Приложения производной
Лицей информационных технологий
Реферат
Производная и ее приложения
Выполнил:
ученик 11А класса
Новиков А.
Проверила:
Шекера Г.В.
г.Хабаровск
2004
Содержание
Введение……………………………………………………………………………………….…3
1. Понятие производной……………………………………………………....………………....4
2.
Геометрический смысл производной…………………….………………….......……..4
3. Физический
смысл производной……………………………………………………….…….5
4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6
5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7
6. Изучение функции с помощью
производной
6.1.Возрастание и убывание функции.
Экстремум функции……………………………..8
6.2.Достаточные условия убывания и
возрастания функции.
Достаточные условия экстремума функции………………..…………………...…….11
6.3 .Правило нахождения экстремума………………………………………………….....12
6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………...…...12
6.5.Общая схема исследования
функции и построение ее графика……………………..15
6.5. Касательная и нормаль к
плоской кривой…………………………..………………..15
7.Экономическое приложение
производной.
7.1.Экономическая
интерпретация производной………………………………...……….16
7.2.
Применение производной в экономической теории...………………………..……..19
7.3.
Использование производной для решения задач по экономической теории….…...21
8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23
9. Применение производной в алгебре
9.1. Применение производной к
доказательству неравенств…………………………....25
9.2. Применение производной в
доказательстве тождеств………………………….…...28
9.3. Применение производной для
упрощения алгебраических
и тригонометрических выражений……………………………………………….……29
9.4.Разложение выражения на
множители с помощью производной…………………...30
9.5. Применение производной в
вопросах существования корней уравнений………....31
Заключение……………………………………………………………………………………...32
Список
литературы……………………………………………………………………………..33
Введение
Понятие функции является одним из основных понятии
математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а,
как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и
исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой
математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения
ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась
интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность,
мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить
имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические
методы, отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в
рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако,
этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле,
понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее
абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический
налет". В современных терминах это определение связано с понятием
множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения
множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу аА поставлен в соответствие определенный
элемент вВ. Уже в этом определении не накладывается
никаких ограничений на закон соответствия (этот закон
может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием).
Главное в этом определении: аА!bB. Под элементами множеств А и В
понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим
достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального
исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их
ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых
стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами
складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего
дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются
с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов:
определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций,
отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального
исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и
10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и
дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало
всю математику, превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические,
экономические, экологические и др.) часто
приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так
и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные.
Такие уравнения, содержащие производные, называются
дифференциальными.
В своей же работе я хочу подробнее остановится на
приложениях производной.
1. Понятие
производной
При решении различных задач геометрии, механики,
физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того
же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую
функцию, которую называют производной функцией (или просто производной)
данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из
следующих трех шагов:
1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x);
2) составляем отношение
3)
считая x постоянным, а D x ¦0, находим, который обозначаем через f ' (x),
как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того
значения x, при котором мы переходим к пределу.
Определение: Производной
y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение
аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е.
конечен.
Таким образом, , или
Заметим, что если при некотором значении x,
например при x=a, отношение при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a)
не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0
Рассмотрим произвольную прямую,
проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую
график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных).
Но ÐALO -
это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0.
При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет
поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет
прямая (a), называемая касательной к
графику функции у = f (х) в точке
А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x0), так
как a-угол наклона касательной к
положительному направлению оси Ох , по определению
производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в
следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому
коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой
момент времени x(t). Известно (из курса физики),
что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ∆t] равна отношению расстояния,
пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = n(t0) - мгновенная скорость в момент
времени t0, ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной).
Итак, n(t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем:
производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции
f (х) в точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости
по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции
скорости от времени.
u(t) = x'(t) - скорость,
a(f) = n'(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения материальной точки по
окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном
движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ'(t) - угловая скорость,
ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного
стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x Î [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С
помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний.
Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω2x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), где
А -
амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ0 - начальная фаза.
4.
Правила дифференцирования
(C)’= 0 С=const
|
|
|
|
(cos x)'=-sin x
|
|
(sin
x)'=cos x
|
|
(tg x)'=
|
(ах)'=аx ln a
|
(ctg x)'=-
|
(ех)'=ex
|
|
Производная
степенно-показательной функции
, где .
.
Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция . При
этом предполагается, что функция не обращается в нуль
в точке . Покажем один из способов нахождения
производной функции , если очень
сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную
затруднительно.
Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная,
то найдем новую функцию и вычислим ее
производную
(1)
Отношение называется
логарифмической производной функции . Из формулы (1) получаем
. Или
Формула (2) дает простой
способ нахождения производной функции .
5. Производные
высших порядков
Ясно, что производнаяфункции y =f (x) есть
также функция от x:
Если функция f ' (x) дифференцируема, то её
производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй
производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка.
Пользуясь обозначением можем написать
Очень удобно пользоваться также обозначением ,
указывающим, что
функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) ,
называется третьей производной функции y=f(x) или производной
функции f(x) третьего порядка и обозначается символами .
Вообще n-я производная или производная n-го
порядка функции y=f(x) обозначается символами
Дифференцируя
производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а,
дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.
Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в
случае произвольной функции.
Например:
1) ; ; ;
...;
; .
Разные функции ведут себя по-разному при
многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных
высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и
дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные
от исходной.
Однако все сформулированные теоремы о
производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.
6.
Изучение функции с помощью производной
6.1.Возрастание
и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей
в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале
соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2)
> f(x1) при x2 > x1.
Рис.1 (а)
|
Рис.1 (б)
|
Из
этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x)
в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1
вытекает нестрогое неравенство f (x2) ³ f (x1), то функция
f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1
] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей
в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом
интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если
f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из
этого определения следует, что у убывающей в интервале
( a, b ) функции f (x) в любой точке
этого интервала приращения Dx и Dy имеют
разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x2 > x1
вытекает нестрогое неравенство f(x2) £ f(x1), то функция f (x) называется
невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции
показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ]
она сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в
интервале ( a, b ) функция f (x) имеет
во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во
всех точках этого интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании
x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1
до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до
x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C,
в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B,
D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками
поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их
абциссы - критическими значениями аргумента x
В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию,
ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината
точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней
близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0,
больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x0
: f (x0) > f (x0+∆x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x),
непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ]
она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ]
- сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C,
в интервале [ x1 , b ) - убывает. Во всех
точках, достаточно близких к x0 (или x1 ),
значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)³f (x).
Значение f (x0)
функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется
максимальным значением функции f (x) или просто максимумом.
Определение 3. Максимумом функции f (x)
называется такое значение f (x0) этой функции, которое не
меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких
к точке x0 , т.е. в точках x,
принадлежащих
некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0)
и f (x2) .
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева
от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно
близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках,
абсциссы которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1)
< f (x1+Dx).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x),
непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ]
она убывает, на интервале [ x0 , x1 ]
- сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C,
в интервале [ x1 , b ) - возрастает. Во
всех точках, достаточно близких к x0 (или x1
), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)£f (x).
Значение f (x0) функции f (x),
при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным
значением функции f (x) или просто минимумом.
Определение 4. Минимумом функции f (x)
называется такое значение f (x0) этой функции, которое не
больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких
к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой
достаточно малой
окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и
f (x3) .
По определению наибольшим значением функции f (x) на
интервале [ a, b ] является такое значение f (x0),
для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется
неравенство f (x0)³f (x), а
наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x0), для которого для всех точек
интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)£f (x).
Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего
или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] ,
так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f
(x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в
некоторой окрестности точки x0 .
Если в точке x0 функция f (x) достигает
максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0
достигает экстремума (или экстремального значения).
Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри
интервала [ a, b ], причем может оказаться, что
какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее
значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из
экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на
концах интервала.
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале
[ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала
и наименьшее из значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего
значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1
интервала [ x0, x3 ]. На рисунке 5
изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума).
Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная
в данной точке или равна нулю или не существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех
точках x0, в которых ее производная не существует. Например
функция y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема,
но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая
не имеет определенной касательной.
Рис. 6
|
На
рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0
производной [f' (x0) = ¥] и достигающая в этой точке максимума. При x ® x0 и x < x0
f' (x) ® +¥,
при x ® x0
и x > x0 f' (x) ® -¥. Значит касательная кривой y = f (x)
при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие
точки называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0
экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0
производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным условием существования экстремума
функции f (x) в точке x0 : можно привести много
примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 ,
но, однако, не достигающих экстремума при x = x0.
Например, производная функции y = x3 при x0
= 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не
достигает экстремального значения.
6.2.Достаточные
условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в
каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является
неубывающей функцией в этом интервале.
Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке
интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является
невозрастающей функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если
производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0
или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция
f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+"
на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на
"+").
Теорема 7. (второй достаточный признак
существования экстремума функции). Если в точке x0 первая
производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная
f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x) достигает
экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если
f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в
точке x0 и ее окрестности.
6.3 .Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти
производную данной функции;
2) приравнять
производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать
действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к
большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не
имеет экстремума;
3) определить
знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками (
стационарными точками называют точки в которых производная равна 0);
4) если
производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной
точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть
точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна
справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума
функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от
стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;
5) заменить
в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или
минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума
функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны
быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в
которых определяется знак производной.
6.4.Точка перегиба графика функции.
Будем говорить, что кривая y = f(x)
в точке x0 обращена выпуклостью вверх, если существует
такая окрестность точки x0 , что часть кривой, соответствующая
этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A
с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
Рисунок 1
|
Будем
говорить, что кривая y = f(x) в точке x0
обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x0
, что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к
этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x0.
(см. Рисунок 1б).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x)
в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала
(x0 - h, x0 + h), не
совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) - y > 0)
где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y
- ордината точки N касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 )
к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала
(x0 - h, x0 + h), не
совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) - y > 0),
то кривая y = f(x) в точке x0
обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y = f(x) выпуклой
вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз)
в каждой точке этого интервала.
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью
вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x
угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x
будет уменьшаться.
Рисунок 2.
|
В самом деле, пусть абсцисса x1
точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис. 2).
Проведем касательные t1 и t2 соответствено
в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j -
углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из
рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше
угла a. Следовательно tgj > tga или f '(x1 ) > f '(x2 ).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b)
кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением
аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому
вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная
убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в
интервале (a, b): f ''(x)£0.
Рисунок 3.
|
Если кривая y = f(x) обращена
выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgj т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ),
а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x)
возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x),
как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x),
будет положительна или равна нулю: f ''(x)³0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале
кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если
f ''(x)³0 в интервале (a, b), то
в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 )
к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b,
в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому
последнее уравнение можно записать в виде y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2
имеем:
(2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая
почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим: (3)
Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]£0, где 0 < Q < 1, то имеем f(x) - y £ 0
откуда следует,
что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью
вверх.
Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]³0, то имеем
f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x)
в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x
интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.
Рисунок 4.
Точка
кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости
вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой
(рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от
выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная
касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную
вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ;
f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x).
Тогда f ''(x0 ) = 0 или не
существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности
случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ;
f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз
(рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 )
вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h)
- больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому,
переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x0
обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
Рисунок 5.
|
На рис.5 изображен график функции . Хотя при x0 = 0
имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x)
не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем
Итак, f ''(0)
не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба,
так как при x < 0 f ''(x) > 0
и кривая выпукла вниз, а при x > 0 f ''(x) < 0
и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x)
обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x)
является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это
условие не является достаточным.
Теорема 9. Если вторая производная
f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x0,
то точка A[x0 ; f(x0 )] является
точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно,
что в точке A существует касательная.
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0
при x0 - h < x < x0
и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h.
Тогда в интервале (x0 - h; x0 )
кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h)
- выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ;
f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось
доказать.
6.5.Общая
схема исследования функции и построение ее графика.
1.
Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x)
с осями координат и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x)
относительно осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y = f(x) на
непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то
отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже
точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость
вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная
и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x)
и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется
составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой
y = f(x) в точке M (x1 ; y1)
равен значению f '(x1) производной y' = f '(x)
при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной
можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью
называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.
поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде
7.Экономическое
приложение производной.
7.1.Экономическая интерпретация производной
В экономической теории активно используется понятие
«маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный
оборот в XIX веке позволило создать
совершенно новый инструмент
исследования и описания
экономических явлений - инструмент, посредством которого стало
возможно ставить и решать новый класс научных проблем.
Классическая
экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя
производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось
можно обнаружить в области предельных величин.
Предельные или пограничные
величины характеризуют не состояние (как суммарная или
средняя величины.), а
процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает
как интенсивность изменения некоторого
экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Надо заметить, что экономика не
всегда позволяет использовать предельные величины в
силу прерывности (дискретности)
экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных
и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно
использовать предельные величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть y
- издержки производства, а х - количество продукции, тогда Dx- прирост продукции, а Dy - приращение издержек производства.
В этом случае производная выражает предельные издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство
дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные
издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.
Геометрическая интерпретация предельных
издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см.
рис.).
Аналогичным
образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие
предельный характер.
Другой пример - категория
предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный
при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки: .
При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена
(price).
Таким образом , Þ MR= P.
Это равенство верно относительно
условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по
отдельности не могут оказать влияния на цену.
Обратимся к теориям потребления:
кардиналистской и ординалистской.
Кардиналистский (количественный)
подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и
затрат на его производства на формирование цены. В основе рассматриваемого
подхода - исследования А. Маршалла.
Ординалистский (Порядковый)
подход к теории цен разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода
состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов,
сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и
отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют
максимальную полезность для конкретного потребителя.
В соответствии с первой,
суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n
потребительских благ в объемах х1, x2,… хn,
можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:
U= U(х1,
x2,… xn).
Предельные полезности MU товаров выступают в
качестве ее частных производных: . Они показывают, на
сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при
бесконечно малом приращении количества блага i (i=1,2…n)
В ординалистской теории
полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а
потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов
товаров.
Ординалистская функция
полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж.
Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия
"предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS –
marginal rate of substitution).
Предположим, что происходит
замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль
кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает,
какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать
потребительскую утрату единицы товара y.
Они определяются так: .
Т.к. dy отрицательно,
знак "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.
Итак, предельная норма замещения геометрически есть
касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы
замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к
кривой безразличия.
Приведем еще один пример
элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.
Любой индивид свой доход Y
после уплаты налогов использует на потребление C и сбережение S.
Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на
потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не
только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и
подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от
размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
Зависимость потребления индивида
от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией
потребления.
Использование производной
позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению
MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного
потребления в приросте дохода: .
По мере увеличения доходов MPC
уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода,
можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения. Долю
прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению
MPS(marginal propensity to save): .
С увеличением доходов MPS увеличивается.
Еще одним примером использования
производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку
ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение
приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная,
как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты
труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию -
предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это дополнительный
продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L – labor) при
неизменной величине капитала:.
Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями,
то , т.к. dY - результат, dL - затраты, то
MPL – предельная производительность труда.
Аналогично, MPk -
предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате
дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:.
Если вложения осуществляются
малыми порциями, то .
MPk - характеризует предельную
производительность капитала.
Для исследования экономических
процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности
функции.
Определение: Эластичностью функции Еx(y)
называется предел отношения относительного приращения функции y к
относительному приращению переменной x при Dx®0:
.
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько
процентов изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на
1%.
Приведем несколько конкретных иллюстраций такой
зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на
сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при
уменьшении (увеличении) его цены P на 1%: .
Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов
изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены товара j
(j = 1,2,…n): .
Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса
отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на
сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если
доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%: .
Можно привести и другие примеры использования
производной при фокусировке различных категорий и закономерностей. Дальнейшее
раскрытие экономического смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической
интерпретации математических теорем.
7.2. Применение производной в экономической теории.
Проанализировав
экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе
базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения
оказываются прямыми следствиями математических теорем.
Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию
теоремы: если дифференцируемая на
промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка,
то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так:
"Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется
равенством предельных издержек и предельного дохода".
То есть уровень выпуска Qo
является оптимальным для производителя, если MC(Qo)=MR(Qo),
где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за
П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие
издержки производства.
Очевидно, что оптимальным
уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть
такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум
(максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q),
поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)
= MC(Qo).
Другое важное понятие теории производства - это уровень
наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по
производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит:
“оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных
издержек”.
Получим это условие как следствие сформулированной выше
теоремы. Средние издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего
товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины
достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).
Понятие выпуклости функции также
находит свою интерпретацию в экономической теории.
Один из наиболее знаменитых
экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом:
"с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую
новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого
момента убывает".
Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса,
уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности
формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции
от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.
Другим базисным понятием
экономической теории является функция полезности U= U(x), где х -
товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для
каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом.
Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества
товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого
момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция
полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон
убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования
теории спроса и предложения.
7.3. Использование производной для решения задач по
экономической теории.
Задача
1.
Цементный
завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно
поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности
завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.
Определить,
при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими),
если функция затрат имеет вид:
Наша задача сводится к
отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200.
На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая
точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической
точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким
образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это
экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно
можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности
усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей
доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2.
Задача:
Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц.
Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска
выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
Функция
исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает
максимума.
Вывод:
финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до
100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000
денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых
накоплений.
Задача 3.
Спрос-это
зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое
потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период
времени и при прочих равных условиях.
Зависимость спроса от цены
описывается функцией ,
Данная функция исследуется с
помощью производной:
Производная меньше нуля, если
P>=0.
Определим точку перегиба функции. Такой точкой является
точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2
спрос убывает все быстрее.
Задача 4.
Выручка от реализации товара
по цене p составляет:
(Денежных единиц), где . Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: положительна, если p<1/2 и отрицательна
для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (
несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет
смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается
второй производной.
темп положительный темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция
возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала
выручка убывает с отрицательным темпом для , а
затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все
быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.
Для наглядной демонстрации
выше сказанного составим таблицу и построим график.
p
|
(0, 1/2)
|
1/2
|
|
|
|
U'(p)
|
+
|
0
|
-
|
-0,47
|
-
|
U''(p)
|
-
|
|
-
|
0
|
+
|
U (p)
|
возрастает
выпукла
|
0,3
max
|
убывает
выпукла
|
0,2 точка перегиба
|
убывает
вогнута
|
Вывод:
На промежутке (0, 1/2)
функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика
выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала
выручка убывает с отрицательным темпом, а
затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка
убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.
На промежутке функция
U(p) вогнута. В точке график
перегибается (см. на рисунке):
8.
Применение производной в физике
В
физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших
значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница
длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на
высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом
верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2.
С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда
верхний конец находится на высоте 2м?
Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.
Высота y(t)
описывается формулой: ,так как движение равноускоренное.
В момент t: y(t)
= 2, т.е. 2 = 4 - t2, из
которого ;
В этот
момент по т. Пифагора, т.е.
Скорость его изменения
Ответ:
Задача 2
Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее
масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в граммах,
t - в
секундах). Через
сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?
Скорость капли , её кинетическая
энергия в
момент t равна
Исследуем функцию на наибольшее с помощью
поизводной:
=0 t1=0 t2=1
(t>0)
При t =1 функция Ek(t) принимает
наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет
наибольшей через 1сек.
Задача 3
Источник тока с электродвижущей
силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление
R потребителя, чтобы потребляемая им
мощность была наибольшей?
По закону Ома сила тока в цепи есть
выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть
Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: P’(R) = 0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее значение. Следовательно,
потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом.
Ответ: 50 Ом
9. Применение производной в алгебре
9.1. Применение производной к доказательству
неравенств.
Одно из простейших применений производной к
доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием
функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана
теорема:
Теорема 1. Если
функция на некотором интервале имеет производную всюду
на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно
убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы
является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке и , то
на выполняется неравенство .
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств
с использованием этих теорем.
Задача 1.
Пусть .Докажите истинность неравенства . (1)
Решение:
Рассмотрим на функцию . Найдем ее производную: . Видим, что при . Следовательно, на
убывает так, что при . Но Следовательно
неравенство (1) верно.
Задача 2.
Пусть и положительные
числа, Тогда очевидно, что , . Можно
ли гарантировать, что неравенство (2)
верно а) при ; б)
при ?
Решение: а) Рассмотрим функцию . Имеем:
Отсюда видно, что при функция
возрастает. В частности, она возрастает
на интервале Поэтому при неравенство
(2) справедливо.
б) на интервале , т.е. убывает.
Поэтому при любых и , для
которых , неравенство (2) неверно, а верно неравенство
противоположного смысла:
Задача 3.
Доказать неравенство: при (3).
Задача 4.
Доказать неравенство: (4).
Решение: , ;
Неравенство при любых верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5.
Доказать, что если , то (5).
Решение:
Пусть Тогда
Чтобы найти, при каких значениях функция положительная,
исследуем ее производную . Так как при то
Следовательно, функция возрастает
при . Учитывая, что и
непрерывна, получаем , при .
Поэтому возрастает на
рассматриваемом интервале. Поскольку непрерывна и то при . Неравенство (5) верно.
Задача 6.
Выясним, что больше при : или .
Решение:
Предстоит сравнить с числом 1 дробь .
Рассмотрим на вспомогательную
функцию .
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по
правилу дифференцирования дроби):
при .
В силу теоремы 1 функция вырастает
на отрезке . Поэтому, при т.е.
при .
При решении задачи (6) встретился полезный
методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует
несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была
буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а
значение остальных букв (в данном случае значение буквы )
считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить
указанный прием несколько раз.
Задача 7.
Проверить, справедливо ли при любых положительных неравенство:
(6).
Решение: Пусть
Рассмотрим функцию
.
При имеем .
Отсюда видно (теорема 1), что убывает
на Поэтому при имеем т.е. мы получили неравенство:
(7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем:
Следовательно, убывает
на , т.е. при значит, (8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для
выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим
утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3:
Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на и на . Тогда при любом х из справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь при .
Задача 8.
Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
Решение:
Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:
.
Видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 3 т.е.
неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при .
9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.
Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если
воспользоваться одним очевидным замечанием:
Если на некотором интервале функция тождественно равна
постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:
на на .
Задача 1.
Проверить тождество:
(1)
Доказательство: Рассмотрим функцию
Вычислим ее производную (по х):
Поэтому (замечание) .
Следовательно, что равносильно тождеству (1).
Задача 2.
Проверить тождество:
(2)
Доказательство: Рассмотрим функцию
Докажем, что
Найдем ее производную:
Значит
. При х=0 ,следовательно,тождество
(2) верно.
В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что
при нахождении постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения
переменной, по которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы
получить возможно более простые выкладки.
9.3. Применение производной для упрощения
алгебраических и тригонометрических выражений.
Прием использования производной для преобразования
алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная
иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря
чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование
исходного выражения:
Задача 1 Упростить выражение:
Решение: Обозначив данное выражение будем
иметь:
Таким образом, заданное выражение (1) равно .
Задача 2.
Упростить выражение:
Решение: Обозначив
это выражение через , будем иметь:
отсюда .
и при получаем:
Так
что
Задача 3. Упростить запись функции:
(2)
Решение:
Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким
выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:
Найдём
:
Таким
образом функция (2) равна
Задача 4. Упростить запись многочлена:
(3)
Решение:
Обозначим многочлен (3) через и найдём последовательно
первую и вторую производные этой функции:
Ясно,
что Поэтому , где , найдём : при , .
9.4.Разложение выражения на множители с помощью
производной.
Задача 1. Разложить на множители выражение:
(1)
Решение:
Считая переменной, а и постоянными фиксированными (параметрами)
и обозначая заданное выражение через , будем иметь:
Поэтому
(2)
где
- постоянная, т.е. в данном случае -
выражение, зависящее от параметров и . Для нахождения в
равенстве положим тогда
.
Получим
Задача 2. Разложить на множители выражение:
(3)
Решение:
Поскольку переменная входит в данное выражение в
наименьшей степени, рассмотрим его, как функцию и
будем иметь:
получим:
Таким
образом, исходное выражение (3) равно
Задача 3. Разложить на множители выражение:
Решение:
Обозначив данное выражение через и считая и постоянными,
получим:
откуда , где
зависит только от и .
Положив в этом тождестве , получим и
Для
разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но в качестве
переменной рассмотрим , поскольку эта переменная входит
в меньшей степени, чем . Обозначая его через и считая и постоянными, будем иметь:
отсюда:
Таким
образом исходное выражение (4) равно
9.5. Применение производной в вопросах существования
корней уравнений.
С
помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную
роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных
значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:
Задача 1. Если функция возрастает
или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.
(1)
Решение:
Область определения данного уравнения - промежуток определение
на этом промежутке функцию , положив
Тогда,
на
Þ ,
и
таким образом функция - возрастающая, так что данное
уравнение (1) не может иметь более одного решения.
Задача 2. При каких значениях имеет
решения уравнение
(2)
Решение:
область определения уравнения - отрезок , рассмотрим
функцию , положив
Тогда
на открытом промежутке
, так что -
единственная критическая точка функции , являющаяся,
очевидно, точкой максимума. Поскольку то примет
наибольшее значение при , а наименьшее значение
- при .
Так
как функция непрерывна, то её область значений представляет
собой отрезок , между её наименьшим и
наибольшим значением. Другими словами, исходное уравнение (2) имеет решения при
.
Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим
преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или
разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного
характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их
кругозор и повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл
производной: производная функции в точке x0 равна угловому
коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной:
производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения
функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной: производная выступает
как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени
или относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от
времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения
наибольших и наименьших величин.
Производная является важнейшим инструментом
экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический
смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с
помощью математических формул.
Наиболее актуально использование производной в
предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные
издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов
производства и т. д.).
Производная применяется
в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства
и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями
математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные
задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.