Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы
Факторизация в численных методах
интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы
Н.М. Кащенко
1. Численный
метод интегрирования вырожденных эллиптических уравнений
В
предположении обычных при моделировании ионосферы приближениях малости
инерционных сил для заряженной составляющей плазмы и квазипотенциальности
силовых линий магнитного поля Земли уравнения переноса заряженных частиц имеют
вид [3]:
(1)
В
этих уравнениях ni - концентрация частиц, qi - источники и потери, - матрица
коэффициентов диффузии, имеющая только продольные компоненты, - скорость
переноса частиц. Аналогичный вид имеют уравнения теплопроводности.
Часто
удобно решать уравнения таких моделей конечно-разностным методом на
прямоугольных сетках в сферической системе координат. При этом возникает
проблема решения вырожденных эллиптических уравнений со смешанными
производными. Разностная аппроксимация таких уравнений приводит к разностным
схемам, для которых не выполнено условие монотонности даже при аппроксимации в
терминах потоков. Запись этих уравнений в дипольной системе координат после
аппроксимации по переменной t приводит к уравнениям вида:
(-Au¢ + Bu)¢ + Cu = D, A > 0, C 0, D 0. (2)
Здесь
дифференцирование проводится по продольной координате, которую обозначим b.
Для
решения таких уравнений предлагается в (2) факторизовать дифференциальный оператор
(дифференциальная прогонка), затем факторизованную запись преобразовать в
сферическую систему координат и решать факторизованные уравнения в этой системе
по схеме бегущего счета. После факторизации уравнения (2) получаем систему
(3)
Здесь
e и z являются вспомогательными функциями. Первое и второе уравнения
интегрируются в направлении возрастания b,
а третье интегрируется в направлении убывания b. Систему (3) можно решать на прямоугольной
сетке исходной системы координат, используя соответствующие разностные
аппроксимации и схемы бегущего счета.
Пусть
(x, y) - исходная система координат, а (a,
b) - новая
система и пусть для формул перехода справедливо соотношение:
Тогда
поэтому и аппроксимируются
разностями назад при n > 0 и разностями вперед при n < 0, а -
разностями в обратном порядке. Аналогичные аппроксимации применяются и для
производных по переменной y. Тогда суммарная погрешность аппроксимации имеет
вид Dz + (ADu)¢ - uDe - eDu, где Dz, Du, De - погрешности аппроксимаций
в уравнениях для z, u и e соответственно.
В
зависимости от аппроксимации недифференциальных членов системы (3) получается
семейство разностных схем с разными величинами суммарной погрешности
аппроксимации. Параметры семейства следует подбирать для получения нужного
свойства разностной схемы, например, для получения аппроксимации второго
порядка. В ионосферных моделях для дополнительного уменьшения погрешностей
аппроксимации область интегрирования делится пополам и применяется встречная
дифференциальная прогонка с условиями гладкости решения на границе деления [3].
Описанная схема реализована на языке программирования Fortran в рамках
численной модели ионосферы.
2.
Некоторые варианты скалярной прогонки
Решение
трехточечных разностных уравнений методом прогонки основано на неявной
факторизации соответствующего разностного оператора. В [2] рассмотрены
некоторые варианты решения трехточечных разностных уравнений, но, как указано в
[1], анализ вычислительной устойчивости проведен не полностью. В работе [1]
показано, что классическая запись прогонки даже при диагональном преобладании
имеет погрешность порядка O(n3), и там же приведены примеры, показывающие, что
при количестве узлов порядка 300 и использовании обычной точности могут
получаться большие погрешности (десятки процентов и более). Там же указаны
способы уменьшения этих погрешностей, в частности, с помощью преобразования
прогонки к безразностному виду.
Рассмотрим
некоторые варианты прогонок без разностей. В этом случае, как указано в [1],
погрешности округлений накапливаются со скоростью не более чем O(n2), а при
некоторых условиях на коэффициенты - O(n). Приведем несколько вариантов
безразностных прогонок.
1.
B = 0. Этот
случай рассмотрен в [1], а разностная схема для (2) имеет вид:
ai
> 0, bi 0, ci > 0, di 0.
В
этих уравнениях выполнено условие диагонального преобладания.
Прямой
ход прогонки:
При
этом 0 < ei < 1.
Обратный
ход прогонки:
Здесь
Следовательно,
формулы обратного хода можно записать в безразностном виде:
Кроме
уменьшения порядка роста погрешностей этот вариант прогонки доказывает
однозначную разрешимость соответствующих разностных уравнений.
2.
B ¹ 0. В этом
случае разностная схема имеет вид:
ai
> 0, bi 0, ci > 0, di 0.
Прямой
ход прогонки:
При
этом 0 < ei < 1.
Обратный
ход прогонки:
Здесь
Следовательно,
формулы обратного хода можно записать в безразностном виде:
Как
и в предыдущем случае, кроме уменьшения порядка роста погрешностей этот вариант
прогонки доказывает однозначную разрешимость соответствующих разностных
уравнений.
3.
Циклический случай с B = 0.
Разностные уравнения имеют вид:
ai
> 0, bi 0, ci > 0, di 0,
Прямой
ход прогонки:
Вспомогательный
ход прогонки:
Вычисление
Yn:
В
этих формулах величины ri, si, ui соответствуют уравнениям:
Обратный
ход прогонки:
В
этом варианте прогонки также отсутствуют разности, что, как и в предыдущих
случаях, кроме уменьшения порядка роста погрешностей доказывает однозначную
разрешимость соответствующих разностных уравнений.
Список литературы
1. Ильин
В.П. Прямой анализ устойчивости метода прогонки // Актуальные проблемы
вычислительной математики и математического программирования. Новосибирск:
Наука, Сибирское отделение, 1985. С. 189-201
2. Самарский
А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 519 с.
3. Кащенко
Н.М., Захаров В.Е. Численный метод интегрирования системы уравнений переноса
ионосферной плазмы // Доклады международного математического семинара.
Калининград: Издательство КГУ, 2002. С. 287-290
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта
<http://old.albertina.ru/>