Теория нечетких множеств

Теория нечетких множеств

Теория нечетких множеств

Математическая теория нечетких множеств была создана еще в 60 - гг.

Теория нечетких множеств использовалась в то время только для решения утилитарной задачи распознавания образов. Математическая теория нечетких множеств в настоящее время имеет приложения в самых различных областях научной и хозяйственной деятельности - от работ по созданию искусственного интеллекта в электронно-вычислительных машинах пятого поколения до управления сложными технологическими процессами.

В последнее время математическая теория нечетких множеств получила наибольшее распространение и стала использоваться намного чаще, чем раньше.

Сегодня теория нечетких множеств составляет основу математического метода исследования.

В основе данной теории лежат понятия «нечеткое множество» и «функция принадлежности».

Конкретные примеры решения такого рода задач довольно громоздки ввиду объемных вычислений. При решении задач с использованием теории нечетких множеств очень часто используются матрицы больших размеров.

На складах оптовых предприятий, например, могут находиться сотни наименований товаров одного профиля, эти предприятия осуществляют поставки десяткам потребителей - розничных магазинов.

Для получения более или менее адекватной модели используется по двум десяткам признаков, а построение функций принадлежности осуществляется с помощью нескольких экспертов. После всего этого производятся дополнительные «сглаживающие» вычисления.

Вычисления

В приведенных ниже задачах рассмотрен условный случай.

Оптовое предприятие обслуживает всего четыре потребителя и поставляет им не менее десяти наименований товаров. При оценке используются всего четыре признака.

К числу которых можно отнести следующее:

. Вычисление проводится для летнего сезона.

Дано. Х={х1, х2, …, х6} - шесть наименований обувных товаров, имеющихся на складе оптового торгового предприятия или выдвигаемых в качестве коммерческих предложений, а именно:

х1 - войлочные валенки; х2 - вьетнамки (пляжные шлепанцы); х3 - резиновые сапоги; х4 - туфли из натуральной кожи; х5 - кроссовки; х6 - парусиновые туфли.= {y1, y2, ..., y4} - множество признаков товаров, а именно: y1 - сезонность; y2 - цена; y3 - качество; y4 - внешний вид.= {z1, z2, …, z6} - множество розничных торговых предприятий, а именно:- ларек; z2 - универмаг; z3 - магазин для богатых (салон), z4 - магазин для бедных (сельмаг).

Функции принадлежности нечетких бинарных отношений  Σ RÓ X × Y → [0,1] и Ψ Ó X × Y → [0,1] представляются в виде матриц R и S следующим образом: y2 … yр

Х1 ξR(x1,y1) ξR(x1,y2) … ξR(x1,yр) = X2 ξR(x2,y1) ξR(x 2,y2) … ξR(x2,yр)

… … ... … …

Хn ξR(xn,y1) ξR(x n,y2) … ξR(xn,yр)Z2 … ZPΨs(y1,z1) Ψs(y1,z2) … Ψs(y1,z m)= Y2 Ψs (y1,z1) Ψs(y2,z2) … Ψs(y2,z m)

Определить перспективный рост предприятия оптовой торговли, т.е. набор хj для удовлетворения предполагаемых запросов из Z.

Из матриц R и S получаем матрицу Т, элементы которой определяются последующей формуле:

z1 z2 … zm(x1z1)  (x1z2) … (x1zm)

Т = x2 (x2z1) (x2z2) … (x2zm)

… … … … …(xnz1) (xnz1) (xnzm)

Далее строится матрица W.

1 (х1,z1) ^ 2 (х1,z 2) … m-1 (х1,z m-1) ^ m (х1,z m)= ………. … ……….

1 (хn,z1) ^ 2 (хn,z 2) … m-1 (хn,z m-1) ^ m (хn,z m);

где означает операцию попарного минимума.

Порог разделения ассортимента l ограничивается условием: k min i, j max х min (1 (x, zi), j (x, zj)). Для определения порога определяют максимальные значения  в каждом из столбцов матрицы W. Потом находят в матрице наибольшее значение.

После того как порог l выбран, z определяется уровневым множеством:

Мi = {х (1 (x) ≥ min i, j max х min (1 (x, zi), j (x, zj))}, характерно для всех х Є Мi.

Значит, М1 = {х2, х3, х4, х6}; М2 = {х1,х2, х3, х4,х5, х6}; М3 = {х2, х4,х5}; М4 = {х1,х2, х3,х6}.

Как видно было из условия задачи, для потребителя z1 (ларек) наиболее важными характеристиками товаров являются сезонность и внешний вид. Поэтому во множество М1 попали товары ходовые, легкореализуемые летом и к тому же способные украсить витрину (вьетнамки, кожаные и парусиновые туфли, кроссовки). Универмаг z2, ориентирующийся на самый широкий спектр покупателей и к тому же не стесненный в складских помещениях, готов принять любые товары из изменившихся на складе оптового предприятия. Для салона z3 и сельмага z4 - аналогично.

. Вычисление проводится для осеннего сезона.

Таким образом, в силу своей инерционности, крупные магазины продолжают реализовывать тот же ассортимент, что и летом, в то время как ларек отказался от парусинных туфель ввиду смены сезона. Заметим, что ларек продолжает торговать вьетнамками, имеющими ту же характеристику сезонности, что и парусиновые туфли, но лучший показатель внешнего вида. При этом ларек начинает торговлю товарами осеннего и даже зимнего сезона.

На оптовом рынке появляется новый товар - зимние сапоги на меху, все остальные условия предыдущего примера сохраняются, вычисления проводятся для осеннего сезона.

Новым товаром готовы торговать все магазины, кроме сельмага, ввиду важности для последнего фактора цены.

. Производитель парусинных туфель прекратил их изготовление. Одновременно на оптовом рынке появляется еще один товар - зимние ботинки из кожзаменителя, взамен выбывшего товара. Все остальные условия примера сохраняются, вычисления уже проводятся для зимнего сезона. Новый товар не устраивает только потребителей салона ввиду невысоких показателей качества и внешнего вида.

. Вычисления проводятся для зимнего сезона.

Список использованных источников

нечеткий множество бинарный математический

1.  «Анализ хозяйственной деятельности» - Савицкая, Минск, 2000 год.

2.       «Экономический анализ» - под редакцией М.И. Баканова и А.Д. Шеремета, Москва, финансы и статистика, 2002 год.

.        «Анализ хозяйственной деятельности» - Савицкая, Минск, 2001 год.