения: А В={х | хА или хВ}.
Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не
исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае
элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один
раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит
в него несколько раз).
Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы
Эйлера-Венна:
На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.
Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а
множество В - характеристическим свойством Q(х), то А В состоит из всех
элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.
Примеры объединений двух множеств:
) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А В ={2; 3; 5; 6; 7}.
) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А В=[-2/3; 2] .
) Пусть А= {х | х=8k, k Z}, B={x | x=8n-4, n Z}.
Тогда A
B ={x | 4m, mZ}.
Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя
множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай
любого количества множеств и даже - на систему множеств. Система множеств
определяется так: если каждому элементу б множества М отвечает множество Аб, то
совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.
Объединением системы множеств {Аб} называется множество, состоящее из
всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аб. При этом общие
элементы нескольких множеств не различаются.
Таким образом, элемент х тогда и только тогда, когда найдется такой
индекс б 0 М, что х A б0 .
В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется
запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .
Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого б є М определим
множество Аб =[0;б]; тогда = [0;2).
Из определения операции объединения непосредственно следует, что она
коммутативна, т.е. А1 A2 = A2 А1, и ассоциативна, т.е. (А1 A2) А3 = А1 (A2 А3).
C помощью
диаграмм показать справедливость утверждения:
Доказательство
тождества двух множеств основывается на определении равенства двух множеств: A
= B , если A ⊆ B и B ⊆
A . Берётся любой элемент x , принадлежащий левой части равенства, и
показывается,что он входит в правую часть, а затем наоборот.
Эти
свойства вытекают из определения. Действительно, пусть x, тогда х и х,следовательно
, x
Графическое решение справедливости утверждения
Задание 2.
Перестановки. Число перестановок. Привести примеры
Решение:
Перестановки - различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь
порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).
Перестановки без повторений - различные упорядочивания данного
n-множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.
Обозначается как Pn (от фр. "permutation" - перестановка) Число
перестановок из n элементов по k вычисляется следующим образом:
=n!
Доказательство:
Будем последовательно выбирать элементы данного множества и размещать их
в определенном порядке на n местах. На первое место можно поместить любой из n
элементов, на второе любой из оставшихся, т.е. (n-1) элементов и т.д. По
правилу произведения получим: .
Пример: Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей
так, чтобы они не могли бить друг друга?
Ясно, что при таком расположении на каждой горизонтали и каждой вертикали
стоит по одной ладье. Возьмем одно из этих расположений и обозначим через номер занятого поля на первой
горизонтали, через - на второй горизонтали, ..., через - на восьмой горизонтали. Тогда будет некоторой перестановкой из
чисел 1, 2, ...,8 (ясно, что среди чисел нет ни одной пары одинаковых, так
как иначе две ладьи попали бы на одну и ту же вертикаль).
Обратно, если - некоторая перестановка чисел 1, 2, ...,8, то ей
соответствует некоторое расположение ладей , при котором они не могут бить друг
друга. Например, на рисунке изображено расположение ладей, соответствующих
перестановке 7 5 4 6 1 3 2 8.Таким образом, число искомых расположений ладей
равно числу перестановок чисел 1, 2, ...,8, т.е. Р(8).Но. Значит ладьи можно расположить
требуемым образом 40320 способами.
Сколько можно составить всевозможных перестановок из n элементов, в
которых данные два элемента стоят рядом?
Определим число перестановок, в которых данные элементы (для
определенности a и b) стоят рядом: a на первом месте, b на втором; a на втором
месте, b на третьем; …; a на (n-1)-м месте, b на n-м - таких случаев n-1.
Однако можно впереди ставить b, а затем a - таких случаев также n-1, т.е.
существует 2•(n-1) случаев, когда a и b стоят рядом. Каждому из этих случаев
соответствует (n-2)! перестановок. Используя правило произведения, искомое
решение можно записать в виде
.
Перестановка с повторениями ранее переставлялись предметы, которые были
попарно различны. Если же некоторые переставляемые предметы одинаковы, то
получается меньше перестановок - некоторые перестановки совпадают друг с
другом. В этом случае речь идет о перестановках с повторениями.
Перестановкой с повторениями состава из букв называют любой кортеж длины в который буква входит раз,..., буква -раз.
Пример:
Имеются предметы k различных типов. Сколько перестановок можно сделать из
n1 элементов первого типа, ..., nk элементов k-го типа?
Число элементов в каждой перестановке равно .Поэтому если бы все элементы были
различны, то число перестановок равнялось бы n!.Но из-за того, что некоторые
элементы совпадают, получается меньшее число перестановок. Действительно,
возьмем, например, перестановку в которой сначала вписаны все элементы первого
типа, потом все элементы второго типа,..., наконец, все элементы k-го типа.
Элементы первого типа можно переставлять друг с другом способами. Но так как все эти
элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же не
меняют перестановок элементов второго типа,
..., перестановок элементов k-го типа.
Перестановки элементов первого типа, второго типа, и т.д. можно делать
независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы
перестановки можно переставлять друг с другом способами так, что она остается
неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов.
Поэтому множество всех n! перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая.
Значит число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных
элементов, равно
где .
множество вероятность математический ожидание
Итак, число перестановок с повторениями можно подсчитать по следующей
формуле:
Задание 3
В коробке имеется 14 лампочек, из которых шесть по 100Вт, остальные по
60Вт. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу извлеченных лампочек будет
хотя бы одна на 60Вт.
Используем обозначения: X - группа лампочек, для которых вероятность
равна шести по 100Вт: Y - группа лампочек, для которых вероятность равна 60Вт.
Выдвинем три гипотезы: Н1 - оба взятые лампочки из группы Х, Р(Н1) =
14/15*9/14; Н2 - взятые лампочки из разных групп, Р(Н2) = 2*14/15*5/14; Н3 -
оба взятые лампочки из группы Y, Р(Н3) = 5/15*4/14. Пусть событие А - взятые
наудачу пять лампочек, из которых одна будет 60Вт. По формуле полной
вероятности получим
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 14/15*9/14*0.9^2 +
2*14/15*5/14*0.9*0.95 + 5/15*4/14*0.95^2 = 0,8402 .
Задание 4
В первой урне 4 белых шара и 7 черных шаров, во второй -6 белых и 3
черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают , не глядя, один шар а
затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность , что он белый.
Найдём вероятность противоположного события - все шары одного цвета.
Вероятность суммы этих событий равна 2/10*1/9*3/8*2/7*5/6*4/5 +
2/10*1/9*5/8*4/7*3/6*2/5 + 3/10* 2/9*5/8*4/7*3/6*2/5 = 1/126 Поэтому ответ: 1
- 1/126 = 125/126
Задание 5
Стрелок стреляет по мишени 10 раз. Его вероятность попадания в десятку
0,7. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий в десятку.
Решение:
Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих
событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.
Также можно записать:
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения
условной вероятности.
Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей
принимает вид:
В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна
произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии,
что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все
остальные события уже совершились.
Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности
появления хотя бы одного события.
Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в
совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна
Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi - вероятность противоположных событий .
Обозначим попадание в цель стрелком - событие А
Тогда:
Тогда вероятность, что стрелок попадет в мишень
Задание 6
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
X
|
2
|
-4
|
6
|
-8
|
P
|
0.11
|
0.52
|
0.13
|
0.04
|
Решение:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму
произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х может принимать только значения х1, х2,
х3,...,хn вероятности которых соответственно равны p1, p2, p3,...,pn. Тогда
математическое ожидание М(х) случайной величины Х определяется равенством:
(x)=х1p1+х2p2+...+хnpn
Найдем математическое ожидание :
(x)=2х0.11+(-4)х0.52+6х0.13+(-8)х0,04=-1,04
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.
(x)=M[X-M(x)]2(x)= 0.608х0.11+1,16х0.52+0,048Х0,13+1,74х0,04=1,365
Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный
корень из дисперсии:
σ(X)=√D(X)
σ(X)=√D(X)=
Задание 7
Заданы математическое ожидание m и среднее квадратичное отклонение σ нормально распределенной случайной
величины х.
Найти
вероятность того, что х примет значение ,принадлежащие интервалу (),вероятность
того что абсолютная величина отклонения [х- m] окажется
меньше
Решение:
По
условию задачи
,,, m=14
P(18;
По
таблице находим Ф=0,4772. Отсюда искомая вероятность:
P(18=2х0,4772=0,9544
Воспользуемся формулой
По условию
σ=4, m=14,
P()
Задание 8
Найти
выборочное уровнение прямой -=(х-)
регрессии на х по
данной корреляционной таблице.
Решение:
=;;
Выборочное
уравнение регрессии на х
Коэффициент корреляции не равен нулю, значит присутствует зависимость
величин Х и У; а т.к. r
близок к единице, то можно предположить наличие линейной зависимости.
Предположение подтверждается расположением данных точек и полученных прямых
регрессии: угол между прямыми регрессии мал и точки расположены близко к прямым
регрессии.