Применение производной при решении некоторых задач
КУРСОВАЯ
РАБОТА
Применение
производной при решении некоторых задач
Содержание
Реферат
Введение
.
Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления
.
Задачи на применение основных теорем дифференциального исчисления
.1
Задачи на применение теоремы Ролля
.2
Задачи на применение теоремы Лагранжа
.3
Задачи на применение теоремы Ролля
.4
Задачи на применение теоремы Ролля
Список
литературы
Реферат
Список ключевых слов: производная, функция,
уравнение, неравенство.
В данной работе рассмотрены решения уравнений и
неравенств с помощью производной. Для решения задач применяются основные
теоремы дифференциального исчисления.
Объём работы - 17 страниц, использовано три
источника.
Введение
Исторически понятие производной возникло из
практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной
линии, а та же тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины
явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие
производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его
прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно
расширило возможности применения математических методов в естествознании и
технике. В дифференциальном исчислении устанавливаются связи между свойствами
функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами
дифференциального исчисления. К их числу относятся теорема Ролля, формула
Лагранжа, признаки постоянства и монотонности функции.
1. Основные
теоремы и понятия дифференциального исчисления
Определение.
Производная 
функции
в
данной точке x определяется
равенством
Если этот предел конечный, то функция 
называется
дифференцируемой в точке х; при этом она обязательно непрерывна в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен ∞ или -∞ , то при условии, что
функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция имеет
в точке хo бесконечную производную.
Теорема Ферма. Пусть функция 
определена
на некотором промежутке и во внутренней точке 
этого
промежутка имеет наибольшее или наименьшее значение. Если в точке существует
производная 
, то 
.
Теорема Ролля. Если функция 
непрерывна
на отрезке [a,b],
имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка и 
,
то существует такая точка 
, что 
.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
и имеет конечную производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
существует такая точка , что
.
Признак постоянства функции. Если функция непрерывна
на отрезке [a,b],
дифференцируема в интервале 
и производная в
интервале , то 
на
отрезке [a,b].
Признаки монотонности функции. Пусть на отрезке
[a,b]
определена непрерывная функция f(x),
имеющая внутри отрезка производную. Тогда:
) Для того чтобы была
неубывающей (невозрастающей) на [a,b],
необходимо и достаточно, чтобы 
из 
Для
того чтобы была возрастающей
(убывающей) на [a,b],
достаточно выполнения условия 
всех 
.
дифференциальный производный
уравнение неравенство
2. Задачи на применение основных
теорем дифференциального исчисления
.1 Задачи
на применение теоремы Ролля.
Пример 1.
Доказать теорему: если уравнение
(1)
имеет положительный корень 
,
то уравнение
(2)
также имеет положительный корень и притом
меньший 
.
► Рассмотрим функцию
Проверим для этой функции условия теоремы Ролля
на отрезке 
1) 
как многочлен;
2) 
.
так как -
корень 
Условия теоремы Ролля выполняются, отсюда
следует
.
Найдём
.
Используя условие (3) получили, что
,
что значит что 
-
корень уравнения (2). Так как 
, то следовательно 
.
Получаем что уравнение (1) имеет положительный
корень ,
который больше чем корень уравнения (2). ◄
Пример 2.
Показать, что уравнение 
не может иметь двух
различных корней в интервале (0,1).
► Доказательство будем проводить методом
от противного.
Рассмотрим функцию
Пусть 
имеет
два различных корня 
в интервале (0,1).
Проверим выполнение условий теоремы Ролля на отрезке [
:
1) 
как многочлен;
2) 
-
корни 
,
то 
Условия Теоремы Ролля выполняются, а это значит,
что существует такая точка
.
Рассмотрим равенство 
,
оно равносильно 
.
Точки 
не
принадлежат отрезку [, следовательно и
интервалу 
!!!
Не выполняется заключение теоремы Ролля, а это
означает, что функция не может иметь двух различных корней в интервале .
◄
2.2
Задачи на применение теоремы Лагранжа
Пример 3. Доказать
неравенство
► Рассмотрим функцию 
и
применим для неё теорему Лагранжа на отрезке 
1) f непрерывна
на отрезке 
2) f
дифференцируема на отрезке 
условия теоремы Лагранжа выполняются, отсюда
следует, что существует такая точка 
,
что:
.
Рассмотрим
:
по свойствам логарифма
.
Производная
, подставим 
:
.
Получаем что
, где .
Так как по условию теоремы Лагранжа 
,
отсюда следует неравенство
Учитывая (1) получаем, что
(2).
Аналогично при 
получаем,
что
(3)
Из неравенств (2) и (3) следует, что
.
◄
Пример 4.
Показать, что
, где 
Пользуясь этим, убедиться в том, что корни
квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25,
отличаются между собой менее чем на 
.
► Рассмотрим функцию
Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на
отрезке 
1) 
непрерывна на отрезке 
;
2)
дифференцируема на отрезке 
Выполняются условия теоремы Лагранжа,
следовательно, существует такая точка 
,
что:
.
Найдём производную: 
.
Подставим с, получим:
Получаем,
что:
Из того, что число 
больше
числа 
на
единицу и , следует, что 
,
где для числа
выполняется
условие
Получаем, что:
Покажем, что корни квадратные из двух
последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой
менее чем на .
Возьмём натуральное число 
и
запишем для него полученное равенство:
Из того что 
,
получим:
Рассмотрим неравенство:
Получаем, что если 
,
то выполняется неравенство:
◄
Пример 5.
Показать, что разность между синусами синусами двух углов не превышает по абсолютной
величине разности между этими углами, взятыми в радиальной мере.
► Рассмотрим функцию
Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на
отрезке 
1)
непрерывна на отрезке 
2)
дифференцируема на отрезке 
Выполняются условия теоремы Лагранжа,
следовательно, существует такая точка 
Найдём производную функции: 
Подставим
Получаем, что:
Так как 
может
принимать значения только от -1 до 1, то получаем, что:
Так как 
,
получаем, что:
◄
Пример 6.
Доказать тождество 
► Рассмотрим функцию
,
она определена на отрезке 
.
Проверим выполнение условий признака постоянства функции:
1)
непрерывна
на отрезке ;
2)
дифференцируема
в интервале 
;
) 
в интервале .
Выполняются условия признака постоянства
функции, следовательно
, то есть 
в
интервале .
Чтобы определить значение постоянной С, положим,
например
.
Получим:
Отсюда получаем, что:
.
Пример 7.
Вывести формулу
.
► Рассмотрим
функцию
Она определена на всей числовой прямой: 
Проверим
выполнение условий признака постоянства функции:
1) 
непрерывна
для 
;
2)
дифференцируема для ;
3) 
при .
Выполняются условия признака постоянства
функции, следовательно, функция
.
Для определения значения постоянной С положим,
например, 
.
Получим:
Отсюда получаем, что:
◄
Пример 8.
Вывести формулу:
► Рассмотрим функцию
Её производная имеет вид:
Найдём область определения 
:
Из того что 
получаем
что производная определена на
объединении интервалов (-∞,-1)
Рассмотрим выполнение признака постоянства
функции на каждом из этих интервалов:
. Для 
:
1) непрерывна
в 
2) дифференцируема
в
3) 
Рассмотрим знаменатель дроби. Преобразуем
подкоренное выражение:
=
.
При подстановке получаем:
Получили что 
в
интервале 
Выполняются условия признака постоянства
функции, следовательно, 
в отрезке ,
то есть:
Для определения значения постоянной С положим,
например, 
.
Получим:
Отсюда получаем что
. Для отрезка :
1) непрерывна
в
3) 
в интервале 
Выполняются условия признака постоянства
функции, следовательно,
в отрезке ,
то есть:
Для определения значения постоянной С положим,
например, .
Получим:
Отсюда получаем, что
3. Для 
:
) непрерывна
в 
2) дифференцируема
в
3) в
интервале 
Выполняются условия признака постоянства
функции, следовательно,
в отрезке ,
то есть:
Для определения значения постоянной С положим,
например, 
.
Получим:
Отсюда получаем, что:
◄
2.4 Задачи
на применение признака монотонности функции
Пример 9.
Доказать справедливость неравенства
► Рассмотрим функцию
Применим к функции 
признак
монотонности функции на интервале 
1) 
непрерывна в
интервале 
2) 
3) 
для
любых 
из
интервала 
.
Из 1), 2), 3) следует что функция 
возрастает
на интервале .
Найдём значение функции 
:
Из того что 
следует,
что возрастает
в интервале от точки 0, то
есть для любого из интервала функция
принимает
положительные значения (
Получили, что 
,
а так как 
и ,
то
Список литературы
1. И.А.
Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции
одной переменной): учебное пособие - М., 1973. - 400с.
2. Г.Н.
Берман. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие - М.,
1969. - 440с.
. Н.А.
Давыдов, П.П. Коровкин, В.Н. Никольский. Сборник задач по математическому
анализу: учебное пособие - М., 1973. - 256с.