Численное интегрирование и дифференцирование функций
Министерство
образования Республики Беларусь
Белорусский
национальный технический университет
Механико-технологический
факультет
Курсовая
работа
по
дисциплине
Информационные
технологии и программирование
Тема:
Численное
интегрирование и дифференцирование функций
Минск 2010
СОДЕРЖАНИЕ
1.
Постановка задачи
.
Исходные данные
.
Описание методики расчёта
Алгоритм
решения задачи
Программа
и её описание
.
Результаты расчётов и графики функций
Список
использованных источников
Приложение
1. ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
Разработать алгоритм и программу, обеспечивающую
вычисление:
. Максимального (Y’’’max)
значения функции на заданном отрезке.
2. Максимального (Y’max)
и минимального (Y’min)
значений первой производной f
‘(x) заданной функции
в интервале x принадлежит (-1;1)
и соответствующих им значений аргумента (dXmax)
и (dXmin);
2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
.1 Многочлены: (x7+2x6-5x5-3x2+27)
и (x5-4x4+x3-2x+3);
.2 Область значений аргумента: x
[-3,3]:
.3 Шаг изменения аргумента: x=0,5;
3. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЁТА
Основной задачей дифференциального исчисления
является нахождение производной f’(x)
или дифференциала df=f’(x)dx
функции f(x).
В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x)
требуется найти такую функцию F(x),
что F’(х)=f(x)
или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Таким образом, основной задачей интегрального
исчисления является восстановление функции F(x)
по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление
имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно
дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.
Функция F(x), , называется
первообразной для функции f(x) на
множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Совокупность F(x)+C всех
первообразных функции f(x) на
множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
В формуле (1) f(x)dx
называется подынтегральным выражением, f(x)
- подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, а С - постоянной
интегрирования.
Если существует конечный передел интегральной
суммы
при λ→0, не
зависящий от способа разбиения τn отрезка [a; b] на
частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξk, то этот
предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке
[a; b] и
обозначают:
Если указанный предел существует, то функция f(x)
называется интегрируемой на отрезке [a;
b] (или
интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx
называется подынтегральным выражением, f(x)
- подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, a
и b - соответственно
нижним и верхним пределами интегрирования.
Определенный интеграл есть число, равное
пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр
разбиения λ стремится к нулю.
программа функция производный график
4. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Алгоритм подпрограммы Vivod
Алгоритм подпрограммы Summa
Алгоритм подпрограммы Proizv
Алгоритм основной программы
- вывод текста;
- выполнение процедуры summa;
- выполнение процедуры vivod;
- выполнение процедуры proizv;
- вывод текста;
- выполнение процедуры vivod;
- выполнение процедуры poiskl;
- выполнение процедуры readln.
Алгоритм подпрограммы Vivod
- оператор повторения for;
- оператор условия if;
- вывод текста;
Алгоритм подпрограммы Summa
- очистка экрана;
- вывод условия на экран;
- расчет коэффициэнтов многочлена;
Алгоритм подпрограммы Proizv
- максимальная степень многочлена;
- оператор повторения для вычисления производной
н-ной степени;
- пара операторов for для попеременной замены
элементов ;
- замена старых коэффициэнтов новыми;
Алгоритм подпрограммы Poisk
- ввод начала исследуемого отрезка на оси x;
- оператор повторения while;
- расчет значения функции при определенном
оператором x;
программа функция производный график
5. ПРОГРАММА И ЕЁ ОПИСАНИЕ
5.1 Текст программы, написанный на языке
программирования Turbo
Pascal
uses
crt,graph;
var,i,j:integer;,b,c:array [0..99]
of integer;,xmax,f,fmax:real;vivod;i:=7 downto 0 do begin(c[i]>0) and
(i<7) and (c[i+1]<>0) then write('+');(i>0) and (c[i]<>1) and
(c[i]<>0) then write(c[i],'x^',i);(i>0) and (c[i]=1) and
(c[i]<>0) then write('x^',i);i=0 then write(c[i]);;summa;;;(' summa
mnogo4lenov (x^7+2x^6-5x^5-3x^2+27) i
(x^5-4x^4+x^3-2x+3) ravna'
);;[7]:=1; a[6]:=2; a[5]:=-5; a[4]:=0;[3]:=0; a[2]:=-3; a[1]:=0;
a[0]:=27;[7]:=0; b[6]:=0; b[5]:=1; b[4]:=-4;[3]:=1; b[2]:=0; b[1]:=-2;
b[0]:=3;i:=7 downto 0 do begin[i]:=a[i]+b[i];;;proizv;:=7;j:=1 to 3 do
begini:=n downto 0 do[i]:=(i)*c[i];i:=0 to n do[i]:=c[i+1];;;poisk;:=-3;:=1;;x<=3
do:=210*x*x*x*x+240*x*x*x-240*x*x-96*x+6;(' pri x=',x:3:1,'
f''''''=',f:3:2);f>fmax then begin fmax:=f; xmax:=x end;:=x+0.5;;;('
maksimalnoe zna4enie f'''''' =',fmax:3:2,' pri x=',xmax:3:2 );;;('
');;;writeln;;(' f'''''' imeet vid'); writeln;(' f''''''(x)=');;;;;.
5.2 Описание программы
Написанная программа демонстрирует пример
нахождения производной функции и максимальной точки в определенных условием
местах разбиения.
В самом начале программы подключается
стандартный модуль: Сrt.
Затем описываются следующие глобальные
переменные:,i,j:integer; - целые переменные для использования в качестве
счетчиков;,b,c:array [0..99] of integer; - элементы массива целых чисел для
подсчета коэффициэнтов многочлена; целый:real; - значение x; вещественный;max,fmax;
- максимальное значение функции при значении x;
вещественный;
f:real;
- значение производной, используемое в расчетах. вещественный;
Следующим в программе идёт описание процедур:
Процедура vivod.
Используется для вывода на экран текущей расчетной функции. Далее с помощью
оператора if проверяется каждое значение коэффициента для грамотного вывода
фукнкции на экран.
Процедура Summa суммирует коэффициенты
нескольких многочленов
Процедура Proizv. В ней находится производная
нужного нам порядка
Процедура Poisk
путем перебора заданных нам значений x находится максимальное значение
производной 3-й степени на заданном участке и полученная информация выводится
на экран.
В головной программе последовательно вызываются
процедуры Summa, vivod,
proizv, vivod
и poisk,между которыми
используются процедуры вывода на экран для удобочитаемости результатов.
6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЁТОВ И ГРАФИКИ
ФУНКЦИЙ
Результатом выполнения данной программы будет
выведенная на экран информация о значениях производной на всех точках разбиения
и результат работы программы, как то максимальное значение производной, и при
каком x это значение обнаруживается.
Наглядно функция и ее производная 3-й степени
показана при помощи таблиц excel
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Чичко
А.Н., Е.А. Дроздов. Учебно-методическое пособие по курсу информатика. - Минск,
2000 - 273с.
2. Курант
Р.Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - Москва. Изд. Наука,1970.
- стр. 673.
. Кузнецов
Л.А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчёты. - Москва. Высшая
школа 1983. - стр. 176.
. Рафальский
И.В., Юркевич Н.П., Мазуренок А.В. Учебно-методическое пособие по курсу
«Информатика». - Минск. БГПА, 2000.